Hamis projektív sík

A hamis projektív sík (vagy Mumford-felület ) egyike annak az 50 összetett algebrai felületnek , amelyeknek ugyanazok a Betti-számai , mint a projektív síknak , de nem homeomorfak vele. Az ilyen objektumok mindig általános algebrai felületek .

Történelem

Severi megkérdezte, hogy vannak-e olyan összetett felületek, amelyek homeomorfak a projektív síkhoz képest, de nem biholomorfak vele. Yau [1] kimutatta, hogy nincsenek ilyen felületek, így a projektív síkhoz legközelebbi közelítés a projektív síkkal azonos Betti-számú felületek lehetnek . ${\megjelenítési stílus (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,0,1,0,1)}$

Az első példát Mumford [2] találta a Kurihara és Mustafin által egymástól függetlenül bevezetett p - adic uniformizálás segítségével . Mumford azt is észrevette, hogy Yau eredménye és a PU(1,2) kompakt részcsoportjainak merevségére vonatkozó Weil-tétel azt jelenti, hogy csak véges számú hamis projektív sík létezik. Ishida és Kato [3] további két példát talált hasonló módszerekkel, Kim [4] pedig egy példát talált egy 7-es rendű automorfizmussal, amely a Dolgacsov-felszín 7-es fokú ciklikus borításának kétszámú . Prasad és Yen [5] [6] szisztematikus módszert talált az összes hamis projektív sík osztályozására, bemutatva, hogy huszonnyolc osztály létezik, amelyek mindegyike tartalmaz legalább egy példát hamis projektív síkra egészen izometriáig, és hogy öt másik osztály is képes léteznek, de később kiderült, hogy nincsenek ilyen osztályok. Az összes hamis projektív sík felsorolásának problémája az egyes osztályokhoz társított, kifejezetten adott rács megfelelő indexének összes alcsoportjának számbavételére redukálódik. E számítások kiterjesztésével Cartwright és Stager [7] kimutatta, hogy huszonnyolc osztály kimeríti a hamis projektív síkok minden lehetőségét, és összesen 50 példa van definiálva az izometriáig, vagy 100 hamis projektív biholomorfizmussík.

Egy olyan általános felületnek, amelynek Betti-számai megegyeznek egy minimális nem általános felülettel, rendelkeznie kell a P 2 projektív sík vagy a P 1 × P 1 négyzet Betti-számaival . Shavel [8] konstruált néhány "hamis négyzetet" – általános típusú felületeket, amelyek ugyanazokkal a Betti-számokkal rendelkeznek, mint a négyzetek. A Beauville felületek további példákkal szolgálnak.

A hamis projektív felületek magasabb dimenziójú megfelelőit hamis projektív tereknek nevezzük .

Alapvető csoport

Aubin és Yau a Calabi-sejtés megoldására irányuló munkája eredményeképpen negatív Ricci-görbület esetén [1] [9] , bármely hamis projektív sík tényezője a komplex egységgömbnek egy diszkrét alcsoporttal , amely a a hamis projektív sík alapcsoportja . Ennek az alapcsoportnak tehát torziómentesnek kell lennie , és a PU(2,1) kokompakt diszkrét alcsoportjának kell lennie Euler-Poincaré karakterisztikával 3. Klingler [10] és Jahn [11] megmutatta, hogy ennek az alapcsoportnak is egy aritmetikai csoportnak kell lennie . Mostovoy szigorú merevségre vonatkozó eredményeiből az következik , hogy az alapcsoport a hamis síkot a szoros értelemben definiálja, vagyis hogy minden azonos alapcsoporttal rendelkező tömör felületnek izometrikusnak kell lennie vele szemben.

Két hamis projektív síkot ugyanabba az osztályba tartozónak tekintünk, ha alapcsoportjaik az egységgömb azonos maximális aritmetikai automorfizmus-alcsoportjában találhatók. Prasad és Yen [5] [6] Prasad térfogatképletét [12] használta az aritmetikai csoportokhoz a hamis projektív síkok 28 nem üres osztályának listájához, és kimutatta, hogy legfeljebb öt másik osztály létezhet, amelyek nagy valószínűséggel nem léteznek. (lásd a cikk mellékletét, amelyben a besorolást frissítették, és az eredeti cikk néhány hibáját kijavították).

