Téglalap módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A téglalapok módszere egy változó függvényének numerikus integrálásának módszere , amely abból áll, hogy az integrandust nulla fokú polinomra, azaz konstansra cseréljük minden elemi szakaszon. Ha figyelembe vesszük az integrandus gráfját, akkor a módszer a gráf alatti terület közelítő kiszámításából áll véges számú téglalap területeinek összegzésével, amelyek szélességét a megfelelő szomszédos integráció távolsága határozza meg. csomópontokat, és a magasságot az integrandus értékével ezeknél a csomópontoknál. A pontosság algebrai sorrendje 0. (A középső téglalapok képleténél ez 1).

Ha a szegmens elemi és nem esik át további particionáláson, akkor az integrál értéke innen kereshető $\left[a,b\right]$

A bal oldali téglalapok képlete : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(a)(ba).$
A derékszögű téglalapok képlete : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(b)(ba).$
A téglalapok képlete (közepes): $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f\left({\frac {a+b}{2}}\right)(ba).$

Összetett kvadratúra képletek

Abban az esetben, ha az integrációs szegmenst elemi szegmensekre bontjuk, a fenti képleteket minden egyes elemi szegmensre alkalmazzuk két szomszédos csomópont között. Ennek eredményeként összetett kvadratúra képleteket kapunk $n$

Bal oldali téglalapokhoz : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f(x_{i})(x_{{i+1 }}-x_{i}).$
Derékszögű téglalapokhoz : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=1}}^{n}f(x_{i})(x_{i}-x_{{i -egy}}).$
Közepes téglalapokhoz : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}f\left({\frac {x_{i}+ x_{{i+1}}}{2}}\jobbra)(x_{{i+1}}-x_{i})=\sum _{{i=1}}^{n}f\left( {\frac {x_{{i-1}}+x_{i}}{2}}\jobbra)(x_{i}-x_{{i-1}}).$

A két csomópont közötti középponti érték kiszámítását tartalmazó képlet csak akkor használható, ha az integrandus analitikusan van megadva, vagy más módon, amely lehetővé teszi az érték tetszőleges pontban történő kiszámítását. Azokban a feladatokban, ahol a függvényt értéktáblázat adja meg, már csak a bal és a jobb oldali téglalap képletével számított integrálok közötti átlagértéket kell kiszámítani, ami az összetett kvadratúra trapéz képlethez vezet .

Mivel az összetett kvadratúra képletek nem mások, mint a Riemann-integrál definíciójában szereplő összegek , így konvergálnak az integrál pontos értékéhez. Ennek megfelelően a közelítő képletekkel kapott eredmény pontosságának növekedésével növekszik. $n\to\infty$ $n$

Összetett képletek egységes rácsokhoz

Egy egységes rács a következő képletekkel írható le:

x_{i}=a+ih,\qquad h={\frac {ba}{n)),

hol van a rácslépés. $h$

Egységes rácsokhoz a téglalap képletek a következő Cotes-képletekkel írhatók fel :

Bal oldali téglalapok összetett képlete : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{{i=0}}^{{n-1}}f_{i}=h(f_{0}+ f_{1}+\ldots +f_{{n-1}}).$
Derékszögű téglalapok összetett képlete : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{{i=1}}^{{n}}f_{i}=h(f_{1}+f_{ 2}+\ldots +f_{{n}}).$
Középső téglalapok összetett képlete : I.e. trapézformulának felel meg. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h({\frac {f_{0}}{2}}+f_{1}+\ldots +f_{{n-1} }+{\frac {f_{{n}}}{2}}).$

Módszerhiba

A jobb és bal téglalapokból álló képleteknél a hiba az

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}.

A téglalapok képletéhez (közepes)

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}.

Jobb és bal téglalapokból álló összetett képletekhez egységes rácson:

E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}\cdot n={\frac {f'(\xi )}{2}}(ba) h.

A téglalapok összetett képletéhez:

E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}\cdot n={\frac {f''(\xi )}{24}}( ba)h^{2}.

Megvalósítási példa

Egy analitikusan megadott függvény átlagos téglalapjainak képlete , C-ben írva

double InFunction ( double x ) { //Integrális függvény return sin ( x ); } double CalcIntegral ( double a , double b , int n ) { kettős eredmény = 0 , h = ( b - a ) / n ; for ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { eredmény += InFunction ( a + h / 2 + i * h ); } eredmény *= h ; eredmény visszaadása ; }

Lásd még

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái