Enriques-Kodiry osztályozás

Az Enriques-Kodiira osztályozás a kompakt , összetett felületek tíz osztályba sorolását jelenti. Ezen osztályok mindegyikénél ezeknek az osztályoknak a felületei paraméterezhetők a moduli térrel . A legtöbb osztály esetében a modulterek jól fejlettek, de egy általános típusú felületosztály esetében a modulterek túl bonyolultak ahhoz, hogy egyértelműen leírjuk, bár néhány összetevő ismert.

Max Noeter elkezdte az algebrai felületek szisztematikus tanulmányozását, Guido Castelnuovo pedig az osztályozás fontos részének bizonyult. Enriques [1] [2] leírta az összetett projektív felületek osztályozását. A Kodaira [3] [4] [5] [6] később kiterjesztette az osztályozást a nem algebrai tömör felületekre is.

A p > 0 karakterisztikus felületek hasonló osztályozását Mumford [7] kezdte el, majd Bombieri és Mumford [8] [9] fejezte be . Az osztályozás hasonló a projektív felületek esetében a 0. karakterisztikában, azzal a különbséggel, hogy a 2. karakterisztikában szinguláris és szuperszinguláris Enriques-felületeket, a 2. és 3. karakterisztikában pedig kvázi-hiperelliptikus felületeket is kapunk.

Besorolás jóváhagyása

A kompakt komplex felületek Enriques-Kodaira osztályozása kimondja, hogy bármely nem szinguláris minimális kompakt komplex felület pontosan az ezen az oldalon felsorolt 10 típus egyikébe tartozik. Más szóval, ez a racionális, szabályos (>0 nemzetségbe tartozó), VII, K3, Enriques, Kodaira típusú, tórikus, hiperbolikus, megfelelő kvázi elliptikus vagy általános típusú felületek egyike.

Az általános típustól eltérő 9 felületosztály esetében meglehetősen teljes leírás létezik arról, hogy az összes felület hogyan néz ki (ami a VII. osztály esetében a globális gömbhéj sejtéstől függ , amely nem bizonyított). Az általános típusú felületek explicit besorolásáról nem sokat tudunk, bár számos példát találtak.

Az algebrai felületek besorolása a pozitív karakterisztikában [7] [8] [9] hasonló az algebrai felületek osztályozása a 0-s karakterisztikában, azzal a különbséggel, hogy nincsenek Kodaira vagy VII típusú felületek, hanem néhány további Enriques-felület család a 2. jellemzőben. és hiperelliptikus felületek a 2. és 3. jellemzőben. Ezenkívül a 2. és 3. jellemzőben az 1. Kodaira dimenzióhoz kvázi elliptikus köteg megengedett. Ezek a további családok a következőképpen értelmezhetők: a 0 karakterisztikában ezek a felületek véges csoportok felületeinek faktorai , de véges karakterisztikában vehetünk olyan véges csoportsémák faktorait is , amelyek nem étales .

Oskar Zariski több pozitív karakterisztikájú felületet szerkesztett, amelyek irracionális , de nem racionálisak, amelyeket elválaszthatatlan kiterjesztésekből kapnak ( Zariski felületek ). A pozitív jellemzés érdekében Serre kimutatta, hogy eltérhet a -tól , Igusa pedig azt, hogy még ha egybe is esnek, nagyobbak lehetnek az szabálytalanságnál (a Picard sokaság dimenziója ). $h^{0}(\Omega )$ $h^{1}(O)$

Felületi invariánsok

Hodge számok és Kodaira dimenzió

A tömör komplex felületek osztályozásban használt fontos invariánsainak többsége a koherens tárcsák különböző kohomológiai csoportjainak méretei alapján adható meg . A főbbek a plurirodok és a Hodge-számok az alábbiak szerint definiálva:

