A homológ tükörszimmetria Maxim Kontsevich matematikai sejtése . Egy olyan jelenség matematikai természetének feltárására jött létre , amelyre először a fizikusok figyeltek fel a húrelméletben .
Az 1994 -es zürichi Nemzetközi Matematikai Kongresszushoz írt üzenetében Kontsevich azt javasolta, hogy az X és Y Calabi-Yau sokaságpár tükörszimmetriája egy háromszögelt kategória ekvivalenciájaként magyarázható , amelyet az algebrai geometria módszereivel kapunk ( a derivált ). a koherens tárcsák kategóriájából X ) és egy másik háromszögezett kategória, amely szimplektikus geometriával van megszerkesztve ( a Fukaya kategória származéka Y -on ).
Edward Witten eredetileg az N=(2,2) szuperszimmetrikus térelmélet topológiai csavarját írta le az általa a topológiai húrelmélet A- és B-modelljeiben . Ezek a modellek figyelembe veszik a Riemann-felületek úgynevezett célterekbe , általában Calabi-Yau sokaságokba való leképezését. A tükörszimmetria matematikai előrejelzéseinek többsége beleillik a fizikából ismert A-modell Y -on és a B-modell a tükör X -en való ekvivalenciájába . A Riemann-felületek, amelyek határ nélküli sokaságok, egy zárt karakterlánc világlapjai lehetnek. A nyitott karakterláncok esetének leírásához ezenkívül meg kell adni a peremfeltételeket, amelyek ráadásul megőrzik a szuperszimmetriát. Az A-modellben ezek a peremfeltételek az Y Lagrange -féle részsokaságainak formáját öltik valamilyen további struktúrával (ezt néha bránszerkezetnek nevezik). A B-modellben ezek a peremfeltételek X holomorf részsokaságainak formáját öltik, amelyeken holomorf vektorköteg található . Ezek az objektumok a leírt háromszög kategóriák felépítésére szolgálnak. Ezeket A-, illetve B-bránoknak nevezik. Ezekben a kategóriákban a morfizmusok mind tömeg nélküli nyitott húrok, amelyek két brán között vannak kifeszítve.
A zárt húrok esetében az A- és B-modell csak a topológiai szektort fedi le, a teljes húrelmélet egy kis részét. Hasonlóképpen, ezekben a modellekben a bránok csak topológiai közelítései a teljes dinamikus objektumnak - D-bránoknak . Így vagy úgy, a matematika még a húrelméletnek ebben a kis szektorában is mély és nehéz.
A matematikusok csak néhány példával tudták ellenőrizni ezt a hipotézist. Eredeti üzenetében Kontsevich megemlítette, hogy a sejtés théta függvényekkel bizonyítható elliptikus görbékre . Ezt a javaslatot követve Eric Zaslow és egy másik matematikus bizonyítékot mutatott be ennek a sejtésnek az elliptikus görbéire vonatkozóan. Kenji Fukaya töredékeket adott az abeli fajták bizonyítására . Később Kontsevich és Jan Soibelman a SYZ -sejtés ötleteit felhasználva bizonyítékot szolgáltattak a nem szinguláris tórikus kötegekre vonatkozó, affin fajták feletti sejtés lényeges részére . 2003-ban Paul Seidel bebizonyította a kvartikus sejtést .
Az alábbi táblázat neve Hodge gyémánt. Itt h p , q - a ( p , q )-differenciálformák tereinek méretei - úgy vannak elrendezve, hogy a ( p , q ) koordináták a rombusz oldalait alkotják. Háromdimenziós esetben p és q egész értékeket futtat nullától háromig, és a Hodge-rombusz például egy összetett kétdimenziós sokaság esetében így néz ki:
óra 2,2 óra 2,1 óra 1,2 óra 2,0 óra 1,1 óra 0,2 óra 1,0 óra 0,1 óra 0,0Egy elliptikus görbe esetében, amely egy összetett egydimenziós Calabi-Yau sokaság, a Hodge gyémánt különösen egyszerű:
egy tizenegy egyEgy K3 felület esetében, amely egy összetett kétdimenziós Calabi-Yau sokaság, mivel a Betti-számai {1, 0, 22, 0, 1}, a Hodge gyémánt így néz ki:
egy 0 0 1 20 1 0 0 egyA három összetett dimenziójú Calabi-Yau sokaság a tükörszimmetria első nem triviális példája. Az egymásra tükörszimmetrikus párok (nevezzük őket M -nek és W-nek) egy függőleges vonal körül szimmetrikusan vannak leképezve egymásra.
Az M elosztó Hodge-rombusza :
egy 0 0 0 a 0 1 b b 1 0 a 0 0 0 egyA W elosztó Hodge-rombusza :
egy 0 0 0 b 0 1 a 1 _ 0 b 0 0 0 egyM és W megfelel a húrelmélet A- és B-modelljének. A tükörszimmetria nem csak a Betti-számokat cseréli fel, hanem a tükörszimmetrikus sokaságok szimplatikus és összetett struktúráit is . Ez a homológ tükörszimmetria lényege.