A Schur-szorzó a G csoport második csoporthomológiája . Isai Shur [1] vezette be a projektív reprezentációkkal foglalkozó munkájában.
Egy véges G csoport Schur-szorzója egy véges Abel-csoport, amelynek kitevője osztja a G csoport sorrendjét. Ha G egy Sylow p -alcsoportja ciklikus valamilyen p -re , akkor a sorrend nem osztható p -vel . Különösen, ha G minden Sylow p - alcsoportja ciklikus , akkor triviális.
Például egy 6-os rendű nem Abel-csoport Schur-szorzója egy triviális csoport , mivel bármely Sylow-alcsoport ciklikus. Egy 16-os rendű elemi Abel-csoport Schur-szorzója egy 64-es rendű elemi Abel-csoport, ami azt mutatja, hogy a szorzó szigorúan nagyobb lehet, mint maga a csoport. Egy kvaterniócsoport Schur-szorzója triviális, míg a 2-es diédercsoportok Schur-szorzója 2-es rendű.
A véges egyszerű csoportok Schur-szorzóit véges egyszerű csoportokon határozzuk meg . A váltakozó és szimmetrikus csoportok lefedése a közelmúltban jelentős figyelmet kapott.
A Schur szorzóinak tanulmányozásának kezdeti oka a projektív reprezentációk osztályozása voltcsoportok, és definíciójának modern megfogalmazása acsoportok második kohomológiája . A projektív reprezentáció nagyon hasonlíta csoportreprezentációhoz, azzal a különbséggel, hogy ateljes lineáris csoporthomomorfizmusahelyett egyprojektív teljes lineárisveszik figyelembe. Más szavakkal, a projektív reprezentáció a modulothe center.
Schur [1] [2] megmutatta, hogy bármely G véges csoporthoz legalább egy véges C csoport tartozik , amelyet Schur-borítónak neveznek , azzal a tulajdonsággal, hogy G bármely projektív reprezentációja C rendes reprezentációjává emelhető . A Schur burkolatot fedőcsoportnak is nevezik . A véges egyszerű csoportok Schur - fedései [en ismertek, és mindegyik példa egy kvázi egyszerű csoportra . Egy tökéletes csoport Schur-fedése az izomorfizmusig egyedileg definiált, de egy általános véges csoport Schur-fedése csak az izoklinizmusig .
Az ilyen fedőcsoportok vizsgálata természetesen a központi és szárnyúlványok vizsgálatához vezet .
A G csoport központi kiterjesztése a kiterjesztés
ahol a C csoport középpontjának egy alcsoportja .
A G csoport tőnyúlványa a kiterjesztése
ahol a C középpont metszésponti alcsoportja és a C csoport származtatott részcsoportja . Ez szigorúbb, mint a középpont [3] .
Ha a G csoport véges, és csak a tőkiterjesztéseket vesszük figyelembe, akkor van egy ilyen C csoport legnagyobb mérete , és bármely ekkora C csoport esetén a K alcsoport izomorf a G csoport Schur szorzójával . Ha egy véges G csoport ráadásul tökéletes , akkor C egyedi az izomorfizmusig, és maga is tökéletes. Az ilyen C csoportot gyakran nevezik a G csoport univerzális tökéletes központi kiterjesztésének , vagy fedőcsoportnak (mivel a topológiában az univerzális fedőtér diszkrét analógja ). Ha egy véges G csoport nem tökéletes, akkor Schur-borításainak csoportjai (minden ilyen maximális rendű C ) csak izoklinikus .
A csoportot rövidebben univerzális központi kiterjesztésnek is nevezik , de vegyük figyelembe, hogy nincs legnagyobb központi kiterjesztése, mivel egy G csoport és egy Abel-csoport közvetlen szorzata a G csoport tetszőleges méretű központi kiterjesztését képezi .
A törzskiterjesztéseknek megvan az az érdekes tulajdonságuk, hogy egy G csoport generátorkészletének bármely emelése C generáló halmaza . Ha egy G csoport egy szabad F csoportként van definiálva a generátorok halmazán, és egy normál R alcsoportot generátorokon lévő hivatkozások halmaza generál úgy, hogy akkor maga a fedőcsoport ábrázolható F kifejezéssel , de kisebb normál S alcsoporttal , azaz . Mivel G relációi határozzák meg K elemeit , ha C részének tekintjük, akkor teljesülnie kell .
