Elválasztható bővítmény

A szeparálható kiterjesztés a mező algebrai kiterjesztése , amely elválasztható elemekből áll, vagyis olyan elemekből, amelyek felett a minimális annihilátornak nincs több gyöke. A deriváltnak tehát nullától eltérő polinomnak kell lennie. Definíció szerint a 0 karakterisztikának minden mezője elválasztható, így az elválaszthatóság fogalma csak a nem nulla karakterisztikájú mezők esetében nem triviális . $E \feldúlt K$ $\alpha$ $f(x)$ $K$ $f'(x)$ $p$

Véges kiterjesztések esetén a következő állítás érvényesül: ha , hol van a mező algebrai zárása , akkor akkor és csak akkor szeparálható, ha a mező különböző izomorfizmusainak száma az over algebrai záródásába egyenlő a mértékével . Nem elválasztható kiterjesztések esetén ez a szám osztó , és elválasztható hatványnak nevezzük (a hányados megegyezik a karakterisztika valamely hatványával). $K \E részhalmaz \K ^*$ $K^{*}$ $K$ $E$ $\sigma$ $E$ $K^{*}$ $K$ $[E:K]$ $[E:K]$ $[E:K]_s$

Elválasztható kiterjesztések tulajdonságai

Ha a és kiterjesztések elválaszthatók, akkor a kiterjesztés is elválasztható. Ezzel szemben, ha elválasztható, akkor és elválaszthatóak. $E \supseteq K$ $F \supseteq E$ $F \supseteq K$ $F \supseteq K$ $E \subseteq K$ $F \subseteq E$

Ha a kiterjesztés elválasztható, akkor bármely kiterjesztés esetén (ha valamelyik mezőben szerepelnek) az mezőkből álló összeállítás egy elválasztható kiterjesztés . $E \supseteq K$ $F \supseteq K$ $F$ $E$ $EF$ $K$

A primitív elem tétel : ha , ahol algebrai (bár nem feltétlenül szétválasztható) a felett , és algebrai és elválasztható, akkor létezik olyan elem (úgynevezett primitív elem), hogy . $E=K(\alpha_1, \alpha_2, \pontok, \alpha_n)$ $\alpha_{1}$ $K$ $\alpha_2, \pontok, \alpha_n$ $\theta$ $E=K(\théta)$

Az elválaszthatóság általánosítása nem algebrai kiterjesztésekre

Egy kiterjesztést lineárisan mentesnek nevezünk , ha bármely véges elemhalmaz lineárisan független felett lineárisan független marad . Ez a meghatározás szimmetrikus: ha lineárisan mentes a túlról , akkor fordítva, lineárisan mentes a túlról . $E \supseteq K$ $L \supseteq K$ $E$ $K$ $L$ $E$ $L$ $K$ $L$ $E$ $K$

Egy mezőre kiterjedő (nem feltétlenül algebrai) kiterjesztést elválaszthatónak mondunk, ha bizonyos természeteseknél lineárisan mentes az elemekből származó fok összes gyökének összeadásával generált kiterjesztéssel . Az algebrai kiterjesztések esetében ez a definíció megegyezik a szokásos definícióval. Ez a meghatározás nem függ a szám megválasztásától, és egyenértékű a lineáris szabadsággal - az összes összetettségétől ( McLane - kritérium ). $E$ $K$ $m$ $K^{p^{-m}}$ $p^{m}$ $K$ $m$ $E$ $K^{p^{-\infty}}$ $K^{p^{-m}}$

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Kommutatív algebra. - M . : Külföldi irodalom, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.