K a kanonikus vonalköteg , amelynek szakaszai holomorf 2-formájúak.
$P_{n}=\mathrm {dim} \,H^{0}(K^{n})$ n ≥ 1 esetén a plurigének . Ezek biracionális invariánsok, azaz invariánsok a robbantás alatt . A Seiberg-Witten elméletet felhasználva Friedman és Morgan kimutatta, hogy összetett sokaságok esetén a plurigének csak a mögöttes orientált sima négyes sokaságoktól függenek. A nem Kähler-felületek esetében a plurigéneket az alapcsoport határozza meg, de a Kähler-felületek esetében vannak példák különböző plurigénekkel és Kodaira-mérettel rendelkező homeomorf felületekre. A Plurirodokat nem gyakran használják külön-külön, a legfontosabb bennük a növekedési ütemük, a Kodaira dimenziójával mérve .
κ a Kodaira dimenzió . Ez (néha −1-et írnak), ha minden plurigén 0, ellenkező esetben ez a legkisebb szám (0, 1 vagy 2 felületeknél), amely korlátos. Enriques nem ezt a definíciót használta, helyette a és az értékeket használta . Meghatározzák a Kodaira dimenzióját, mivel a Kodaira dimenziója egyezik , matches , matches és , míg egyezések és . $-\infty$ ${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa ))$ $P_{12}$ $KK=c_{1}^{2}$ $\kappa=-\infty$ $P_{12}=0$ $\kappa =0$ $P_{12}=1$ $\kappa =1$ $P_{12}>1$ $KK=0$ $\kappa =2$ $P_{12}>1$ $KK>0$
$h^{i,j}=\mathrm {dim} \,H^{j}(X,\Omega ^{i})$ (hol van a holomorf i -formák kötege ) a Hodge-számok , gyakran Hodge-gyémánt formájában elrendezve ${\displaystyle \Omega ^{i))$

		h 0,0
	h 1,0		h 0,1
h 2,0		h 1.1		h 0,2
	h 2.1		h 1.2
		h 2.2

Serre dualitás szerint h i , j = h 2− i ,2− j és h 0,0 = h 2,2 = 1. Ha a felület Kähler , akkor h i, j = h j, i , tehát ott csak 3 független Hodge-szám. Kompakt komplex felületek esetén h 1,0 vagy h 0,1 vagy h 0,1 − 1. Az első plurigén P 1 egyenlő a h 2,0 = h 0,2 Hodge-számokkal , és néha geometrikus nemzetségnek is nevezik. Egy komplex felület Hodge-számai csak a felület orientált valós kohomológiájának gyűrűjétől függenek, és invariánsak a birációs transzformációk során, kivéve h 1,1 -et , amely 1-gyel nő, ha egy pontot felrobbantanak.

Hodge-számmal kapcsolatos invariánsok

Számos invariáns létezik, amelyek (legalábbis összetett felületek esetén) Hodge-számok lineáris kombinációjaként írhatók fel, az alábbiak szerint:

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4))$ a Betty-számok - . és és . A p > 0 karakterisztikában a Betti-számokat (amelyeket az l-adic cohomology határoz meg ) nem kell ilyen módon a Hodge-számokhoz kapcsolni. $b_{i}=dim(H_{i}(S))$ $b_{0}=b_{4}=1$ ${\displaystyle b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2))$ $b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}$
${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4))$ az Euler-karakterisztika vagy Euler-szám .
q az egyenetlenség , a Picard-csoport mérete és az albani sokaság mérete , amelyek összetett felületek esetén (de nem mindig pozitív karakterisztikájú felületeknél) egyenlőek h 0,1 -gyel .
${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1))$ egy geometriai nemzetség .
${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0.2}-h^{0.1))$ az aritmetikai nemzetség .
$\chi =p_{g}-q+1=ó^{0,2}-ó^{0,1}+1$ a triviális köteg holomorf Euler karakterisztikája . (Általában különbözik a fent leírt e Euler-számtól.) A Noether-féle képlet szerint ez a szám megegyezik a Todd nemzetségével is ( ) ${\tfrac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}$
$\tau$ a szignatúra (a második kohomológiai csoport összetett felületek esetén), és egyenlő -val , ami egyenlő -val . $4\chi-e$ $\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}$
${\displaystyle b^{+))$ és a maximális pozitív és negatív meghatározott altereinek méretei , így és . $b^{-}$ $H^2$ ${\displaystyle b^{+}+b^{-}=b_{2))$ $b^{+}-b^{-}=\tau$
$c_{2}=e$ és a Zhen számok különböző polinomok integráljaiként vannak definiálva a Zhen osztályokban a sokaság felett. $c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e$

Összetett felületek esetén a fenti, Hodge-számokkal definiált invariánsok csak a mögöttes orientált topológiai sokaságtól függenek.

