A háromszög figyelemre méltó pontjai

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A háromszög figyelemre méltó pontjai azok a pontok, amelyek helyét a háromszög egyedileg határozza meg, és nem függ attól, hogy milyen sorrendben veszik fel a háromszög oldalait és csúcsait.

Általában a háromszög belsejében helyezkednek el, de ez nem szükséges. Különösen a magasságok metszéspontja lehet a háromszögön kívül. További figyelemre méltó háromszögpontokért lásd a háromszögközéppontok enciklopédiáját .

Példák

A háromszög figyelemreméltó pontjai a

Metszéspontok:
- medián - súlypont , súlypont (tömeg) ;
- felező - a beírt kör középpontja vagy középpontja ;
- antibisector - az antibiszektorok központja;
- a külső szögek felezője a körkör középpontja ;
- magasságok - ortocentrum ;
- középső merőlegesek - a körülírt kör középpontja ;
- simian - Lemoine pont ;
- a középső háromszög felezője (középpontja) - Spieker Center ;
- a háromszög -rúd egyben Spieker's Center is;
- három (vagy akár két) kör, mint egy átmérőn, a belső és a külső felezőmetszet alapjait összekötő szakaszra építve, egy sarokból kiengedve - Apollonius két pontja ;
- A háromszög csúcsait összekötő szakaszok:
  - szemközti oldalak érintkezési pontjaival és a beírt körrel - Gergonne pont ;
  - ellentétes oldalak érintkezési pontjaival és körvonalaival - Nagel pont ;
  - a háromszög oldalaira épített egyenlő oldalú háromszögek megfelelő szabad csúcsaival (kifelé) - Torricelli első pontja ;
  - a háromszög belsejébe épített szabályos háromszögek megfelelő szabad csúcsaival - Torricelli második pontja ;
  - az eredeti háromszöghöz hasonló és annak oldalaira épített háromszögek megfelelő szabad csúcsaival - Brokar pontjai ;

Egy háromszög minimumpontjai

A háromszög minimummaximális (szélső) pontjai azok a pontok, amelyekben elérjük egy bizonyos függvény minimumát, például a háromszög oldalai vagy csúcsai közötti távolságok fokszámainak összegét [1] .

A háromszög minimumpontjai a következők:

Három medián metszéspontja , amelynél a legkisebb a háromszög csúcsai közötti távolság négyzetösszege ( Leibniz-tétel ).
A háromszög három mediánjának metszéspontja a háromszög egyetlen olyan pontja, ahol a rajta áthúzott három cevian hat részre osztja a háromszög oldalait a végeikkel együtt. Ebben az esetben e hat szegmens közül három, amelyeknek nincs közös vége, hosszának szorzata a maximum [2]
Torricelli-pont (első), amelynek a legkisebb távolsága van egy háromszögnél nem nagyobb szögű háromszög csúcsaitól . $120^{\circ }$
a Lemoine-pont , amelynek a legkisebb négyzetösszege van a háromszög oldalaitól.
Egy hegyesszögű háromszög magasságának alapjai olyan derékszögű háromszöget alkotnak, amelynek a legkisebb kerülete az adott háromszögbe írt háromszögek közül.

Háromszögek izopontjai és izovonalai

Az izopontok olyan háromszög pontjai, amelyek három háromszög tetszőleges azonos paraméterét adják meg, és amelyek akkor jönnek létre, ha egy izopontot három háromszög csúcsú szakaszok kötnek össze [3] . Ennek eredményeként egy „ sárkányszem ” típusú figura alakul ki (lásd az ábrát).

A sárkányszem alakot alkotó háromszög izopontjai

Az ilyen típusú háromszög izopontjai a következők:

ortocentrum (három körülírt kör három egyenlő sugarú háromszögét adja meg),
mediánok metszéspontja (három egyenlő területű háromszöget ad)
incenter (három egyenlő magasságú háromszöget ad)
a körülírt kör középpontja (három egyenlő szárú háromszöget ad, három egyenlő oldalpárral),
egyenlő kerületű pont vagy izoperimetrikus pont (három egyenlő kerületű háromszöget ad [4] ), $P$
Torricelli pontja (első) (három olyan háromszöget ad, amelyeknek három egyenlő tompaszöge van a -nál ). $120^{\circ }$
Egy háromszög pontjának felosztása három olyan háromszögre, amelyekben három azonos kör sugara van
Egy háromszög Spieker-középpontja három körének gyökközéppontja [ 5] (három körének három egyenlő érintőpárja van egyszerre).

Egy háromszög izopontjai, amelyek egy " Terfail (csomó) " alakzatot alkotnak

Az ilyen típusú háromszög izopontjai a következők (lásd az ábrát):

Spieker középpontja a háromszög külső oldalaira épített, egyenlő szárú, azonos irányú egyenesek metszéspontja , ahol , és hasonlók , és az alapnál azonos szöggel [6] . $S$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $\operátornév {arctg} [\operátornév {tg} (A/2)\operátornév {tg} (B/2)\operátornév {tg} (C/2)]$
Napóleon első pontja , akárcsak Spieker középpontja , az egyenlő szárú és azonos elhelyezkedésű egyenesek metszéspontja , ahol , és hasonlók, a háromszög oldalaira építettek kívülről, az alapnál azonos szöggel . $N_1$ $AX$ $BY$ $CZ$ $XBC$ $YCA$ $ZAB$ $ABC$ $30^{\circ }$
Itt fel kell sorolni a Kiepert hiperbolán található összes pontot .

