Normál kezelő

A normál operátor egy lineárisan korlátos operátor egy Hilbert-térben , amely ingázik a konjugáltjával : . A normál operátorok speciális esetei az önadjungált operátorok : és unitárius operátorok : . Normál operátorokra a spektrális tétel teljesül . $N^* N = NN^*$ $A = A^*$ $U^{-1} = U^*$

Bővítések

Additív bomlás. , hol vannak a permutáció önadjungált operátorai , $N = X + iY$ $X,Y$

X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*).

Multiplikatív (poláris) tágulás . , ahol egy pozitív önadjungált operátor , egy egységes operátor . Az operátorokésaz ingázik egymással és bármely lineáris operátorral , amely egyidejűleg ingázik aés. $N=RU=UR$ $R = \sqrt{N^* N}$ $U$ $R$ $U$ $N$ $N^{*}$

Az additív bővítés hasonló a komplex szám kifejezéséhez valós és képzetes részeit tekintve: , a multiplikatív bővítés pedig az exponenciális formájú ábrázoláshoz: [1] $z$ $z = x + iy$ $z = re^{i\varphi}.$

Tulajdonságok

Ha az operátor normál, akkor a , , és az inverz operátor (ha létezik) is normális. [2] $N$ $N^{*}$ $\alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ $N^{-1}$
Egy lineáris folytonos operátor egy Hilbert-térben akkor és csak akkor normális mindegyik esetén . $N$ $H$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x\in H$
$\mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp}$ . Itt van a kernel és az operátor képe . $\mbox{Ker}\, N$ $\mbox{Im}\, N$ $N$
Ha néhány és , akkor . $N x = \alpha x$ $x \-ben H$ $\alpha \in \mathbb{C}$ $N^* x = \bar \alpha x$
A normál operátor különböző sajátértékeinek megfelelő sajátterek ortogonálisak . [3]
A permutációs tétel. Legyenek lineáris folytonos operátorok , az és operátorok pedig normálisak. Ha , akkor . Különösen, ha egy operátor a normál operátorral ingázik , akkor a konjugálttal ingázik . [négy] $M, N, T$ $M$ $N$ $MT=TN$ $M^* T = TN^*$ $T$ $N$ $N^{*}$
$\| N \| = \up \{ |(Nx,x)| \kettőspont x \in H, \, \| x \| \le 1 \}$ [5]
Egy normál operátor akkor és csak akkor önadjungált , ha spektruma a valós tengelyen fekszik . Egy normál operátor akkor és csak akkor unitárius , ha spektruma az egységkörön fekszik . [6]
A hasonló normál operátorok unitárisan ekvivalensek, vagyis ha , ahol a normál operátorok és az operátor invertálható , akkor , ahol egy unitárius operátor . [7] $M = TNT^{-1}$ $M, N$ $T$ $M = UNU^{-1}$ $U$
$\| N^m\| = \| N \|^m$ , ezért a normál operátor spektrális sugara egybeesik a normájával . [2]

Spektrális tétel

Bármely normál operátor megfelel a vetületi operátorok családjának , amelyek egy téglalap additív és multiplikatív függvényei, így $N$ $\{E(\delta)\}$

N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\ infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy),

és általában véve

q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy) ,

ahol egy tetszőleges polinom és -ben ; bármely rögzített téglalap esetén az operátor a polinomok bizonyos sorozatának határa az operátorokban és [8] . $q(z, \bar z)$ $z = x + iy$ $\bar z = x - iy$ $\delta$ $E(\delta)$ $N$ $N^{*}$

A normál operátorok spektrális dekompozíciója alapján a függvényekre funkcionális kalkulust szerkesztünk.

f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy).

[9]

Egy véges dimenziós tér esete

Egy ortonormális bázis véges dimenziós unitér térben egy normál operátor egy normál mátrixnak felel meg . A normál operátor a következő tulajdonságokkal is rendelkezik.

A lineáris operátor akkor és csak akkor normális, ha rendelkezik ortonormális sajátvektorrendszerrel .
Normál operátor esetén a és operátorok mindegyike egy másik operátor polinomjaként van ábrázolva ; sőt ezt a két polinomot az operátor sajátértékeinek megadásával határozzuk meg . $N$ $N$ $N^{*}$ $N$
Ha egy invariáns altér az operátor alatt , akkor annak ortogonális komplementere is invariáns altere a számára . $S$ $N$ $S^{\perp}$ $N$
Egy mátrix akkor és csak akkor normális , ha unitáriusan hasonlít egy átlós mátrixhoz , azaz ahol unitér mátrix van , ott átlós mátrix . [tíz] $N$ $N = UDU^{-1},$ $U$ $D$

Korlátlan operátorok

A normál operátor fogalmát a korlátlan operátorokra általánosítják. Egy (nem feltétlenül korlátos ) lineáris operátort egy Hilbert-térben normálnak nevezünk, ha a tartománya sűrű -ben , zárt és teljesíti a feltételt . Normál kezelőnek bármilyen . A normál operátor néhány más tulajdonságát is általánosítjuk, beleértve a spektrális tételt . [tizenegy] $N$ $H$ $D(N)$ $H$ $N^* N = NN^*$ $D(N^*) = D(N)$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x \in D(N)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , 110. o.
↑ 1 2 Szobolev, 1982 .
↑ Rudin, 1975 , 12.12.
↑ Rudin, 1975 , 12.16.
↑ Rudin, 1975 , 12.25.
↑ Rudin, 1975 , 12.26.
↑ Rudin, 1975 , 12.36.
↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , p. 309.
↑ Rudin, 1975 , 12.24.
↑ Gantmakher, 1966 , 9. fejezet, 10. §.
↑ Rudin, 1975 , 13. fejezet.

Irodalom

Sobolev V.I. Normál operátor // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Rudin W. Funkcionális elemzés. - M .: Mir, 1975.
Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . - Szerk. 2., további .. - M . : Nauka, Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1966.