Egyéb invariánsok

A kompakt komplex felületeknek vannak más változatai is, amelyeket nem használnak olyan aktívan az osztályozásban. Ez magában foglalja az algebrai invariánsokat, például a Picard-csoportot Pic( X ), tényezője a Néron-Severi csoport NS( X ) ranggal (Picard szám) ρ, topológiai invariánsokat, például az alapcsoportot . , valamint egész homológia és kohomológia csoportok, valamint a mögöttes sima négydimenziós sokaságok invariánsai , mint például a Seiberg-Witten invariánsok és a Donaldson invariánsok . $\pi_{1}$

Minimális modellek és robbanás

Bármely felület biracionálisan ekvivalens egy nem szinguláris felülettel, ezért a legtöbb esetben elegendő a nem szinguláris felületek osztályozása.

Adott a felület bármely pontja, az adott pont felfújásával új felületet képezhetünk , ami nagyjából azt jelenti, hogy a pontot egy projektív egyenesre cseréljük. Ebben a cikkben egy nem szinguláris X felületet minimálisnak nevezünk, ha nem nyerhető ki egy másik nem szinguláris felületről egy pont felrobbantásával. Castelnuovo kontrakciós tétele szerint ez ekvivalens azzal a tulajdonsággal, hogy X nem tartalmaz (−1)-görbéket (sima racionális görbék önmetszési indexszel −1). (A minimálmodellprogram modernebb terminológiája szerint egy sima X projektív felületet minimálisnak mondunk , ha a K X kanonikus vonalkötege egy nef köteg . Egy sima projektív felületnek ebben a szigorúbb értelemben minimális modellje van, ha és csak akkor, ha a Kodaira dimenziója nem negatív.)

Bármely X felület biracionálisan ekvivalens egy minimális nem szinguláris felülettel, és ez a minimális felület akkor egyedi, ha X Kodaira-dimenziója legalább 0, vagy a felület nem algebrai. A Kodaira dimenziójú algebrai felületek biracionálisan egyenértékűek egynél több minimális nem szinguláris felülettel, de ezeknek a minimális felületeknek a kapcsolatát könnyű leírni. Például egy ponton felrobbantott felület izomorf vagy kétszer felrobbantott. Tehát az összes kompakt komplex felület osztályozásához a birációs izomorfizmusig (többé-kevésbé), elegendő a minimális nem szinguláris felületek osztályozása. $-\infty$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ $\mathbf {P} ^{2}$

A Kodaira dimenzió felületei −∞

A Kodaira dimenziójú algebrai felületek az alábbiak szerint osztályozhatók. Ha q > 0, akkor az albani változatra való leképezés szálai projektív vonalak (ha a felület minimális), tehát a felületet szabályozzuk. Ha q = 0, ez az érvelés meghiúsul, mivel az albani változat egy pont, ebben az esetben Castelnuovo tétele azt sugallja, hogy a felület racionális. $-\infty$

A nem algebrai felületek esetében a Kodaira talált egy további VII típusú felületet, amely továbbra sem teljesen ismert.

Racionális felületek

A racionális felület olyan felület, amely biracionálisan ekvivalens a P 2 komplex projektív síkkal . Mindegyik algebrai. A minimális racionális felületek maguk a P 2 felületek és a Hirzebruch felületek n = 0 vagy . (A Hirzebruch felület egy -köteg a felett , amely az O(0)+O(n) köteghez kapcsolódik. A felület izomorf -ra , de izomorf a P 2 egy ponton történő felfújásával, tehát nem minimális. .) $\Sigma _{n}$ $n \geqslant 2$ $\Sigma _{n}$ $\mathbf {P} ^{1}$ $\mathbf {P} ^{1}$ ${\displaystyle \Sigma _{0))$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ $\Sigma_1$

Invariánsok: A Plurirodok mindegyike egyenlő 0-val, az alapcsoport triviális.

Rhombus Hodge:

		egy
	0		0
0		egy		0	(projektív sík)
	0		0
		egy

		egy
	0		0
0		2		0	(Hirzebruch felszín)
	0		0
		egy

Példák: P 2 , P 1 × P 1 = Σ 0 , Hirzebruch felületek Σ n , négyzetek , köbös felületek , del Pezzo felületek , Veronese felszín . E példák közül sok nem minimális.

