4D topológia

A négydimenziós topológia a topológia egyik ága, amely topológiai és sima négydimenziós sokaságokat vizsgál .

A 4-dimenziós sokaságok az általános relativitáselméletben téridőként jelennek meg .

Speciális tulajdonságok

A 4. dimenzióban a topologikus és sima sokaságok elmélete nagyon eltér az alacsonyabb és magasabb dimenziójú sokaság elméletétől.

A 4-es kivételével minden dimenzióban a Kirby-Siebenmann osztály nullázása szükséges és elégséges feltételt ad a darabonkénti lineáris szerkezet létezéséhez.
A 4 kivételével minden dimenzióban egy kompakt topológiai elosztónak csak véges számú különböző darabonkénti lineáris és sima szerkezete van. A 4-es dimenzióban számuk megszámlálható.
A 4-es dimenzió kivételével az euklideszi térnek nincsenek egzotikus sima struktúrái. A 4-es dimenzióban megszámlálhatatlanul sok van belőlük.
A sima Poincare-sejtés megoldása a 4-es kivételével minden dimenzióban ismert (7-től kezdődően általában nem igaz).
- A Poincaré-sejtés darabonkénti lineáris elosztókra szintén minden méretre megoldott, kivéve a 4-et.
A sima h-kobordizmus tétel akkor igaz, ha sem a sokaság, sem a határa nem 4-es dimenziójú. Nem igaz, ha a határ 4-es dimenziójú (mint azt Donaldson mutatja ), és nem ismert, hogy igaz-e, ha a dimenzió maga a kobordizmus 4.
Whitney trükkje nem működik a 4-es dimenzióban.

Osztályozás

Topológiai

Egy egyszerűen csatlakoztatott kompakt 4-elosztó homotópia típusa csak a metszéspontjától függ .

Friedmann tétele szerint az ilyen típusú sokaságokat a homeomorfizmusig egy metszetforma és egy Z /2 Z -invariáns, az úgynevezett Kirby-Siebenmann osztály osztályozza .
- Ezenkívül egy unimoduláris forma és egy Kirby-Siebenmann osztály bármilyen kombinációja előfordulhat, kivéve, ha az alak páros, ebben az esetben a Kirby-Siebenmann osztálynak egyenlőnek kell lennie a -val , ahol a metszéspont alakjának aláírását jelöli. $\tau /8{\pmod {2}}$ $\tau$

Példák:

Abban az esetben, ha az alak 0, a tétel a topológiai Poincaré-sejtés 4 dimenziós esetét adja meg .
Ha az alak egyenlő E 8 -al , akkor az úgynevezett E8-sokatóriumot kapjuk . Ez az osztó nem engedélyezi a háromszögelést.
A Z alaknak a Kirby-Siebenmann osztálytól függően két változata van: egy 2-dimenziós komplex projektív tér és egy hamis projektív tér (ugyanaz a homotópia típusú, de nem homeomorf neki).
Ha a rang nagyobb, mint 28, a pozitív határozott unimoduláris formák száma rendkívül gyors növekedésnek indul. Ezért nagyszámú megfelelő, egyszerűen összekapcsolt topológiai 4-sokaság jelenik meg.

Friedman osztályozása bizonyos esetekben kiterjeszthető, ahol az alapcsoport nem túl bonyolult. Például, ha izomorf Z -vel, akkor a Z csoport csoportgyűrűje fölött van egy hermitikus formákat használó osztályozás . Túl nagy alapcsoportok esetén (például egy szabad csoport 2 generátorral) a Friedmann-féle módszer nem alkalmazható, és nagyon keveset tudunk ilyen fajtákról.

Bármely véges adott csoporthoz létezik egy sima, kompakt 4 dimenziós sokaság, amelynek alapcsoportja izomorf ezzel a csoporttal. Mivel nincs algoritmus annak meghatározására, hogy két adott csoport izomorf-e, nincs algoritmus annak meghatározására, hogy két változatnak mikor van izomorf alapcsoportja. Ez az egyik oka annak, hogy a 4-elosztókkal foglalkozó munka nagy része az egyszerűen összekapcsolt esettel foglalkozik: sok probléma köztudottan megoldhatatlan általános esetben.

Sima

Legfeljebb 6-os méretű sokaság esetén bármilyen darabonkénti lineáris szerkezet egyedi módon simítható. [1] Különösen a 4-dimenziós darabonkénti lineáris sokaságok osztályozása nem különbözik a 4-dimenziós sima gyűjtők elméletétől.

Mivel a topológiai osztályozás ismert, az egyszerűen csatlakoztatott, kompakt, sima 4-elosztók osztályozása két kérdésre redukálódik:

Mely topológiai sokaságok simíthatók?
Hogyan osztályozzuk a sima szerkezeteket a sima elosztókon?

Az első kérdésre szinte teljes válasz van. Először is, a Kirby-Siebenmann osztályt érvényteleníteni kell, másodszor:

Ha a metszésforma előjel-határozott, akkor Donaldson tétele teljes választ ad: sima szerkezet akkor és csak akkor létezik, ha a forma átlósítható.
Ha a forma nem előjel-határozott és páratlan, akkor sima szerkezet létezik.
Ha az űrlap nem határozott és páros, akkor feltételezhetjük, hogy nem pozitív aláírással rendelkezik (ellenkező esetben változtassa meg a tájolást). Ebben az esetben a válasz az űrlap méretétől és aláírásától függ . $d$ $\tau$
- Ha , akkor sima szerkezet létezik; úgy adjuk meg, hogy a K3 felületek több másolatának összefüggő összegét vesszük és . $8d\geqslant 11\tau$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2))$
- Ha , akkor a Furuta-tétel szerint nem létezik sima szerkezet. $8d\leqslant 10\tau$
- A fennmaradó résben, 10/8 és 11/8 között a válasz nagyrészt ismeretlen. Az úgynevezett "11/8 hipotézis" azt állítja, hogy nincs sima szerkezet, ha a dimenzió/|aláírás| kevesebb, mint 11/8.

Jelenleg egyetlen olyan simított sokaság sem ismert, amelynél ismert lenne a második kérdésre adott válasz. Jelenleg nincs elfogadható hipotézis arról, hogy ez a besorolás hogyan nézhet ki.

Donaldson kimutatta, hogy néhány egyszerűen összekapcsolt kompakt 4-elosztócsőn, mint például a Dolgachev-felületeken , megszámlálhatatlanul végtelen számú különálló sima szerkezet található.

Az R 4 -en megszámlálhatatlanul sok különböző sima szerkezet található .

Jegyzetek

↑ Milnor, John . Differenciáltopológia negyvenhat évvel később // Az American Mathematical Society közleményei . - 2011. - T. 58 , sz. 6 . – S. 804–809 . MR : 2839925

Irodalom

Mandelbaum R. Négydimenziós topológia. — M .: Mir, 1981. — 286 p.