Cartwright és Staeger [7] ellenőrizte, hogy ezek a további osztályok valójában nem léteznek, és felsorolták az összes lehetőséget huszonnyolc osztályon belül. Pontosan 50 hamis projektív sík létezik az izometriáig, tehát 100 különböző hamis projektív sík a biholomorfizmusig.

A hamis projektív sík alapcsoportja a PU(2,1) csoport aritmetikai részcsoportja. Jelöljük k -val a hozzá tartozó számmezőt (teljesen valós), G -vel pedig a PU(2,1) csoport hozzá tartozó k -formáját. Ha l egy olyan k mező másodfokú kiterjesztése, amely felett G belső alakja, akkor l egy teljesen képzeletbeli mező. Létezik egy D osztási algebra , amelynek középpontja l és foka l 3 vagy 1 felett van, egy második típusú involúcióval , amely egy l feletti nemtriviális automorfizmusra korlátozódik , és egy nemtriviális Hermiti forma egy D feletti , 1-es vagy 3-as dimenziójú modulon . úgy, hogy G egy speciális egységcsoport ez a hermitikus forma. (Prasad és Yen [5] , valamint Cartwright és Staeger munkája következtében D foka 3 l felett , a modulus dimenziója 1 D felett.) A k mezőnek van egy valós helye , amelyre a A G forma pontjai a PU (2.1) csoport másolatát alkotják, a PU(3) kompakt csoportot alkotják a k mező összes többi valós helye fölött.

Prasad és Yen [5] eredményeiből az következik, hogy a hamis projektív sík automorfizmuscsoportja vagy egy 1., 3. vagy 7. rendű ciklikus csoport, vagy egy 9. rendű nem ciklikus csoport, vagy egy nem Abeli-féle. 21. rendű csoport. A hamis projektív síkok faktorait ezen csoportok felett Kim [13] , Cartwright és Staeger [7] tanulmányozta .

50 hamis projektív sík listája

k	l	T	Index	Hamis projektív síkok
K	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-1)))$	5	3	3 hamis repülőgép 3 osztályban
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-2)))$	3	3	3 hamis repülőgép 3 osztályban
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-7)))$	2	21	7 hamis repülőgép 2 osztályban. Az egyik ilyen osztály példákat tartalmaz Mumfordtól és Kimtől.
		2, 3	3	4 hamis repülőgép 2 osztályban
		2.5	egy	2 hamis repülőgép 2 osztályban
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-15)))$	2	3	10 hamis repülőgép 4 osztályban, köztük Ishida és Kato által talált példák.
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-23)))$	2	egy	2 hamis repülőgép 2 osztályban
$\mathrm {Q} ({\sqrt {2}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-7+4{\sqrt {2))))}$	2	3	2 hamis repülőgép 2 osztályban
$\mathrm {Q} ({\sqrt {5}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {5)),\zeta _{3})$	2	9	7 hamis repülőgép 2 osztályban
$\mathrm {Q} ({\sqrt {6}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {6)),\zeta _{3})$	2 vagy 2.3	1 vagy 3 vagy 9	5 hamis repülőgép 3 osztályban
$\mathrm {Q} ({\sqrt {7}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {7)),\zeta _{4})$	2 vagy 3.3	21 vagy 3.3	5 hamis repülőgép 3 osztályban

k egy teljesen valós mező.
l a k mező teljesen képzeletbeli másodfokú kiterjesztése, ζ 3 pedig 1 kockagyöke.
T a k mező prímeinek halmaza , ahol néhány lokális részcsoport nem hiperszférikus.
az index valamely aritmetikai csoport alapcsoportjának indexe.