A nemzetség vonalas felületei > 0

A g nemzetség szabályos felületei sima morfizmust mutatnak a g nemzetség görbéjébe, amelynek rostjai a P 1 vonalak . Mindezek a felületek algebraiak. (A 0 nemzetség felületei Hirzebruch felületek és racionálisak). Bármilyen szabályzott felület biracionálisan ekvivalens egyetlen C görbére , így a szabályos felületek osztályozása a birációs ekvivalenciáig lényegében megegyezik a görbék osztályozásával. Egy nem izomorf uralkodó felületnek egyetlen generátora van (kettő van). $\mathbf {P} ^{1}\times C$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1))$

Invariánsok: Minden plurirod 0.

Rhombus Hodge:

		egy
	g		g
0		2		0
	g		g
		egy

Példák: A 0-nál nagyobb nemzetség bármely görbéjének szorzata P 1 -gyel .

VII. osztályú felületek

Ezek a felületek soha nem algebrai vagy Kähler felületek . A b 2 =0 minimális felületeket Bogomolov osztályozza, és ezek vagy Hopf felületek vagy Inoue felületek . Példák pozitív második Betti-számmal az Inoue-Hirzebruch felületek , az Enoki felületek és általánosabban a Kato felületek . A globális gömbhéj-sejtésből az következik , hogy a VII. osztály minden minimális felülete pozitív második Betti-számmal Kato-felület.

Invariánsok: q =1, h 1,0 = 0. Minden plurigén egyenlő 0-val.

Rhombus Hodge:

		egy
	0		egy
0		b 2		0
	egy		0
		egy

A Kodaira dimenzió felületei 0

Ezeket a felületeket a Noether-képlet osztályozza . A 0 Kodaira dimenzióhoz K nulla önmetszési indexe , tehát . A és kifejezések használatával megkapjuk $12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}$ $c_{1}^{2}=0$ $\chi =h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}$ ${\displaystyle c_{2}=2-2b_{1}+b_{2))$

10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}+b_{2}\right)

Sőt, mióta van $\kappa =0$

h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&K\neq 0\end{cases}}

Az utolsó kifejezést az előzővel kombinálva azt kapjuk

8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}+b_{2}\right)={\begin{cases}10&K=0\\22&K\neq 0\end{cases}}

Általánosságban elmondható , hogy a bal oldali három tag nem negatív egész szám, így ennek az egyenletnek csak néhány megoldása van. Algebrai felületek esetén egy páros egész szám 0 és 2 pg között , míg kompakt komplex felületeknél az érték 0 vagy 1, Kähler felületeknél pedig 0 . A Kähler felületekhez . ${\displaystyle 2h^{0,1}\geqslant b_{1))$ ${\displaystyle 2h^{0,1}-b_{1))$ $h^{1,0}=h^{0,1}$

Ezekre a feltételekre a legtöbb megoldás megfelel az alábbi táblázat felületi osztályainak.

b 2	b 1	h 0,1	p g = h 0,2	h 1,0	h 1.1	felületek	mezőket
22	0	0	egy	0	húsz	K3	Bármi. Mindig Kähleri -féle komplex számok felett, de nem feltétlenül algebrai.
tíz	0	0	0	0	tíz	Klasszikus Enriques felület	Bármi. Mindig algebrai.
tíz	0	egy	egy			Nem klasszikus Enriques felület	Csak 2. jellemzők
6	négy	2	egy	2	négy	Abeli felületek, tori	Bármi. Mindig Kähleri -féle komplex számok felett, de nem feltétlenül algebrai.
2	2	egy	0	egy	2	hiperelliptikus	Bármi. Mindig algebrai
2	2	2	egy			Kvázihiperbolikus	Csak a 2., 3. jellemzők
négy	3	2	egy	egy	2	A Kodaira fő felülete	Csak összetett, soha Kähler
0	egy	egy	0	0	0	A Kodaira másodlagos felülete	Csak összetett, soha Kähler

Felületek K3

Ezek a felületek minimális kompakt komplex felületek, Kodaira dimenziója 0, q = 0 és egy triviális kanonikus vonalköteg. Mindannyian Kahlerian . Minden K3 felület diffeomorf, és a diffeomorfizmus osztálya az egyszerűen összekapcsolt, sima, spin szerkezetű 4-elosztó fontos példája.

Invariánsok: A második H 2 ( X , Z ) kohemológiai csoport izomorf a 22 dimenzió egyetlen páros unimoduláris II 3,19 rácsával −16 aláírással.

