Matematikai jelölés

A matematikai jelölés („a matematika nyelve”) egy grafikus jelölés, amelyet arra használnak, hogy elvont matematikai gondolatokat és ítéleteket fejezzenek ki ember által olvasható formában. Az emberiség által használt nem beszédjelrendszerek jelentős részét alkotja (összetettségében és sokszínűségében) . Ez a cikk az általánosan elfogadott nemzetközi jelölést ismerteti, bár a múlt különböző kultúráinak megvoltak a magukéi, és néhányat eddig korlátozottan használnak.

Ne feledje, hogy a matematikai jelöléseket általában néhány természetes nyelv írott formájával együtt használják .

Az alapvető és alkalmazott matematika mellett a matematikai jelölést széles körben használják a fizikában , valamint (a hiányos terjedelmében) a mérnöki tudományban , a számítástechnikában , a közgazdaságtanban , és valójában az emberi tevékenység minden olyan területén, ahol matematikai modelleket használnak . A megfelelő matematikai és alkalmazott jelölési stílus közötti különbségekről a szövegben lesz szó.

Általános információk

A rendszer a természetes nyelvekhez hasonlóan történetileg alakult ki (lásd a matematikai jelölés története ), és úgy szerveződik, mint a természetes nyelvek írása , onnan is kölcsönözve számos szimbólumot (elsősorban a latin és a görög ábécéből). A szimbólumokat, akárcsak a hétköznapi írásban, kontrasztos vonalakkal ábrázolják egységes alapon (fehér papíron fekete, sötét táblán világos, monitoron kontrasztos stb.), jelentésüket elsősorban az alak és a relatív határozza meg. pozíció. A színt nem veszik figyelembe, és általában nem használják, de betűk használatakor olyan jellemzőik, mint a stílus és a betűtípus , amelyek nem befolyásolják a hétköznapi írás jelentését, szemantikai szerepet játszhatnak a matematikai jelölésben.

Szerkezet

A közönséges matematikai jelöléseket (különösen az ún. matematikai képleteket ) általában egy sorba írjuk balról jobbra, de nem feltétlenül alkotnak szekvenciális karakterláncot. Külön karakterblokkok helyezhetők el a sor felső vagy alsó felében, még abban az esetben is, ha a karakterek nem fedik egymást függőlegesen. Ezenkívül egyes részek teljesen a vonal felett vagy alatt találhatók. Nyelvtani oldalon szinte minden "képlet" hierarchikusan szervezett fa típusú szerkezetnek tekinthető .

Szabványosítás

A matematikai jelölések rendszert képviselnek az összetevőik összekapcsolásának értelmében, de általában nem alkotnak formális rendszert (magának a matematikának a felfogásában). Nehéz esetben még programozottan sem szétszedhetők . Mint minden természetes nyelv, a „matematika nyelve” is tele van inkonzisztens elnevezésekkel, homográfiákkal , a helyesnek tartott dolgok eltérő (a beszélői között) értelmezésével stb. A matematikai szimbólumok ábécéje még csak előreláthatólag is létezik, különösen azért, mert a A kérdés nem mindig egyértelmű, hogy két megnevezést különböző karakternek vagy egy karakter eltérő írásmódjának tekintsünk.

A matematikai jelölések egy része (főleg a mérésekkel kapcsolatos ) az ISO 31-11 szabványban van szabványosítva , de általában a jelölések szabványosítása nem létezik.

A matematikai jelölés elemei

Számok

Egész számok írásához általában a decimális számrendszert használják arab számokkal . A sorba írt számjegyek sorozatát számként értelmezzük; a lehetséges kivételeket alább soroljuk fel .

Ha szükséges, alkalmazzunk tíznél kisebb bázisú számrendszert, a bázist alsó indexben írjuk: 20003 8 . A tíznél nagyobb bázisú számrendszereket nem használják az általánosan elfogadott matematikai jelölésekben (bár természetesen maga a tudomány tanulmányozza őket), mivel nincs elég szám hozzájuk. Az informatika fejlődésével összefüggésben vált aktuálissá a hexadecimális számrendszer , amelyben a 10-től 15-ig terjedő számokat az első hat latin betű jelzi A-tól F-ig. A számítástechnikában számos különböző megközelítést alkalmaznak az ilyen számok jelölésére. , de nem kerülnek át a matematikába.

A tizedes tört az alkalmazott területek valós számainak jelölésére szolgál (ez általában egy hozzávetőleges érték, amely nincs konkrétan meghatározva). A matematikában, ha egy nem egész racionális szám történetesen tíz negatív hatványának többszöröse , akkor tizedesjegyként is felírható . Az egész és a tört részek ( pont vagy vessző ) közötti elválasztó típusa a használt nyelv hagyományától függ.