Irodalom

Donald I. Cartwright, Tim Steger. Az 50 hamis projektív sík felsorolása // Comptes Rendus Mathematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . — S. 11–13 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Masa-Nori Ishida, Fumiharu Kato. Az erős merevségi tétel a nem archimédeszi uniformizáláshoz // The Tohoku Mathematical Journal. második sorozat. - 1998. - T. 50 , sz. 4 . – S. 537–555 . - doi : 10.2748/tmj/1178224897 .
Jonghae Keum. Egy hamis projektív sík 7-es sorrendű automorfizmussal // Topológia. egy nemzetközi matematikai folyóirat . - 2006. - T. 45 , sz. 5 . – S. 919–927 . - doi : 10.1016/j.top.2006.06.006 .
Jonghae Keum. Hamis projektív síkok hányadosai // Geometria és topológia. - 2008. - T. 12 , sz. 4 . – S. 2497–2515 . - doi : 10.2140/gt.2008.12.2497 . - arXiv : 0802.3435 .
Bruno Klingler. Sur la rigidité de bizonyoss groupes fondamentaux, l'arithméticité des réseaux hyperboliques complexes, et les faux plans projectifs // Inventiones Mathematicae . - 2003. - T. 153 , sz. 1 . – S. 105–143 . - doi : 10.1007/s00222-002-0283-2 .
Kulikov V.S., Kharlamov. V. M., Valódi szerkezetekről merev felületeken , Izv. RAS .. - 2002. - T. 66 , sz. 1 . – S. 133–152 .
David Mumford . Egy algebrai felület K ample, (K 2 )=9, p g =q=0 // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1979. - V. 101. , 1. sz. 1 . – S. 233–244 . - doi : 10.2307/2373947 . — .
Gopal Prasad. Félegyszerű csoportok S-aritmetikai hányadosainak kötetei // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1989. - Kiadás. 69 . — 91–117 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Hamis projektív síkok // Inventiones Mathematicae . - 2007. - T. 168 , sz. 2 . – S. 321–370 . - doi : 10.1007/s00222-007-0034-5 . - arXiv : math/0512115 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Kiegészítés a "Hamis projektív síkok"-hoz // Inventiones Mathematicae . - 2010. - T. 182 , sz. 1 . – S. 213–227 . - doi : 10.1007/s00222-010-0259-6 .
Remy R. Covolume des groupes S-arith meiques et faux plans projectifs, (d'apres Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung) // —. - 2007. - T. 984 . Archiválva az eredetiből 2011. június 9-én.
Ira H. Shavel. Az általános típusú algebrai felületek egy osztálya, amelyet kvaternió-algebrákból építettek fel // Pacific Journal of Mathematics . - 1978. - T. 76 , sz. 1 . – S. 221–245 . - doi : 10.2140/pjm.1978.76.221 .
Shing Tung Yau. Calabi sejtése és néhány új eredmény az algebrai geometriában // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - Nemzeti Tudományos Akadémia, 1977. - V. 74 , 1. sz. 5 . - S. 1798-1799 . - doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 . — .
Shing Tung Yau. Egy kompakt Kähler-sokató Ricci-görbületéről és az összetett Monge-Ampère egyenletről. I // Közlemények a tiszta és alkalmazott matematikáról . - 1978. - T. 31 , sz. 3 . – S. 339–411 . - doi : 10.1002/cpa.3160310304 .
Sai Kee Yeung. A Picard egyes számú összetett kétgolyós hányadosainak megfelelő kokompakt rács integritása és aritmetikaisága // The Asian Journal of Mathematics. - 2004. - T. 8 , sz. 1 . – 107–129 . - doi : 10.4310/ajm.2004.v8.n1.a9 .
Sai Kee Yeung. Hamis projektív síkok osztályozása // Geometriai elemzés kézikönyve, sz. 2 . — Int. Press, Somerville, MA, 2010, 13. kötet, 391–431. - (Adv. Lect. Math. (ALM)).

Linkek

Gopal Prasad. Hamis projektív terek .