Rhombus Hodge:

		egy
	0		0
egy		húsz		egy
	0		0
		egy

Példák :

Kvartikások P 3 - ban ( C )
Kummer felületek . Ezeket úgy kapjuk meg, hogyegy Abel-felületet egy a → − a automorfizmussal faktorizálunk , majd felfújunk 16 szinguláris pontot.

A K3-mal jelölt felület egy K3 felület, amely egy II 3,19 -től H 2 -ig terjedő automorfizmussal együtt ( X , Z ). A K3-mal jelölt felületek modulustere egy 20-as dimenziójú, összefüggő nem Hausdorff-féle sima analitikai tér. Az algebrai K3 felületek ennek a térnek a 19 dimenziós részsokaságainak megszámlálható halmazát alkotják.

Abeli felületek és kétdimenziós komplex tori

A kétdimenziós komplex tori Abel-felületeket tartalmaz . Az egydimenziós komplex tori csak elliptikus görbék, és mindegyik algebrai, de Riemann felfedezte, hogy a 2. dimenziójú összetett tori-k nem algebraiak. Az algebrai tori pontosan kétdimenziós abeli fajták . Elméletük nagy része a magasabb dimenziójú tori vagy Abel-fajták elméletének speciális esete. Az a kritérium, hogy a sokaság két elliptikus görbe szorzata ( egy izogeniáig ), a 19. században népszerű tanulmányi téma volt.

Invariánsok: Minden plurigén egyenlő 1-gyel. A felület diffeomorf , tehát Z 4 az alapcsoport . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times S^{1}\times S^{1))$

Rhombus Hodge:

		egy
	2		2
egy		négy		egy
	2		2
		egy

Példák: Két elliptikus görbe szorzata. Bármely C 2 tényező a rács felett.

A Kodaira felületei

A felületek soha nem algebraiak, bár vannak nem állandó meromorf függvényeik. Általában két altípusra osztják őket: alapvető Kodaira felületekre triviális kanonikus köteggel és másodlagos Kodaira felületekre , amelyek az előbbiek tényezői a 2., 3., 4. vagy 6. rendű véges csoportok tekintetében, és nem triviális kanonikus kötegekkel rendelkeznek. . A másodlagos Kodaira felületek ugyanolyan kapcsolatban állnak az elsődleges felületekkel, mint az Enriques felületek a K3 felületekkel, vagy a bielliptikus felületek az Abeli felületekkel.

Invariánsok: Ha a felület a fő Kodaira felület hányadosa egy k =1,2,3,4,6 rendű csoportban, akkor a P n plurigének egyenlők 1-gyel, ha n osztható k -val, egyébként 0-val.

Rhombus Hodge:

		egy
	egy		2
egy		2		egy	(Fő)
	2		egy
		egy

		egy
	0		egy
0		0		0	(Másodlagos)
	egy		0
		egy

Példák: Vegyünk egy nem triviális vonalköteget egy elliptikus görbén, távolítsuk el a nulla szakaszt, majd keressük meg a rétegtényezőt a Z csoportból, ami valamilyen z komplex szám hatványaival való szorzásként működik . Ennek eredményeként megkapjuk a Kodaira fő felületét.

Enriques felületek

Ezek olyan összetett felületek, amelyekre q = 0 és a kanonikus vonalköteg nem triviális, de . Az Enriques-felületek mind algebraiak (és ezért Kähler ). Ezek a K3 felület 2. rendű csoportjainak faktorai, elméletük hasonló az algebrai K3 felületek elméletéhez. $P_{2}\neq 0$

Invariánsok: A Plurirod P n 1, ha n páros és 0, ha n páratlan. Az alapcsoport 2. rendű. A második H 2 ( X , Z ) kohemológiacsoport izomorf a 10. dimenzió egyetlen páros II 1,9 egymoduláris rácsának −8 aláírással és a 2. rendű csoport összegével.

Rhombus Hodge:

		egy
	0		0
0		tíz		0
	0		0
		egy

A címkézett Enriques felületek egy összefüggő 10 dimenziós családot alkotnak, amelyet kifejezetten leírnak.

A 2. karakterisztika esetében van néhány további Enriques-felületcsalád, amelyeket szinguláris és szuperszinguláris Enriques-felületeknek neveznek. A részletekért lásd az "Enriques felületek" cikket .

