Normál alcsoport

A normál alcsoport ( invariáns alcsoport vagy normál osztó is) egy speciális típusú alcsoport , amelynek bal és jobb kosetjei egybeesnek. Az ilyen csoportok azért fontosak, mert lehetővé teszik egy faktorcsoport felépítését .

Definíciók

Egy csoport egy alcsoportját normálnak nevezzük, ha konjugáció esetén invariáns, azaz bármely elemére és bármely eleme a következőben található : $N$ $G$ $n$ $N$ $g$ $G$ $gng^{{-1}}$ $N$

N\triangeleft G\,\iff \,\forall \,n\in N,\forall \ g\in G

gng^{-1}\in {N}.

Egy alcsoport alábbi normalitási feltételei egyenértékűek:

Bármelyikhez . _ $g$ $G$ $gNg^{{-1}}\subseteq N$
Bármelyikhez . _ $g$ $G$ $gNg^{{-1}}=N$
A bal és jobb oldali koszettek halmazai egybeesnek . $N$ $G$
Bármelyikhez . _ $g$ $G$ $gN=Ng$
$N$ izomorf a konjugált elemek osztályainak uniójával.

Az (1) feltétel logikailag gyengébb, mint a (2), és a (3) feltétel logikailag gyengébb, mint a (4). Ezért az (1) és (3) feltételt gyakran használják egy részcsoport normalitásának bizonyítására, a (2) és (4) feltételeket pedig a normalitás következményeinek bizonyítására.

Példák

$\{e\}$ és mindig normál alcsoportjai a . Triviálisnak nevezik őket. Ha nincs más normál alcsoport, akkor a csoportot egyszerűnek nevezzük . $G$ $G$ $G$

Egy csoport középpontja egy normál alcsoport.

Egy csoport kommutátora egy normál alcsoport.

Bármely jellemző alcsoport normális, mivel a konjugáció mindig automorfizmus .

Az Abel-csoport minden alcsoportja normális, mivel . Hamiltoni csoportnak nevezzük azt a nem-abeli csoportot, amelyben minden alcsoport normális . $N$ $G$ $gN=Ng$

A párhuzamos fordítások csoportja bármely dimenziójú térben az euklideszi csoport normál alcsoportja ; például a 3D térben a forgatás, eltolás és hátrafordulás egyszerű eltolódást eredményez.

A Rubik-kocka csoportban normális egy olyan alcsoport, amely csak a sarokelemekre ható műveletekből áll, mivel semmilyen konjugált transzformáció nem okoz ilyen műveletet az élelemre, nem a sarokelemre. Ezzel szemben egy olyan alcsoport, amely csak a felső felület elforgatásából áll, nem normális, mivel a filé lehetővé teszi a felső felület egyes részei lefelé mozgatását.

Tulajdonságok

A normalitás megmarad a szürjektív homomorfizmusok és visszahúzások alatt.
A homomorfizmus magja egy normális alcsoport.
A direkt termék megalkotásakor a normálisság megmarad .
Egy normál alcsoport normál alcsoportjának nem kell normálisnak lennie a csoportban, vagyis a normalitás nem tranzitív . A normál alcsoport jellemző alcsoportja azonban normális.
A 2. index minden alcsoportja normális. Ha a legkisebb prímosztó a sorrendben , akkor az index bármely alcsoportja normális. $p$ $G$ $p$
Ha egy normál alcsoport -ben , akkor a bal (jobb) kosettek halmazán a szabály szerint csoportstruktúrát vezethetünk be. $N$ $G$ $G/N$

(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N

Az így kapott halmazt faktorcsoportnak nevezzük .

G

N

$N$ akkor és csak akkor normális, ha triviálisan hat a bal oldali cosetekre . $G/N$
Minden normál alcsoport kvázinormális

Történelmi tények

Évariste Galois volt az első, aki megértette a normál alcsoportok fontosságát.

Linkek

Vinberg E. B. algebra tanfolyam - M . : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. rész III. Alapvető szerkezetek. - 3. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 p. - ISBN 5-9221-0489-6 .

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció