Inoue felület

Az Inoue felület egy VII. osztályba tartozó összetett Kodaira felület . A felületek nevét Masahita Inoue-ról kapta, aki 1974-ben szolgáltatta az első nem triviális példákat a Kodaira VII. osztályú felületekre [1] .

Az Inoue felületek nem a Kähler elosztók .

Inoue felületek b 2 = 0

Inoue három felületcsaládot adott meg, S 0 , S + és S − , amelyek kompakt tényezők (egy komplex sík és egy félsík szorzata). Ezek az Inoue felületek megoldható elosztók . Ezeket egy feloldható diszkrét csoport faktoraként kapjuk meg, amely holomorf módon hat a -n . ${\mathbb {C} }\times H$ ${\mathbb {C} }\times H$ ${\mathbb {C} }\times H$

Minden Inoue által megszerkesztett feloldható felületnek van egy második Betti-száma . Ezek a felületek a VII osztályba tartozó Kodaira felületek , ami azt jelenti, hogy számukra a Kodaira dimenzió egyenlő . Amint azt Bogomolov [2] , Li- Yau [3] és Telemann [4] bebizonyította , bármely VII osztályú felület, ahol b 2 = 0, Hopf felület vagy Inoue típusú oldható sokaság. $b_{2}=0$ $b_{1}=1$ $-\infty$

Ezeknek a felületeknek nincs meromorf funkciójuk, és nincsenek görbéik sem.

K. Hasegawa [5] felsorolta az összes komplex kétdimenziós megoldható fajtát. Ezek a komplex tórusz , hiperelliptikus felület , Kodaira felület és Inoue S 0 , S + és S − felületek .

Az inoue felületek kifejezetten az alábbiakban leírtak szerint vannak megszerkesztve [5] .

S 0 típusú felületek

Legyen egy egész szám 3 × 3 mátrix két komplex sajátértékkel és egy valós sajátértékkel c>1 , és . Ekkor egész számokban invertálható, és meghatározza az egész számok csoportjának műveletét a -n . Hadd . Ez a csoport egy rács egy megoldható Lie csoportban $\phi$ $\alpha ,{\bar {\alpha ))$ $|\alpha |^{2}c=1$ $\phi$ ${\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{3))$ $\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }$

{\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }

-ra hatva , míg a csoport a -részre átvitelekkel, a -részre pedig mint . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} ))$ $({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$

Ezt a műveletet kiterjesztjük a beállítással , ahol t a csoport -part paramétere . A művelet triviális a tényező szempontjából . Ez a művelet nyilvánvalóan holomorf, és a faktort S 0 típusú Inoue-felületnek nevezik . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0))$ $v\mapsto e^{\log ct}v$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} ))$ ${\mathbb {R} }^{3}$ ${\mathbb {R} }^{>0}$ ${\mathbb {C} }\times H/\Gamma$

Az S 0 Inoue felületet egy egész mátrix választásával határozzuk meg , a fenti megszorításokkal. Megszámlálhatatlanul sok ilyen felület létezik. $\phi$

S + típusú felületek

Legyen n pozitív egész szám és a felső háromszögmátrixok csoportja $\Lambda _{n}$

{\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix)),

ahol x, y, z egész számok. Tekintsünk egy automorfizmust , amelyet -vel jelölünk . A C középpontjában lévő csoport tényezője . Tegyük fel, hogy mátrixként működik két pozitív valós sajátértékkel a , b , ahol ab = 1. $\Lambda _{n}$ $\phi$ $\Lambda _{n}$ ${\mathbb {Z} }^{2}$ $\phi$ $\Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}$

Tekintsünk egy megoldható csoportot , ahol , úgy viselkedik, mint . Ha a felső háromszögmátrixok csoportját azonosítjuk a -val , egy műveletet kapunk a következőre . A műveletet úgy határozzuk meg , hogy a -részen triviálisan cselekszik, és úgy viselkedik, mint . Ugyanazok az érvek, mint az Inoue típusú felületek esetében, azt mutatják, hogy ez a művelet holomorf. A faktort Inoue típusú felületnek nevezzük . ${\displaystyle \Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} ))$ ${\mathbb {Z} }$ $\Lambda _{n}$ $\phi$ ${\mathbb {R} }^{3}$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} ))$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0))$ $\Lambda _{n}$ ${\mathbb {R} }^{>0}$ ${\mathbb {Z} }$ $v\mapsto e^{t\log b}v$ $S^{0}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n))$ ${\displaystyle S^{+))$

S típusú felületek −

Az inoue típusú felületeket $S^{-}$ ugyanúgy definiáljuk, mint az S + -t , de az automorfizmus két a , b sajátértéke ellentétes előjelű, és fennáll az ab = -1 egyenlőség. Mivel egy ilyen endomorfizmus négyzete egy S + típusú Inoue felületet határoz meg , az S − típusú Inoue felületnek S + típusú elágazás nélküli kettős borítása van . $\phi$ ${\mathbb {Z} }^{2}$

Parabolikus és hiperbolikus Inoue felületek

A parabolikus és hiperbolikus Inoue felületek VII. osztályú Kodaira felületek, amelyeket Iku Nakamura definiált 1984-ben [6] . Nem megoldható fajták. Ezek a felületek pozitív második Betti-számmal rendelkeznek. A felületek gömb alakú héjakkal rendelkeznek, és Hopf felületi felfújással deformálhatók .

A parabolikus Inoue felületek racionális görbék ciklusát tartalmazzák 0 önmetszésponttal és elliptikus görbével. Ezek az Enoki felületek speciális esetei, amelyek racionális görbék ciklusa nulla önmetszésponttal, de nincs elliptikus görbe. Az Inoue-félfelület racionális görbék C ciklusát tartalmazza, és egy hiperbolikus Inoue-felület tényezője két racionális görbével.

A hiperbolikus inoue felületek VII 0 osztályú felületek , két ciklusú racionális görbével [7] .

Jegyzetek

↑ Inoue, 1974 , p. 269-310.
↑ Bogomolov, 1976 , p. 273–288.
↑ Li, Yau, 1987 , p. 560-573.
↑ Teleman, 1994 , p. 253-264.
↑ 12. Hasegawa , 2005 , p. 749-767.
↑ Nakamura, 1984 , p. 393-443.
↑ Nakamura, 2008 .

Irodalom

Keizo Hasegawa. Komplex és Kahler-struktúrák Compact Solvmanifolds-on // J. Symplectic Geom.. - 2005. - Vol. 3 , no. 4 . - S. 749-767 .
Bogomolov, F.A., VII 0 osztályú felületek osztályozása b 2 = 0 -val, Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. - 1976. - T. 40 , sz. 2 .
Li J., Yau S., T. Hermitian Yang-Mills kapcsolatok nem-Kahler sokaságon // Math. a húrelmélet szempontjai (San Diego, Kalifornia, 1986). — Adv. Ser. Math. Phys.. - World Scientific Publishing, 1987. - 1. évf.
Nakamura I. VII 0 osztályú felületeken görbével // Inventiones math.. - 1984. - T. 78 .
Inoue M. A VII. osztály felületein 0 // Inventiones math.. - 1974. - T. 24 .
Teleman A. Projektív sík felületek és Bogomolov-tétel VII 0 osztályú felületeken // Int. J. Math .. - 1994. - V. 5 , no. 2 .
Nakamura I. Felmérés VII 0 felületeken // Recent Developments in NonKaehler Geometry . – Szapporo, 2008.