Hiperelliptikus (vagy bielliptikus) felületek

A komplex számok területén ezek a felületek két elliptikus görbe szorzatának tényezői egy véges automorfizmus csoporthoz képest. A végső csoport lehet Z /2 Z , Z /2 Z + Z /2 Z , Z /3 Z , Z /3 Z + Z /3 Z , Z /4 Z , Z /4 Z + Z /2 Z ill . Z /6 Z , ami 7 ilyen felületcsaládot ad. A 2. vagy 3. karakterisztika mezői fölött több további család található, amelyeket faktorként kaptunk nem eta csoportsémák szerint. A részletekért lásd a hiperelliptikus felületekről szóló cikket .

Rhombus Hodge:

		egy
	egy		egy
0		2		0
	egy		egy
		egy

A Kodaira 1. dimenzió felületei

Az elliptikus felület egy elliptikus köteggel felruházott felület (olyan szürjektív holomorf leképezés egy B görbére , ahol véges számú réteg kivételével az összes réteg az 1. nemzetség sima irreducibilis görbéje). Az ilyen kötegben egy általános pont feletti szál az 1. nemzetség görbéje a B függvénymező felett . Ezzel szemben, ha az 1. nemzetség görbéje egy függvénymező felett van a görbén, annak relatív minimális modellje egy elliptikus felület. A Kodaira és mások meglehetősen teljes leírást adtak az összes elliptikus felületről. Konkrétan a Kodaira adott egy teljes listát a lehetséges speciális rétegekről . Az elliptikus felületek elmélete analóg a diszkrét értékelési gyűrűk (vagyis a p - adikus egészek gyűrűje ) és a Dedekind -tartományok (vagyis egy számmező egész számainak gyűrűje) feletti elliptikus görbék sajátszabályos modelljeinek elméletével.

A 2. és 3. véges karakterisztikára kvázi elliptikus felületeket kaphatunk, amelyeknek szinte minden szála lehet egy csomóponttal racionális görbe, "degenerált elliptikus görbék".

1 Kodaira-dimenziójú felület elliptikus (vagy kvázi elliptikus a 2. és 3. karakterisztikák esetében), de fordítva nem igaz – egy elliptikus felület Kodaira-mérete 0 vagy 1 lehet. $-\infty$

Minden Enriques felület , minden hiperelliptikus felület , minden Kodaira felület , néhány K3 felület , néhány Abel felület és néhány racionális felület elliptikus, ezekben a példákban Kodaira dimenziójuk kisebb, mint 1.

Egy elliptikus felületnek, amelynek B alapgörbéjében legalább 2 nemzetség van, mindig Kodaira dimenziója van 1, de a Kodaira dimenzió 1 lehet néhány olyan elliptikus felület esetén is, amelyek B görbéje 0 vagy 1 nemzetségbe tartozik.

Invariánsok: . $c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0$

Példa: Ha E egy elliptikus görbe, és B egy legalább 2-es nemzetség görbéje, akkor ez is egy elliptikus felület Kodaira 1-es mérettel. $E\times B$

A Kodaira 2. dimenziójának felületei (általános típusú felületek)

Mindegyik algebrai, és bizonyos értelemben a legtöbb felület ebbe az osztályba tartozik. Gieseker megmutatta, hogy létezik egy durva modulusséma az általános típusú felületekre. Ez azt jelenti, hogy a Chern-számok bármely rögzített értékéhez létezik egy kvázi-projektív séma, amely az általános típusú felületeket ezekkel a Chern-számokkal osztályozza. Azonban ezeknek az áramköröknek az explicit leírása nagyon nehéz, és nagyon kevés olyan Chern-számpár van, amelynél ezt megtették (kivéve, ha az áramkör üres). $c_{1}^{2}$ $c_{2}$

Invariánsok: Vannak olyan feltételek, amelyeket egy általános típusú minimális komplex felület Chern-számainak teljesíteniük kell:

$c_{1}^{2}>0,c_{2}>0$
$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$ ( Bogomolov-Miaoki-Yau egyenlőtlenség )
$5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0$ (Senki egyenlőtlensége)
$c_{1}^{2}+c_{2}$ osztható 12-vel.

Az ezeket a feltételeket kielégítő egész számpárok többsége Chern-szám valamilyen általános típusú összetett felülethez.

