Mozaik "csapkerék"

A szélkerekes burkolólap egy nem időszakos burkolás , amelyet Charles Radin tervezett, és John Conway konstrukcióján alapul . A mozaik volt az első nem periodikus mozaik, amelyben a csempék végtelen számú különböző tájolásban vannak.

Conway csempézése

Hagy legyen egy derékszögű háromszög oldalaival , és . Conway észrevette, hogy egy faktoros nyújtás után öt, vele megegyező példányra osztható . $T$ $egy$ $2$ ${\sqrt {5}}$ $T$ ${\sqrt {5}}$

Megfelelő skálázással és fordítással/forgatással ez a művelet megismételhető, hogy egy végtelenül növekvő, növekvő háromszögek sorozatát hozzuk létre, amelyek a másolataiból állnak . Ezeket a háromszögeket kombinálva a teljes sík mozaikját kapjuk azonos másolatokkal . $T$ $T$

Ebben a mozaikban a másolatok végtelen számú különböző irányba orientáltak (ez annak a következménye, hogy a szögek és háromszögek nem arányosak -val ). Ennek ellenére minden háromszög csúcsnak van racionális koordinátája. $T$ $\arctan(1/2)$ $\arctan(2)$ $T$ $\pi$

Mozaik "Pinwheel"

Radin Conway fenti konstrukciójára támaszkodva egy "csapkerék" mozaikot javasolt. Formálisan a szélkerekes burkolólap olyan csempe, amelynek lapkái egy háromszög egyenlő méretű másolatai, és egy lapka csak a teljes oldala mentén, vagy az oldal fele mentén metszheti egymást , és a következő tulajdonságnak meg kell felelnie. Adott egy szélkerék , van egy szélkerék , amely ha az összes lapkát öt részre osztjuk Conway konstrukciója szerint, majd egy tényezővel bővítjük , akkor megegyezik a . Más szóval, a mozaiklapok öt részre csoportosíthatók, hogy (geometriailag) hasonló csempéket állítsanak elő oly módon, hogy ezek a kinagyított csempék (a méretezésig) új "kerekes" burkolatot képezzenek. $T$ $2$ $P$ $P'$ ${\sqrt {5}}$ $P$

A Conway által tervezett mozaik egy "csapkerék", de számtalan más "csapkerék". Mindezek a burkolólapok helyileg megkülönböztethetetlenek ( azaz ugyanazok a végterületeik). Mindegyik megőrzi a Conway csempével közös tulajdonságát, hogy a csempék végtelen számú különböző tájolásúak (és a csúcsoknak racionális koordinátái vannak).

A Radin által bizonyított fő eredmény az, hogy létezik egy véges (bár nagyon nagy) úgynevezett prototilhalmaz, amelyet az oldalak színezésével kapunk . Ekkor a szélkerekes burkolólapok pontosan azok a burkolólapok, amelyeket ezeknek a prototiloknak (egyenlő méretű) másolataiból kapunk azzal a feltétellel, hogy a csempék csak azonos színekkel érintkeznek [1] . $T$

Általánosítások

Radin és Conway egy 3D analógot javasolt, amely megkettőzi a kupola burkolását [2] [3] .

Fraktált kaphat, ha szekvenciálisan felosztja öt azonos háromszögre Conway konstrukciója szerint, és eldobja a középső háromszöget ( a végtelenig ). Ennek a "kerekes" fraktálnak Hausdorff dimenziója van . $T$ $d={\frac {\ln 4}{\ln {\sqrt {5))))\kb. 1,7227$

Használat az építészetben

Az ausztráliai Federation Square épületegyüttese "kerekes" mozaikot használ. A projekt során mozaikokat használtak a homlokzat szerkezeti kereteinek elkészítéséhez, lehetővé téve azok gyári elkészítését, majd a helyszínen történő összeszerelését. A mozaik alapja a cinkből, perforált cinkből, homokkőből és üvegből készült háromszög alakú elemek, amelyek alumínium kereten 4 másik részhez kapcsolódnak, így "panelt" alkotnak. Öt panelt horganyzott acélvázra szereltek fel, "mega-panelt" alkotva, majd ezt felemelték és a homlokzati teherhordó keretre szerelték fel. A burkolólapok forgási helyzete véletlenszerűbb megjelenést kölcsönöz a homlokzatnak, bár a teljes szerelési folyamat azonos méretű, előre elkészített csempéken alapul. Ugyanezt a "kerekes" mozaikot használják a Föderáció téri "Átrium" építésénél, bár ebben az esetben a mozaikot "3 dimenzióssá" tették, hogy a főbejárat szerkezetét képezzék.

Jegyzetek

↑ Radin, 1994 , p. 661–702.
↑ Radin, Conway, 1998 , p. 179-188.
↑ Sadun, 1998 , p. 79–110.

Irodalom

C. Radin. The Pinwheel Tilings of the Plane // Annals of Mathematics . - 1994. - T. 139 , sz. 3 (május) . - doi : 10.2307/2118575 . — .
C. Radin, J. Conway. Quaquaverzális csempézés és forgatás // Inventiones math. - 1998. - Kiadás. 132 .
L. Sadun. Néhány általánosítás a szélkerekes burkolásról. - 1998. - T. 20 , sz. 1 . - doi : 10.1007/pl00009379 .

Linkek

Kerék a csempékkel foglalkozó enciklopédiában
GeoGebrában készült dinamikus pinwheel

geometrikus mozaikok

Időszakos

püthagoraszi
Rombikus
Schwartz háromszög
Téglalap alakú
- Dominó
Ötszögű
Homogén mozaik
Honeycombs
- Színezés
- Konvex
- Osztott mozaik
Lapos krisztallográfiai csoport
Wythoff építkezés

időszakos

Ammann-Binker
Időszakos mozaiklapkészlet
- Lista
Egy csempe kihívás
- Sokolara – Taylor
Gilbert
Penrose
szélkerék
kupolás
Elválasztó és önragasztó készletek
- Szfinksz
Truche

Egyéb

Nem izoéder és izoéder
Építészeti és fényvisszaverő
Circle Limit III
Számítógépes grafika
lépek
Edge tranzitív
Csomag
Feladatok
Mozaik csempe
- Conway kritériuma
- Girih
A gép szabályos felosztása
Szabályos rács
Helyettesítések
Voronoi diagram
Foderberg

Csúcskonfiguráció szerint _

Gömbölyű	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
helyes	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
félig helyes	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hiperbolikus _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3,4,6 2,4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2