Az alkalmazásokban a nagyon nagy vagy nagyon kicsiket ( abszolút értékben ) gyakran exponenciális jelöléssel írják : . Néha (különösen a számológépek ) a "szorozzuk meg tízzel a hatványra" helyett "E" betűt írnak, azaz , de a legtöbb területen (beleértve a "tiszta" matematikát is) nem használnak ilyen jelölést.

A matematika ezzel szemben inkább a pontosságra, mintsem a jelölés egyszerűségére törekszik, ezért a szükséges számot, amennyire lehetséges, inkább kifejezés formájában írjuk le, mintsem megközelítőleg.

Atomic Symbols

Az ábécé karakterei közül főleg latin és görög betűket használnak. A regisztráció fontos. A latin " I " (nagybetűs "és") és " l " (kisbetűs "el") betűket a közvetlen stílusban serifekkel írják , hogy ne keverjék össze a "|" függőleges sávval. és egymással, és általában törekedjünk olyan stílusok használatára, amelyek a lehető legkevésbé hasonlítanak a többi használt karakterhez. A gótikus betűket külön betűknek tekintjük. A használt ábécékre elvileg nincs korlátozás.

Figyelembe veheti a latin betűkkel írt atomi szavakat is - egyes funkciók és operátorok általánosan elfogadott megnevezései, például "napló" (írásban nem törik szóközökkel, nem kerülnek át stb.); lásd a matematikai rövidítések listáját . Az ilyen szavakat latin (nem dőlt ) betűkkel írjuk kisbetűkkel (kivéve az első betűt, amely lehet nagybetű is ). Vannak olyan digráfok is , amelyek nem latin karakterekből állnak.

Ne használjon olyan karaktereket, mint a "Ȉ" (angolul "ai" pontokkal), mivel az ilyen karakterek könnyen összetéveszthetők a származékokkal ( lásd alább ).

Felső és alsó index karakterek

Zárójelek, hasonló szimbólumok és határolójelek

A "()" zárójelek használatosak:

A „[]” szögletes zárójeleket gyakran használják a jelentések csoportosítására, amikor sok zárójelpárt kell használni. Ebben az esetben kívül helyezkednek el, és (tiszta tipográfiával ) magasabbak, mint a belső zárójelek.

A „[]” négyzet és a „()” zárójel a zárt és a nyitott terek jelölésére szolgál .

A "{}" kapcsos zárójeleket általában halmazok meghatározására használják , bár ugyanaz a figyelmeztetés vonatkozik rájuk, mint a szögletes zárójelekre. A bal oldali „{” és a jobb oldali „}” zárójelek külön használhatók; céljukat az alábbiakban ismertetjük .

A szögletes zárójeles „ ” karaktereknek a tiszta tipográfiában tompaszögűeknek kell lenniük, és így különbözniük kell a hasonló egyenlőtlenségi karakterektől , amelyek derékszögű vagy hegyesszögűek. A gyakorlatban ebben nem szabad reménykedni (főleg a képletek kézi írásánál), és az intuíció segítségével kell különbséget tenni közöttük.

A képlet egy részének kiemelésére gyakran használnak szimmetrikus (a függőleges tengelyhez képest) szimbólumpárokat, beleértve a felsoroltakon kívülieket is. A párosított zárójelek célját az alábbiakban ismertetjük .

A ", " vesszőt használjuk elválasztóként. Ha vesszőt használ elválasztóként a tizedes törtben (például az orosz hagyományban), a vessző köré nem kerül szóköz . Minden más esetben (például ha vesszőt használunk függvényargumentum-elválasztóként ) a vesszőtől jobbra egy kis szóköz kerül, de balra általában nem kerül szóköz.

A függőleges sáv szimbólum "|" kettős szerepet játszik . A szövegkörnyezettől függően lehet zárójel (például abszolút érték , mátrixhatározó ), vagy elválasztó különböző konstrukciókban, vagy egy mátrix kezdetének/végének megjelölése .

Indexek

A helytől függően felső és alsó indexeket különböztetünk meg . A felső index lehet (de nem feltétlenül jelent) hatványozást , lásd alább az egyéb felhasználásokat .

A hagyományos tipográfiától eltérően a matematikában az egész kifejezés gyakran „indexként” működik, gyakran törteket és saját indexeket tartalmaz, ami a karakterek finomításához vezet, és általában megnehezíti a képletek vizuális felismerését.

Szimbólumok kölcsönös elrendezése

Tehát a karakterek elrendezésének fő modelljei:

Szintaxis

Konstansok

A konstansok  olyan értékek, amelyek már a képlet írásakor rögzítettek, különösen a numerikusak. Az egész számok írásáról fentebb volt szó, de ha túl sok számjegyet tartalmaz, akkor számtani kifejezésként is ábrázolható, például ,.