Példák: A legegyszerűbb példák a legalább 2-es nemzetség két görbéjének és a P 3 -ban legalább 5-ös fokú hiperfelületnek a szorzata . Számos egyéb szerkezet ismert. Nem ismert azonban olyan konstrukció, amely "tipikus" általános típusú felületet adna nagy Chern-számokhoz. Valójában még azt sem tudni, hogy létezik-e egy általános típusú "tipikus" felület elfogadható fogalma. Sok más példát is találtak, beleértve a legtöbb moduláris Hilbert-felületet , hamis projektív síkokat , Barlow felületeket és így tovább.

Irodalom

Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Kompakt komplex felületek. - Springer-Verlag, Berlin, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Arnaud Beauville . Összetett algebrai felületek. — 2. - Cambridge University Press , 1996. - V. 34. - (London Mathematical Society Student Texts). - ISBN 978-0-521-49510-3 .
Enrico Bombieri , David Mumford . Enriques felületek osztályozása char. p. II // Komplex elemzés és algebrai geometria. - Tokió: Iwanami Shoten, 1977. - S. 23-42.
Enrico Bombieri , David Mumford . Enriques felületek osztályozása char. p. III. // Inventiones Mathematicae . - 1976. - T. 35 . – S. 197–232 . - doi : 10.1007/BF01390138 .
Enriques F. Sulla classificazione delle superficie algebriche e particolarmente sulle superficie di genere p 1 =1 // Atti. acc. Lincei V Ser.. - 1914. - T. 23 .
Federigo Enriques. Le Superficie Algeriche. - Nicola Zanichelli, Bologna, 1949.
Kunihiko Kodaira. Kompakt komplex analitikai felületek szerkezetéről. I // American Journal of Mathematics . - 1964. - T. 86 . – S. 751–798 . - doi : 10.2307/2373157 . — .
Kunihiko Kodaira. Kompakt komplex analitikai felületek szerkezetéről. II // American Journal of Mathematics . - 1966. - T. 88 . – S. 682–721 . - doi : 10.2307/2373150 . — .
Kunihiko Kodaira. Kompakt komplex analitikai felületek szerkezetéről. III // American Journal of Mathematics . - 1968. - T. 90 . — 55–83 . - doi : 10.2307/2373426 . — .
Kunihiko Kodaira. A komplex analitikai felületek szerkezetéről. IV // American Journal of Mathematics . - 1968. - T. 90 . – S. 1048–1066 . - doi : 10.2307/2373289 . — .
David Mumford . Enriques-féle felületek osztályozása char p I-ben // Globális elemzés (Papers in Honor of K. Kodaira). Tokió: Univ. Tokyo Press, 1969, 325–339.
Miles Reid . Fejezetek az algebrai felületekről // Komplex algebrai geometria (Park City, UT, 1993). - Providence, RI: American Mathematical Society , 1997. - V. 3. - P. 3-159. – (IAS/Park City Math. Ser.).
Shafarevich IR, Averbuh BG, Vaĭnberg Ju. R., Zhizhchenko AB, Manin Ju. I., Moĭ\vsezon BG, Tjurina GN, Tjurin AN Algebrai felületek. — A Steklov Matematikai Intézet közleményei. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1967. - V. 75. - P. 1-215. — ISBN 978-0-8218-1875-6 .
Shafarevich I. R., Averbukh B. G., Weinberg Yu. R., Zhizhchenko A. B., Manin Yu. I., Moishezon B. G., Tyurina G. N., Tyurin A. N. Algebrai felületek. - 1965. - T. 75. - S. 3-215. - (Tr. MIAN Szovjetunió).
Antonius Van de Ven. Az algebrai felületek Enriques-féle osztályozásáról // Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77) . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1978. - T. 677. - S. 237-251. — (Matek jegyzetei.).

Enriques-Kodiry osztályozás

Besorolás jóváhagyása

Felületi invariánsok

Hodge számok és Kodaira dimenzió

Hodge-számmal kapcsolatos invariánsok

Egyéb invariánsok

Minimális modellek és robbanás

A Kodaira dimenzió felületei −∞

Racionális felületek

A nemzetség vonalas felületei > 0

VII. osztályú felületek

A Kodaira dimenzió felületei 0

Felületek K3

Abeli ​​felületek és kétdimenziós komplex tori

A Kodaira felületei

Enriques felületek

Hiperelliptikus (vagy bielliptikus) felületek

A Kodaira 1. dimenzió felületei

A Kodaira 2. dimenziójának felületei (általános típusú felületek)

Jegyzetek

Irodalom

Abeli felületek és kétdimenziós komplex tori