Shura karikaturista

A Schur-szorzó a G csoport második csoporthomológiája . Isai Shur [1] vezette be a projektív reprezentációkkal foglalkozó munkájában $H_{2}(G,\mathbb {Z} )$ .

Példák és tulajdonságok

Egy véges G csoport Schur-szorzója egy véges Abel-csoport, amelynek kitevője osztja a G csoport sorrendjét. Ha G egy Sylow p -alcsoportja ciklikus valamilyen p -re , akkor a sorrend nem osztható p -vel . Különösen, ha G minden Sylow p - alcsoportja ciklikus , akkor triviális. ${\megjelenítési stílus \operátornév {M} (G)}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {M} (G)}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {M} (G)}$

Például egy 6-os rendű nem Abel-csoport Schur-szorzója egy triviális csoport , mivel bármely Sylow-alcsoport ciklikus. Egy 16-os rendű elemi Abel-csoport Schur-szorzója egy 64-es rendű elemi Abel-csoport, ami azt mutatja, hogy a szorzó szigorúan nagyobb lehet, mint maga a csoport. Egy kvaterniócsoport Schur-szorzója triviális, míg a 2-es diédercsoportok Schur-szorzója 2-es rendű.

A véges egyszerű csoportok Schur-szorzóit véges egyszerű csoportokon határozzuk meg . A váltakozó és szimmetrikus csoportok lefedése a közelmúltban jelentős figyelmet kapott.

Kapcsolódás projektív reprezentációkkal

A Schur szorzóinak tanulmányozásának kezdeti oka a projektív reprezentációk osztályozása voltcsoportok, és definíciójának modern megfogalmazása acsoportok második kohomológiája . A projektív reprezentáció nagyon hasonlíta csoportreprezentációhoz, azzal a különbséggel, hogy ateljes lineáris csoport homomorfizmusahelyett egyprojektív teljes lineárisveszik figyelembe. Más szavakkal, a projektív reprezentáció a modulothe center. $H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })$ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )$

Schur [1] [2] megmutatta, hogy bármely G véges csoporthoz legalább egy véges C csoport tartozik , amelyet Schur-borítónak neveznek , azzal a tulajdonsággal, hogy G bármely projektív reprezentációja C rendes reprezentációjává emelhető . A Schur burkolatot fedőcsoportnak is nevezik . A véges egyszerű csoportok Schur - fedései [en ismertek, és mindegyik példa egy kvázi egyszerű csoportra . Egy tökéletes csoport Schur-fedése az izomorfizmusig egyedileg definiált, de egy általános véges csoport Schur-fedése csak az izoklinizmusig .

Kapcsolat a központi bővítményekkel

Az ilyen fedőcsoportok vizsgálata természetesen a központi és szárnyúlványok vizsgálatához vezet .

A G csoport központi kiterjesztése a kiterjesztés

1\to K\to C\to G\to 1

ahol a C csoport középpontjának egy alcsoportja . $K\leqslant Z(C)$

A G csoport tőnyúlványa a kiterjesztése

1\to K\to C\to G\to 1

ahol a C középpont metszésponti alcsoportja és a C csoport származtatott részcsoportja . Ez szigorúbb, mint a középpont [3] . $K\leqslant Z(C)\cap C'$

Ha a G csoport véges, és csak a tőkiterjesztéseket vesszük figyelembe, akkor van egy ilyen C csoport legnagyobb mérete , és bármely ekkora C csoport esetén a K alcsoport izomorf a G csoport Schur szorzójával . Ha egy véges G csoport ráadásul tökéletes , akkor C egyedi az izomorfizmusig, és maga is tökéletes. Az ilyen C csoportot gyakran nevezik a G csoport univerzális tökéletes központi kiterjesztésének , vagy fedőcsoportnak (mivel a topológiában az univerzális fedőtér diszkrét analógja ). Ha egy véges G csoport nem tökéletes, akkor Schur-borításainak csoportjai (minden ilyen maximális rendű C ) csak izoklinikus .

A csoportot rövidebben univerzális központi kiterjesztésnek is nevezik , de vegyük figyelembe, hogy nincs legnagyobb központi kiterjesztése, mivel egy G csoport és egy Abel-csoport közvetlen szorzata a G csoport tetszőleges méretű központi kiterjesztését képezi .