Ha a felírandó szám nyilvánvalóan racionális , akkor a matematikában az esetek túlnyomó többségében pontosan, azaz általában egyszerű tört formájában (ha a szám nem egész szám) lesz felírva.

Az algebrai számot , ha lehetséges, a gyökökön keresztül írjuk be. Hasonlóképpen bármely más szám felírható kifejezésként, amely megadja annak pontos értékét.

Egy komplex szám felírható így , ahol a és b  valós állandók, de felírható a komplex szám argumentumával és modulusával .

Ha szükséges, a konstans jelölése köré zárójeleket teszünk, és általában az állandók kifejezésként való írása a tiszta matematikában nem különbözik más kifejezések írásától.

Számos matematikai konstansnak van betűneve – lásd a Pi ( ), az e Euler-számot és még sok mást . A matematikai apparátust használó tudományokban sok saját neve van és állandók betűivel jelölik. Lásd például: Alapvető fizikai állandók .

Változók

A tudományokban vannak mennyiségek halmazai, és ezek bármelyike ​​felvehet egy értékkészletet, és változónak (változatnak) nevezhető, vagy csak egy értéket, és konstansnak nevezhető. A matematikában a mennyiségeket gyakran elvonatkoztatják a fizikai jelentéstől, majd a változó absztrakt (vagy numerikus) változóvá alakul, amelyet valamilyen szimbólummal jelölnek, amelyet nem foglal el a fent említett speciális jelölés.

Az X változót akkor tekintjük adottnak, ha megadjuk az általa elfogadott {x} értékkészletet . Célszerű egy állandó mennyiséget olyan változónak tekinteni, amelynek megfelelő {x} halmaza egy elemből áll. [egy]

Funkciók és operátorok

A matematikában nincs lényeges különbség az operátor ( unary ), a leképezés és a függvény között . [2]

Nyilvánvaló azonban, hogy ha zárójeleket kell megadni a leképezés értékének rögzítéséhez az adott argumentumokból , akkor ennek a leképezésnek a szimbóluma egy függvényt jelöl, más esetekben inkább operátorról beszél. Egy argumentum egyes függvényeinek szimbólumai zárójelekkel és anélkül is használatosak. Sok elemi függvényt , például vagy , de az elemi függvényeket mindig függvényeknek nevezzük .

Operátorok és relációk (unáris és bináris)

A bináris operátorokat és relációkat infix formában írjuk, kivéve, ha függvényszintaxist használnak. Az unáris operátorokat véletlenszerűen írják; az algebrában az operátor jele általában az argumentumtól balra kerül (előtag jelölés). A differenciálási operátort prímszámmal (általában az x változóhoz viszonyított differenciálást vagy egyszerűen egyetlen függvényargumentumot jelent) vagy a tetején lévő ponttal írjuk (általában a t  - time változóhoz való differenciálást jelenti ).

Az aritmetikai műveletek és az elemi , valamint néhány más "szabványos" függvény használatához lásd a " matematikai képlet " cikket.

Funkciók

Egy függvényre két értelemben is hivatkozhatunk: értékének kifejezéseként megadott argumentumokkal (írt , stb.), vagy maga függvényként. Ez utóbbi esetben csak a funkciószimbólum kerül be, zárójelek nélkül (bár gyakran véletlenszerűen írják).

A matematikai munkában használt gyakori függvényekre számos jelölés létezik, további magyarázat nélkül. Egyébként a függvényt le kell írni valahogy, és az alapvető matematikában alapvetően nem különbözik a változótól , és ugyanúgy tetszőleges betűvel jelölik. Az f betű a legnépszerűbb változó függvényeknél , a g -t és a legtöbb görög nyelvet is gyakran használják .

Előre meghatározott (fenntartott) megnevezések

Az egybetűs megjelölések azonban kívánság szerint más jelentést is kaphatnak. Például az i betűt gyakran használják indexjelölésként olyan szövegkörnyezetekben, ahol a komplex számok nem alkalmazhatók, a π betű pedig változóként használható, például a kombinatorikában . Ezenkívül a halmazelmélet (mint például „ ” és „ ”) és a propozíciószámítás (például „ ” és „ ”) szimbólumai más értelemben is használhatók, általában sorrendi relációként , illetve bináris műveletként .

Indexelés

Az indexelést grafikusan indexek (általában alsó indexek, néha felső indexek) ábrázolják, és bizonyos értelemben egy mód a változó tartalmának kiterjesztésére. Azonban három kissé eltérő (bár egymást átfedő) értelemben használják.

A tényleges számok

Több különböző változó is megadható, ha egyetlen betűvel jelöljük őket, hasonlóan az ékezetek használatához . Például: . Általában valamilyen közös vonás köti össze őket, de általában ez nem szükséges.

Sőt, "indexként" nemcsak számokat, hanem bármilyen karaktert is használhat. Ha azonban egy másik változót és kifejezést indexként írunk, akkor ez a bejegyzés „az indexkifejezés értéke által meghatározott számmal rendelkező változóként” értelmeződik.

