Általános topológia

Az általános topológia ( halmazelméleti topológia ) a topológia egyik ága , amely a legáltalánosabb értelemben vett folytonosság és határ fogalmát tanulmányozza .

Az általános topológia hagyományos megközelítése halmazelméleti . Egy halmazt topológiai térnek nevezünk, ha a nyitott részhalmazainak egy bizonyos családja adott , amely kielégíti az axiómákat. Számos lehetséges módja van a topológiai tér szerkezetének egyetlen halmazon történő meghatározásának: a diszkréttől a nem Hausdorff-féle antidiszkrét (triviális) topológiáig , az összes pontot összeragasztva.

A halmazelmélet alapfogalmai, mint a halmaz , függvény , sorszámok , kardinális számok , választási axióma , Zorn-lemma , nem képezik az általános topológia tárgyát, de aktívan használják őket. Az általános topológia a következő részeket tartalmazza: topológiai terek tulajdonságai és leképezéseik, műveletek topológiai tereken és leképezéseik, topológiai terek osztályozása. Az általános topológia független iránya a dimenzióelmélet .

A differenciális és algebrai topológiától eltérően az általános topológia a topológiai terek egymáshoz való folyamatos leképezésének legáltalánosabb formájának tanulmányozására összpontosít , nem pedig bonyolultabb, elsősorban algebrai struktúrákkal felruházott terekre .

Az általános topológia szószedete olyan fogalmakat tartalmaz, mint a szomszédságok , halmazlezárások (valamint a belső terek ), a halmazok tömörsége , valamint a sorozatok és szűrők konvergenciája . Az általános topológiában bevezetett függvényhatár fogalma további általánosítást tesz lehetővé a pszeudotopológiai terek elméletének keretein belül .

Történelem

Az általános topológia a 19. század végén keletkezett, és a 20. század elején önálló matematikai tudományként formálódott . Az alapművek Felix Hausdorff , Henri Poincaré , Pavel Alexandrov , Pavel Uryson , Leutzen Brauer alkotásai . Konkrétan az általános topológia egyik fő problémáját sikerült megoldani – a szükséges és elégséges feltételek megtalálását a topológiai tér mérhetőségéhez .

Az általános topológia, mint önálló tudáság leggyorsabb fejlődése a 20. század közepén ment végbe, a 21. század elejére már inkább a matematika számos területét „kiszolgáló” segédtudomány: algebrai topológia , funkcionális . elemzés , komplex elemzés , gráfelmélet .

Irodalom

• P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Főbb pontok a halmazelméleti topológia fejlesztésében
• Alexandrov P. S. Bevezetés a halmazelméletbe és az általános topológiába - M .: Nauka , 1977
• Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Az általános topológia alapjai problémákban és gyakorlatokban - M .: Nauka , 1974
• Bourbaki N. A matematika elemei. Általános topológia. Alapszerkezetek - M .: Nauka , 1968
• Kelly J. L. Általános topológia -M.:Nauka, 1968
• Engelking R. Általános topológia - M .: Mir, 1986
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elemi topológia . Tutorial a feladatokban (rus., eng.)
• Sosinsky A. B. Bevezetés a topológiába - M. : MTsNMO, 2020