A törzskiterjesztéseknek megvan az az érdekes tulajdonságuk, hogy egy G csoport generátorkészletének bármely emelése C generáló halmaza . Ha egy G csoport egy szabad F csoportként van definiálva a generátorok halmazán, és egy normál R alcsoportot generátorokon lévő hivatkozások halmaza generál úgy, hogy akkor maga a fedőcsoport ábrázolható F kifejezéssel , de kisebb normál S alcsoporttal , azaz . Mivel G relációi határozzák meg K elemeit , ha C részének tekintjük, akkor teljesülnie kell . $G\cong F/R$ $C\cong F/S$ $S\leqslant [F,R]$

Valójában, ha G tökéletes, csak ennyi kell: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] és M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Emiatt az egyszerűség miatt az olyan fejtegetések, mint például Aschbacher cikkében [4] , a tökéletes esetet kezelik először. A Schur-szorzó általános esete hasonló, de a megfontolás biztosítja, hogy a kiterjesztés tőkiterjesztés legyen azáltal, hogy a generált F alcsoportra korlátozódik : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Ezek mind valamivel frissebb eredményei Schurtól, aki néhány hasznos kritériumot is közölt a többszörösek pontosabb kiszámításához.

Kapcsolat a hatékony reprezentációkkal

A kombinatorikus csoportelméletben a csoportokat gyakran csoportos hozzárendeléssel írják le . A matematika ezen területén fontos téma a minél kevesebb kapcsolattal rendelkező feladatok vizsgálata, mint például a Baumslag-Pasziánsz csoportok egy meghatározó relációval. Ezek a csoportok végtelen csoportok két generátorral és egy relációval, és Schreier régi eredménye azt mutatja, hogy minden olyan feladat, amelynek több generátora van, mint reláció, végtelen csoportot eredményez. Akkor érdekes a határeset, amikor a véges csoportoknak ugyanannyi generátora és relációja van, és ebben az esetben azt mondják, hogy a csoportnak nulla defektusa van . Ahhoz, hogy egy csoport nulla hiba legyen, a csoportnak triviális Schur-szorzóval kell rendelkeznie, mivel a Schur-szorzógenerátorok minimális száma mindig kisebb vagy egyenlő, mint a relációk száma és a generátorok száma közötti különbség, ami negatív hibát ad. . A hatékony csoport olyan csoport, amelyben a Schur-szorzó annyi generátort igényel [5] .

Egy nagyon új kutatási téma az összes véges egyszerű csoport hatékony reprezentációinak megtalálása triviális Schur-szorzókkal. Az ilyen ábrázolások bizonyos szempontból szépek, mivel általában rövidek, de nehéz megtalálni és nehéz velük dolgozni, mivel nem illenek olyan szabványos módszerekhez, mint például a coset enumeration .

Kapcsolat a topológiával

A topológiában a csoportokat gyakran véges csoporthozzárendelésként írhatjuk le , és az alapvető kérdés a teljes integrálhomológiájuk kiszámítása . Különösen a második homológia játszik különleges szerepet, és ez arra késztette Heinz Hopfot , hogy hatékony módszert találjon ennek kiszámítására. A Hopf cikkében [6] leírt módszer Hopf integrál homológia képletként is ismert, és ez a képlet megegyezik a véges csoport Schur-szorzójának Schur-képletével: $H_{n}(G,\mathbb {Z} )$

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]

ahol és F egy szabad csoport . Ugyanez a képlet akkor is igaz, ha G tökéletes csoport [7] . $G\cong F/R$

Az a felismerés, hogy ezek a képletek valójában ugyanazok, Samuel Eilenberg és Saunders MacLane megalkotta a csoportkohomológiát . Általános értelmében,

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{* }

ahol a csillag az algebrailag kettős csoportot jelenti. Sőt, ha a G csoport véges, akkor természetellenes izomorfizmusról van szó

{\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C } ^{\times }).

Hopf képletét magasabb dimenziókra általánosították. Az egyik megközelítéshez és a bibliográfiához lásd Iveret, Grahn és Van der Linden [8] . $H_{2}(G)$

A tökéletes csoport olyan csoport, amelynek első integrál homológiája nulla. A szupertökéletes csoport egy csoport, az első két integrál homológ csoport nulla. A véges tökéletes csoportok Schur burkolatai szupertökéletesek. Az aciklusos csoport olyan csoport, amelyben az összes redukált integrál homológia nulla.