Tenzoranalízisben

A lineáris algebrában , a tenzoranalízisben , a differenciálgeometriában indexekkel (változók formájában), tenzormennyiségeket írnak fel, és számuk a tenzor rangját jelzi. Felsõ indexeket is használnak.

A tenzormennyiségek szorzatának megírásakor az értelmezés a felhasznált indexváltozók egybeesésétől függ. Ha mindegyik különbözik, akkor a tenzorszorzat feltételezhető . Ha egy változó kétszer fordul elő (például: ), akkor konvolúciót hajtunk végre rajta . Lehetőség van a mátrix típusának felírására  is . Ezt a jelölést hagyományosan " összegzés ismétlődő indexeken keresztül " nevezik, mert fix alapon pontosan így néz ki.

Opciók

Tükör (párosított) karaktereket használó szerkezetek

A zárójelek értékei , kivéve a műveletek sorrendjének jelzését (csoportosítás). Több argumentum (egynél több) esetén az elválasztó karakter egy vessző, hacsak nincs másként megadva.

Kerek zárójelek "()":

Szögletes zárójelek "[]":

  • switch (2 argumentum) és hasonló műveletek.

Speciális karakterek hiányában a zárójelek " " használhatók a szám egész számának jelzésére .

Kapcsos zárójelek "{}":

  • sets (tetszőleges számú argumentum vesszővel elválasztva, vagy "{ kifejezés | feltétel }");
  • antikommutátor (2 argumentum).

"<>" szögletes zárójelek:

Botok "||" és dupla bot " ":

Halmazok és osztályok

Egy halmaz vagy osztály más objektumokhoz hasonlóan jelölhető előre definiált jelöléssel, változóval (atomszimbólum), halmazokon végzett művelet eredményeként stb . a kifejezés minden értéke, amelyre a feltétel igaz. Az adott kifejezésen belül használt változók lehetnek lokálisak.

Lehetőség van a " feltétel " írására is , ahol

  • x  egy helyi változó (amelynek értékei alkotják a szükséges halmazt);
  • M  egy előre meghatározott halmaz, amelyen az x változó átfut.

Egy halmaz vagy osztály enumként is írható: "{elem}", "{elem, elem}" , "{elem, elem, elem}" stb.

A halmazokon végzett műveletek szimbólumait a " Műveletek halmazokon " című cikk ismerteti.

A matematikai logika konstrukciói

Logikai összeköttetések

Predikátumértékekből , bináris relációkból stb. álló logikai kifejezések írásához logikai konnektívumokat használnak. A bináris konnektívumok infix formában vannak írva . Általánosan elfogadott:

  • "&" kötőszó (" " is, különösen a Boole-logikában );
  • diszjunkció " " (" | " szimbólum , ellentétben a programozással, nem ebben a jelentésben használatos);
  • implikáció : " " (mint értelmes állítás), "→" (egy formális elmélet megítélése); abban az esetben, ha a szokástól eltérően a premissza a jobb oldalon, a következmény pedig a bal oldalon van, a nyíl iránya megváltozik: " ", " ";
  • tagadás "¬" (egytagú kötőszó, előtag alakban használatos ; sok bináris relációszimbólum, különösen az egyenlőségszimbólum és a sorrendszimbólum rendelkezik egy beágyazott tagadással, amelyet általában a szimbólum átvágásával kapunk).

A propozíciós konstansoknak, valamint más típusú logikai konnektívumoknak nincs általánosan elfogadott elnevezése (kivéve talán a matematikai logika területét).

" És " és " vagy " egyenletek írásakor

Ugyanez a kötőszó írásakor az ún. egyenletrendszert általában egy párosítatlan nyitó kapcsos kapcsos "{"-val jelölik.

Hasonlóképpen, a diszjunkció jelölhető egy párosítatlan nyitó szögletes zárójellel "[".

Néhány programozási nyelvben létezik egy, a hármas feltételes művelethez hasonló konstrukció :

Kvantifikátorok Következtetés

Informális jelölés

Fordítás nem grafikus formára

Szóbeli olvasás

Elektronikus kódolás

Ennek legelterjedtebb rendszere a TeX és kiterjesztései. [3]

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Fikhtengolts G.M. Első fejezet: A határok elmélete. // A differenciál- és integrálszámítás menete. - 7. kiadás - "Nauka", 1969. - T. 1. - S. 43. - 608 p. — 100.000 példány.
  2. ↑ Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Yu. V. Prokhorov . - " Szovjet Enciklopédia ", 1988. - S.  431 . — 847 p. — 150.000 példány.
  3. ↑ A Wikipédia a LaTeX -et használja a matematikai jelöléshez , amelynek használatát a Wikipédia:Képletek oldalon dokumentálják .