Valójában, ha G tökéletes, csak ennyi kell: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] és M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Emiatt az egyszerűség miatt az olyan fejtegetések, mint például Aschbacher cikkében [4] , a tökéletes esetet kezelik először. A Schur-szorzó általános esete hasonló, de a megfontolás biztosítja, hogy a kiterjesztés tőkiterjesztés legyen azáltal, hogy a generált F alcsoportra korlátozódik : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Ezek mind valamivel frissebb eredményei Schurtól, aki néhány hasznos kritériumot is közölt a többszörösek pontosabb kiszámításához.
A kombinatorikus csoportelméletben a csoportokat gyakran csoportos hozzárendeléssel írják le . A matematika ezen területén fontos téma a minél kevesebb kapcsolattal rendelkező feladatok vizsgálata, mint például a Baumslag-Pasziánsz csoportok egy meghatározó relációval. Ezek a csoportok végtelen csoportok két generátorral és egy relációval, és Schreier régi eredménye azt mutatja, hogy minden olyan feladat, amelynek több generátora van, mint reláció, végtelen csoportot eredményez. Akkor érdekes a határeset, amikor a véges csoportoknak ugyanannyi generátora és relációja van, és ebben az esetben azt mondják, hogy a csoportnak nulla defektusa van . Ahhoz, hogy egy csoport nulla hiba legyen, a csoportnak triviális Schur-szorzóval kell rendelkeznie, mivel a Schur-szorzógenerátorok minimális száma mindig kisebb vagy egyenlő, mint a relációk száma és a generátorok száma közötti különbség, ami negatív hibát ad. . A hatékony csoport olyan csoport, amelyben a Schur-szorzó annyi generátort igényel [5] .
Egy nagyon új kutatási téma az összes véges egyszerű csoport hatékony reprezentációinak megtalálása triviális Schur-szorzókkal. Az ilyen ábrázolások bizonyos szempontból szépek, mivel általában rövidek, de nehéz megtalálni és nehéz velük dolgozni, mivel nem illenek olyan szabványos módszerekhez, mint például a coset enumeration .
A topológiában a csoportokat gyakran véges csoporthozzárendelésként írhatjuk le , és az alapvető kérdés a teljes integrálhomológiájuk kiszámítása . Különösen a második homológia játszik különleges szerepet, és ez arra késztette Heinz Hopfot , hogy hatékony módszert találjon ennek kiszámítására. A Hopf cikkében [6] leírt módszer Hopf integrál homológia képletként is ismert, és ez a képlet megegyezik a véges csoport Schur-szorzójának Schur-képletével:
ahol és F egy szabad csoport . Ugyanez a képlet akkor is igaz, ha G tökéletes csoport [7] .
Az a felismerés, hogy ezek a képletek valójában ugyanazok, Samuel Eilenberg és Saunders MacLane megalkotta a csoportkohomológiát . Általános értelmében,
ahol a csillag az algebrailag kettős csoportot jelenti. Sőt, ha a G csoport véges, akkor természetellenes izomorfizmusról van szó
Hopf képletét magasabb dimenziókra általánosították. Az egyik megközelítéshez és a bibliográfiához lásd Iveret, Grahn és Van der Linden [8] .
A tökéletes csoport olyan csoport, amelynek első integrál homológiája nulla. A szupertökéletes csoport egy csoport, az első két integrál homológ csoport nulla. A véges tökéletes csoportok Schur burkolatai szupertökéletesek. Az aciklusos csoport olyan csoport, amelyben az összes redukált integrál homológia nulla.
Egy R kommutatív gyűrű második algebrai K-csoportja K 2 ( R ) azonosítható a(végtelen) elemi mátrixok E ( R ) csoportjának H 2 ( E ( R ), Z ) második homológiacsoportjával. R -ből származó elemekkel [9] .
Miller cikke [10] egy másik nézetet ad a Schur-szorzóról, mint a κ morfizmus magjáról: G ∧ G → G, amelyet a kommutátorleképezés generál.