Permutációs operátorok

A permutációs operátorok a korlátozott lineáris operátor és a lineáris operátor , amelyeknél az operátor az operátor kiterjesztése : . Ha a és operátorok a teljes téren definiáltak (sőt, nem feltétlenül korlátosak ), akkor ingáznak, ha . Ebben az esetben a permutációs operátorokat ingázásnak is nevezik [1] . Általános esetben az egyenlőséget kényelmetlen a permutáció definíciójaként használni, mert akkor még az inverz operátor sem fog permutálni -val, ha nincs definiálva a teljes téren - akkor a és operátorok különböző definíciós tartományokkal rendelkeznek . A permutációs operátorok néha a következő jelölést használják: [ 2] [3] . $B$ $T$ $TV$ $BT$ $BT\subseteq TB$ $B$ $T$ $BT=TB$ $BT=TB$ $B^{{-1}}$ $B$ $B^{{-1}}$ $BB^{-1}$ $B^{-1}B$ $B\cup T$ $B\smile T$

Tulajdonságok

Ha egy operátor ingázik a -val és ingázik -val , akkor ingázik a és -vel is . $B$ $T_{1}$ $T_{2}$ $B$ $T_{1}+T_{2}$ $T_{1}T_{2}$
Ha ingázik és ingázik -val , akkor az operátorok és ingázik -val . $B_1$ $T$ $B_{2}$ $T$ ${\displaystyle B_{1}+B_{2))$ ${\displaystyle B_{1}B_{2))$ $T$
Ha ingázik és létezik , akkor ingázik a -val . $B$ $T$ $T^{-1}$ $B$ $T^{-1}$
Ha minden operátorral permutálható , akkor permutálható -val . $B$ $T_{n}\,(n=1,2,\pontok )$ $B$ $\lim \limits _{n\to \infty }T_{n}$
Ha az operátorok mindegyike ingázik -vel , akkor ingázik -val a korlátos és zárt feltevés szerint . $B_{n}\,(n=1,2,\pontok )$ $T$ ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }B_{n))$ $T$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n))$ $T$
Ha ingázik -val, és létezik az adjoint operátor , akkor a [3] -mal ingázik . $B$ $T$ $T^{*}$ $B^{*}$ $T^{*}$

Egy véges dimenziós tér esete

Egy véges dimenziós térben a permutációs operátorok a permutációs mátrixoknak felelnek meg : . A Frobenius-probléma az összes olyan mátrix meghatározása , amely egy adott mátrixszal ingázik . A Frobenius-probléma minden megoldásának van formája $AB=BA$ $x$ $A$

X=UX_{A}U^{-1},

ahol egy tetszőleges mátrix, amely ingázik -vel , egy mátrix, amely a normál Jordan alakhoz vezet : . A Frobenius-probléma lineárisan független megoldásainak számát a következő képlet határozza meg: $X_{A}$ $A$ $U$ $A$ $J$ $A=UJU^{-1}$

N=n_{1}+3n_{2}+\pontok +(2t-1)n_{t},

ahol a mátrix nem állandó invariáns polinomjainak fokai vannak . ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{t))$ $i_{1}(\lambda ),i_{2}(\lambda ),\dots ,i_{t}(\lambda )$ $A$

Ha egy véges dimenziós térben a lineáris operátorok páronként permutálhatók, akkor a teljes tér minden operátor alatt invariáns alterekre bontható : ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{m))$ $R$ $R$ $A_{i}$

{\displaystyle R=I_{1}+I_{2}+\pontok +I_{m))

úgy, hogy ezen alterek bármelyikének minimális polinomja bármelyik operátorhoz képest egy irreducibilis polinom foka [4] . $A_{i}$

A permutációs operátoroknak mindig van közös sajátvektoruk [5] . Adott egy véges vagy végtelen páronként permutálható normáloperátorok egy unitárius térben , akkor ezeknek az operátoroknak van közös sajátvektorokból álló teljes ortonormális rendszere . Mátrixok szempontjából ez azt jelenti, hogy a páronkénti permutációs mátrixok bármely véges vagy végtelen halmaza ugyanazzal az egységtranszformációval átlós alakra redukálható [6] . $A_{1},A_{2},\dots$

Lásd még

Az ingázási megfigyelések teljes rendszere

Jegyzetek

↑ Gantmakher, 1966 , p. 263.
↑ Wojciechowski, 1984 .
↑ 1 2 Riess, 1979 , 116. o.
↑ Gantmakher, 1966 , VIII. fejezet, 2. §.
↑ Gantmakher, 1966 , p. 245.
↑ Gantmakher, 1966 , IX. fejezet, 15. §.

Irodalom

Voitsekhovsky M.I. Permutációs operátorok // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 stb. : ill. — 150.000 példány.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . - Szerk. 2., további .. - M . : Nauka, Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1966.
Suprunenko D. A. , Tyshkevich R. I. Permutációs mátrixok. - Minszk: Tudomány és technika, 1966. - 2500 példány.