Baumslag Csoport - Pasziánsz

A Baumslag-Pasziánsz csoport két generátorral és egy relációval rendelkező csoport $a$ $b$

ab^{m}a^{-1}=b^{n}.

Általában ezt a csoportot általában jelölik . $BS(m,n)$

Példák és tulajdonságok

$BS(1,1)$ egy szabad Abel csoport két generátorral,
$BS(1,-1)$ a Klein palack alapvető csoportja
$BS(1,n)$ izomorf a valós vonal affin transzformációinak csoportjának egy alcsoportjával , amelyet a és a leképezések generálnak . $n>1$ $a:x\to nx$ $b:x\to x+1$
A csoport (más csoportokkal együtt , amelyeknél az m és n prímosztóhalmaza nem esik egybe) a leghíresebb példa a nem -hopfi csoportra [1] . Ugyanis az epimorfizmus nem automorfizmus . $BS(2,3)$ $BS(m,n)$ $\varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}$ $BS(2,3)$
A csoport lehetővé teszi a lineáris ábrázolást és . $BS(n,m)$ ${\displaystyle a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$ ${\displaystyle b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$
- Ez az ábrázolás nem hatékony , azaz a csoport különböző elemei ugyanannak a lineáris operátornak felelhetnek meg.
Egy csoport akkor és csak akkor véges , ha , , vagy [2] $BS(m,n)$ $|m|=1$ $|n|=1$ $|m|=|n|$

↑ DJ Collins (2001), " Baumslag-Solitar csoport archiválva 2010. június 26-án a Wayback Machine -nál ", itt: Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
↑ Stephen Meskin, Nem maradéktalanul véges egykapcsolati csoportok

DJ Collins (2001), " Baumslag-Solitar csoport archiválva : 2010. június 26. a Wayback Machine -nál ", itt: Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
Gilbert Baumslag és Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian group Archivált : 2015. november 29., a Wayback Machine , Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199-201. MR : 0142635