Több operátoros csoport

A többoperátoros csoport egy tetszőleges algebra , amely csoportstruktúrával van felszerelve, általánosítja a csoport , a gyűrű , a test , az operátorcsoport fogalmait (amely viszont modulokat általánosít gyűrűk felett , különösen vektortereket ). .

Philip Higgins angol matematikus [1] [2] vezette be 1956 -ban, mint a leguniverzálisabb struktúrát, amelyben minden kongruenciát az ideálokban szereplő kosettákra bomlik le , és amelyre a kommutátor fogalma meghatározható .

A többoperátoros csoportok további példái a közeli és a közeli mező . Tanulmányozzuk a többoperátoros csoportok speciális univerzális osztályait is – többoperátoros gyűrűket és többoperátoros algebrákat .

Definíciók

A többoperátoros csoport vagy -csoport olyan algebra , amely csoportot alkot , ráadásul bármely -ary művelethez , azaz alrendszert alkot a -ban . Feltételezzük, hogy az aláírás egy része nem tartalmaz null műveleteket. Néha egy többoperátoros csoportot a kiegészítő aláírása hív meg - -group. $\Sigma$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $\langle G, +, -, 0$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $\sigma(0, \pontok, 0) = 0$ $\{0\}$ $\mathfrak G$ $\Sigma$ $\Sigma$

Egy csoport normál alcsoportját többoperátoros csoport ideáljának nevezzük , ha bármely -ary művelethez , tetszőleges ( ) és az űrlap összes eleméhez: $N$ $\langle G, +, -, 0$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $g_i \in G$ $1 \leqslant i \leqslant n$ $a \ in N$

-\sigma(g_1, \pontok, g_n) + \sigma(g_1, \pontok, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \pontok, g_n)

újra tulajdonba került . A jelölés analógia útján használható egy normál alcsoport és egy gyűrű ideál jelölésével. A többoperátoros csoportot egyszerűnek nevezzük, ha csak két ideálja van - maga a csoport és a nulla alcsoport. $N$ $N \háromszögleft \mathfrak G$

A többoperátoros csoport elemeinek kommutátora egy elemként van definiálva , amelyet jelöl . $g_{1},g_{2}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $-g_1 - g_2 + g_1 + g_2$ $[g_1, g_2]$

A többoperátoros csoport kommutátora egy ideál, amelyet az űrlap összes kommutátora és eleme generál: $[g, h]$

-\sigma (g_{1},\pontok ,g_{n})-\sigma (h_{1},\pontok,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\pontok ,g_{n}+h_{n})

bármely -ary művelethez a többoperátoros csoport további aláírásából. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Egy ideál tulajdonságai

A csoportok esetében a többoperátoros csoport ideálja egybeesik a normál alcsoport fogalmával, a gyűrűk és az ezeken alapuló struktúrák esetében pedig a kétoldalú ideál fogalmával .

A többoperátoros csoport bármely ideálja az alrendszere . A többoperátoros csoport bármely ideálrendszerének metszéspontja ismét az ideálja, ráadásul ez az ideál egybeesik a csoport ezen ideálok által generált alcsoportjával . $\{N_i \mid i \in I\}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $N = \bigcap N_i$ $\langle G, +, -, 0$

Az ideál fő tulajdonsága, hogy a többoperátoros csoporton lévő bármely kongruenciát a kosetekre való kiterjesztések írnak le valamilyen ideálhoz képest, vagyis beszélhetünk egy többoperátoros csoport hányadosrendszeréről (multioperator quotent group) mint generáló konstrukcióról. egy új multioperátor csoport az ideáljából.

A többoperátoros csoportok speciális osztályai

A többoperátoros gyűrű olyan többoperátoros csoport , amelynek additív csoportja Abel -féle , és minden egyes művelet disztributív a csoportösszeadás tekintetében: $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$

\sigma(g_1, \pontok, g_i + h_i, \pontok, g_n) = \sigma(g_1, \pontok, g_i, \pontok, g_n) + \sigma(g_1, \pontok, h_i, \pontok, g_n)

bármely . $g_i, h_i \in G$

A többoperátoros algebra egy többoperátoros gyűrű, amelynek minden unáris művelete egy mezőt alkot , ráadásul a struktúra egy vektortér e mező felett, és az egynél nagyobb aritás és tetszőleges elemek összes -áris műveletére : $\Sigma$ $\Sigma_1$ $\lambda \in \Sigma_1$ $n$ $\sigma \in \Sigma \setminus \Sigma_1$ $g_i \in G$

\lambda \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(\lambda g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, \lambda g_i, \dots , g_n) = \sigma(g_1, \pontok, g_i, \pontok, \lambda g_n

Más többoperátoros struktúrákhoz hasonlóan a szövegben gyakran egy további aláírással azonosítják: multioperator -algebra $\Sigma$ (ebben az esetben, és elkerülendő a kétértelműséget a gyűrű feletti algebra , amelynek ez egy speciális általánosítása, és az univerzális értelemben vett algebra között ).

A többoperátoros gyűrűk és algebrák ideáljai olyan alcsoportok , amelyekben egy elem jelenléte magában foglalja a forma összes elemének tartalmát [3] . $N \háromszög G$ $g_i \in N$ $\sigma(g_1, \pontok, g_i, \pontok, g_n) \in N$

Jegyzetek

↑ PJ Higgins. Csoportok több operátorral // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - 1. évf. 6 , sz. 3 . - P. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh, 1973 , p. 114.
↑ Általános algebra, 1991 , p. 357.

Irodalom

A. G. Kurosh . Csoportok többoperátorral // Előadások az általános algebráról. - 2. kiadás - M .: Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30.000 példány.
Artamonov V. A. . fejezet VI. Univerzális algebrák // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referencia matematikai könyvtár). — 25.000 példány. — ISBN 5-9221-0400-4 .
I. M. Vinogradov. Multioperator group // Mathematical Encyclopedia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)