Alkalmazások

Egy R kommutatív gyűrű második algebrai K-csoportja K 2 ( R ) azonosítható a(végtelen) elemi mátrixok E ( R ) csoportjának H 2 ( E ( R ), Z ) második homológiacsoportjával. R -ből származó elemekkel [9] .

Lásd még

Kvázi egyszerű csoport

Miller cikke [10] egy másik nézetet ad a Schur-szorzóról, mint a κ morfizmus magjáról: G ∧ G → G, amelyet a kommutátorleképezés generál.

Jegyzetek

↑ Schur 12. , 1904 .
↑ Schur, 1907 .
↑ Rotman, 1994 , p. 553.
↑ Aschbacher, 2000 , p. 33. §.
↑ Johnson és Robertson 1979 , p. 275–289.
↑ Hopf, 1942 .
↑ Rosenberg, 1994 , p. 4.1.3., 4.1.19. tétel.
↑ Everaert, Gran, Van der Linden, 2008 , p. 2231–67.
↑ Rosenberg, 1994 , p. Következmény 4.2.10.
↑ Miller, 1952 .

Irodalom

Michael Aschbacher. Véges csoportelmélet // 2. - Cambridge University Press , 2000. - V. 10 . - ISBN 978-0-521-78145-9 .
Heinz Hopf . Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1942. - T. 14 . – S. 257–309 . — ISSN 0010-2571 . - doi : 10.1007/BF02565622 .
David Lawrence Johnson, Edmund Frederick Robertson. A nulla hiány véges csoportjai // Homological Group Theory / CTC Wall. - Cambridge University Press , 1979. - V. 36. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-22729-2 .
Leonyid Viktorovics Kuzmin. Schur szorzó // Matematikai enciklopédia / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Jonathan Rosenberg. Az algebrai K-elmélet és alkalmazásai . - Springer-Verlag , 1994. - V. 147. - ( Matematika diplomás szövegei ). — ISBN 978-0-387-94248-3 .
Joseph J. Rotman. Bevezetés a csoportok elméletébe. - Springer-Verlag , 1994. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
Issai Schur . Über die Darstellung der Endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (német) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1904. - T. 127 . — S. 20–50 . — ISSN 0075-4102 .
Issai Schur . Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (német) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1907. - T. 132 , sz. 132 . – S. 85–137 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1907.132.85 .
Wilberd Van der Kallen. Áttekintés: F. Rudolf Beyl és Jürgen Tappe, Csoportkiterjesztések, reprezentációk és a Schur-szorzó // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1984. - T. 10 . — S. 330–3 . - doi : 10.1090/s0273-0979-1984-15273-x .
James Wiegold. A Schur-szorzó: elemi megközelítés // Csoportok–St. Andrews 1981 (St. Andrews, 1981). - Cambridge University Press , 1982. - V. 71. - S. 137-154. — (London Math. Soc. Lecture Note Ser.).
Claire Miller. Egy csoport második homológiája // Proc. amer. Math. Szoc .. - 1952. - V. 3 , sz. 4 . – S. 588–595 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0049191-5 .
Dennis RK A K-elmélettel szoros kapcsolatban álló új "Homológia" funkcionátorok keresése. – Cornell Egyetem, 1976.
Brown R., Johnson DL, Robertson EF Néhány számítás a csoportok nem-abeli tenzorszorzatáról // J. Algebra. - 1987. - T. 111 . – S. 177–202 . - doi : 10.1016/0021-8693(87)90248-1 .
Ellis GJ, Leonard F. Véges csoportok Schur-szorzóinak és tenzorszorzatainak számítása // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1995. - T. 95A , sz. 2 . – 137–147 . — ISSN 0035-8975 . — .
Ellis GJ Egy csoportpár Schur-szorzója // Appl. kategória Szerkezet.. - 1998. - V. 6 , sz. 3 . – S. 355–371 . - doi : 10.1023/A:1008652316165 .
Bettina Eick, Werner Nickel. A Schur-szorzó és egy policiklusos csoport nem-tenzornégyzetének kiszámítása // J. Algebra. - 2008. - T. 320 , sz. 2 . – S. 927–944 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.041 .
Tomas Everaert, Marino Gran, Tim Van der Linden. Magasabb Hopf-képletek a homológiához a Galois-elmélet segítségével // Adv. Matek.. - 2008. - V. 217 , 5. sz . — S. 2231–67 . - doi : 10.1016/j.aim.2007.11.001 .