Pozitív operátor (Hilbert szóköz)

A pozitív operátor egy Hilbert-térben olyan lineáris operátor , amely bármelyik Hilbert-térre vonatkozik. Pozitív operátorhoz használja az [1] jelölést . Néha a null operátor nem pozitív operátornak minősül, és akkor íródik le, ha az operátor pozitív, és ha pozitív vagy nulla. [2] $A$ $(Ax, x) \ge 0$ $x$ $A\ge0$ $A>0$ $A$ $A\ge0$ $A$

A korlátos pozitív operátor önadjungált , és spektruma a pozitív féltengelyen fekszik , és ez szükséges és elégséges feltétel [1] . Egy korlátlan pozitív operátor szimmetrikus , és enged egy önadjungált kiterjesztést, amely szintén pozitív operátor [3] [4] . $[0, \infty)$

Tulajdonságok

A következő tulajdonságok érvényesek a korlátos lineáris operátorokra .

Ha operátor és valós szám , akkor . $A\ge0$ $\alpha \ge 0$ $\alpha A\ge 0$
Ha az inverz operátor is létezik, akkor . $A\ge0$ $A^{{-1}}$ $A^{-1} \ge 0$
$A^* A \ge 0, \, AA^* \ge 0$ bármely lineáris operátorhoz . Különösen minden önadjungált operátor esetén . Ezért bármely vetületi operátor [2] példaként szolgálhat pozitív operátorra . $A$ $A^2 \ge 0$ $A$
Két permutálható pozitív operátor szorzata is pozitív operátor [5] .
Egy pozitív operátorra és a Hilbert-tér bármely elemére az általánosított Schwartz-egyenlőtlenség érvényes : $A$ $x,y$

|(A x, y)|^2 \le (A x, x) (A y, y)

[6] .

Négyzetgyök

Minden korlátos pozitív operátornak egyedi pozitív négyzetgyöke van, azaz olyan operátor , amelyre . Ha az operátor invertálható , akkor az is invertálható. A négyzetgyök tetszőleges operátorral ingázik , amely a [7] [8] -mal módosítható . $A$ $B$ $B^2 = A$ $A$ $B$ $B$ $A$

Poláris expanzió

Bármely korlátos lineáris operátor egy Hilbert-térben rendelkezik egy dekompozícióval , ahol egy pozitív operátor és egy parciális izometria. Ha normál operátor , akkor a poláris dekompozícióban szereplő operátor unitárius . $T$ $T=FEL$ $P$ $U$ $T$ $U$

Rendelési viszony

A szimmetrikus operátorok halmazán egy részleges sorrendű reláció kerül bevezetésre : vagy ha az operátor pozitív, más szóval bármelyik Hilbert-térre . Ennek a sorrendi kapcsolatnak a következő tulajdonságai vannak. $A\ge B$ $B \le A$ $A-B$ $(A x, x) \ge (B x, x)$ $x$

Ha és , akkor . $A\ge B$ $C \ge D$ $A + C \ge B + D$
Ha és , akkor . $A\ge B$ $B \ge C$ $A \ge C$
Ha és , akkor . $A\ge B$ $c>0$ $c A \ge c B$
A szimmetrikus operátorok bármely monoton korlátos sorozata valamilyen szimmetrikus operátorhoz konvergál [2] [6] .

Félig korlátos operátor

A szimmetrikus operátort alsó félig korlátosnak nevezzük , ha létezik olyan valós szám $S$ $c$

(S x, x) \ge c(x, x)

az üzemeltető bármely körére ; az összes érték közül a legnagyobbat, amelyre ez az egyenlőtlenség érvényes , az operátor infimumának nevezzük . A felső félig korlátos operátor és a felső korlátja [9] hasonlóan definiálható . $x$ $S$ $c$ $S$

A pozitív operátor az alább félig korlátos operátor speciális esete. Másrészt bármely félig korlátozott operátor kifejezhető pozitív operátorként a következő képletek egyikével: $P$

S = P + cI, \quad S = -P + cI,

hol van az azonosító operátor [10] . $én$

Friedrichs terjeszkedés. Bármely félig korlátos szimmetrikus operátor (különösen egy pozitív operátor) kiterjeszthető néhány félig korlátos önadjungált operátorra , és az operátornak ugyanaz lesz (felső vagy alsó) korlátja, mint [11] . $S$ $A$ $A$ $S$

Egy véges dimenziós tér esete

Egy szimmetrikus operátort (egy szimmetrikus mátrixú operátort ) egy euklideszi térben nemnegatívnak nevezünk, ha bármelyik esetén . Ebben az esetben a másodfokú formát nem negatívnak , az operátormátrixot pedig nem negatív határozottnak nevezzük . $S$ $R$ $(S x, x) \ge 0$ $x\in R$ $(S x, x)$ $S$

Egy szimmetrikus operátort pozitív határozottnak nevezünk, ha bármely vektorra -ból . Ebben az esetben a másodfokú formát és az operátormátrixot pozitív határozottnak nevezzük . $S$ $x \ne 0$ $R$ $(S x, x) > 0$ $(S x, x)$ $S$

A Sylvester-kritérium segítségével meghatározható, hogy egy mátrix pozitív vagy nem negatív definit- e [12] .

Példa

Az alábbiakban félig korlátos operátorra példa a Sturm-Liouville operátor

A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x),

ahol

p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \le x \le 1),

ha térben $L_2(0; 1)$ tekintjük a függvény definíciós tartományára hivatkozva kétszer folytonosan differenciálható és a feltételeket kielégítő $u(x)$

u(0) = 0, \quad u'(1) + hu(1) = 0,

hol van valamilyen állandó ; a függvényeket is folyamatosnak tételezzük fel . Valójában közvetlen számítással ellenőrizhető, hogy $h\ge0$ $p(x), p'(x), q(x)$

(A u, u) = hp(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2 dx + \int\limits_0^1 q(x) ) |u(x)|^2 dx \ge \int\limits_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).

Ha , akkor az operátor pozitív [11] . $q_0 \ge0$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Rudin U. Funkcionális elemzés, 1975 , 12.32.
↑ 1 2 3 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 317.
↑ Shulman V.S., Lomonosov V.I. Pozitív operátor // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 stb. : ill. — 150.000 példány.
↑ Szigorúan véve egy korlátlan operátor esetén a definícióban lévő egyenlőtlenség mindenre a szimmetrikus operátor tartományából származik , amely a teljes Hilbert térben sűrű . $(A x, x) \ge 0$ $x$ $A$
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 318.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről, 1979 , 104. o.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 320.
↑ Rudin W. Funkcionális elemzés, 1975 , 12.33.
↑ Akhiezer N. I., Glazman I. M. Lineáris operátorok elmélete Hilbert térben, 1966 .
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről, 1979 , 122. o.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről, 1979 , 124. o.
↑ Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . - Szerk. 2., további .. - M . : Nauka, Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1966.

Irodalom

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei. - Szerk. 2., átdolgozott .. - M . : Nauka, 1965. - 520 p.
Rudin W. Funkcionális elemzés. - M . : Mir, 1975. - 444 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Akhiezer N. I. , Glazman I. M. Lineáris operátorok elmélete Hilbert-térben. - Szerk. 2., átdolgozott. és további .. - Tudomány, ch. szerk. fizika és matematika lit., 1966. - 543 p.