Tradescantia virágformát alkotó háromszög izopontjai

A Tradescantia Flower típusú alakot alkotó háromszög izopontjai (lásd az ábrát) a következők:

a mediánok metszéspontja három négyszöget alkot, amelyeknek a területe egyenlő a cevák három kis szegmensével.
a felezők metszéspontja három négyszöget alkot, amelyek három merőlegesek a háromszög három oldalára - egy deltoid , amelynek két azonos szomszédos oldala van. A másik pár egyenlő szomszédos oldal általában mindenkinél más. Mindhárom deltoidnak van egy párja egyenlő ellentétes szöggel . Ezek beírt-körírt négyszögek. $90^{\circ }$
A háromszög belsejében a Mikel-ponton keresztül húzott három kör három pontban metszi a háromszög oldalait. A Miquel-ponton áthúzott három húr és három három kör három metszéspontja a háromszög három különböző oldalával egyenlő szöget zár be az oldalakkal.

Egy háromszög izopontjai, amelyek olyan jelet alkotnak, mint " Görbített háromszög felületének modellje " (lásd az ábrát)

Ezek a pontok a következők:

Euler kör pontok
Pontok Thomsen tételében
Pontok Tooker tételében . Ha az ábrán. a jobb oldali Thomsen-tételhez húzzon egy hasonló, 6 láncszemből álló szaggatott vonalat, egymás után váltakozva a szakaszokat párhuzamosan, antiparallel, párhuzamos, ismét antiparallel, ismét párhuzamos az ellenkező áramoldallal stb. pont, mint a Thomsen tételben, és a vonallánc bezárul. Tucker tétele kimondja, hogy ebben az esetben a háromszög oldalain fekvő vonallánc 6 pontja a Tucker-körön fog feküdni [7] [8]

Egy háromszög izopontjai, amelyek olyan jelet alkotnak, mint a „ Veszély. Radioaktív anyagok vagy ionizáló sugárzás » (lásd az ábrát)

Az ilyen típusú háromszög izopontjai a következők:

Lemoine pont (egyenlő ellenpárhuzamok pontja) - olyan pont, amelynek tulajdonsága: három, rajta áthúzott ellenpárhuzam (egy háromszög három oldalával ellentétes vonal) három egyenlő hosszúságú szakaszt ad a háromszög belsejében.
egyenlő párhuzamosok pontja (Equal Parallelians Point) [9] . Bizonyos értelemben hasonló a Lemoine-ponthoz . Egy pontnak megvan az a tulajdonsága, hogy a rajta áthúzott három párhuzamos (egy háromszög három oldalával párhuzamos egyenes) három egyenlő hosszúságú szakaszt ad a háromszög belsejében.
Yff kongruencia központja [10]
egy háromszög 3 antifelezőjének metszéspontja . Ha ezen a ponton keresztül 3 egyenest húzunk párhuzamosan a háromszög oldalaival, akkor ezek 3 egyenlő belső (középső) szakaszt vágnak le a háromszög oldalain.
Az utolsó állítás másik megfogalmazása: A három oldallal párhuzamos antifelezők középpontján áthúzott egyenesek közé zárt háromszög oldalainak szakaszai egyenlőek egymással.

A háromszög további izopontjai általános cevianokat képeznek

a Skutin- pontok a háromszög egyenlő ceviánjainak pontjai. Skutin tétele kimondja, hogy egy háromszögben három csúcson és a leírt Steiner-ellipszis bármely fókuszán keresztül megrajzolt három szakasz vagy cevian egyenlő egymással. Ezeket a gócokat gyakran Skutin-pontoknak nevezik .

Iso-egyenes vonalak

A háromszög izo-vonalai ( iso-vonalak ) azok az egyenesek, amelyek az adott háromszöget két tetszőleges paraméterű háromszögre vágják [3] . A háromszög izovonalai a következők:

A háromszög mediánja felezi a szemközti oldalt, és a háromszöget két egyenlő területű háromszögre vágja.
A háromszög felezője ( Bisector ) felezi azt a szöget, amelynek csúcsából kilép .
A háromszög magassága derékszögben metszi a szemközti oldalt (vagy annak meghosszabbítását) (azaz két egyenlő szöget zár be a két oldalán lévő oldallal), és a háromszöget két egyenlő (derékszögű) háromszögre vágja.
A szimmedián egy olyan háromszögön belüli pontok lokusza, amely egyetlen csúcsból ered, és két egyenlő szegmenst ad, amelyek ellentétesek a két oldallal, amelyek az adott csúcsban metszik egymást, és három oldal határolja őket.
A háromszög gém felezi a kerületet . A háromszög gémje egy olyan szakasz, amelynek egyik vége a háromszög egyik oldalának közepén, a másik vége a fennmaradó két oldal egyikén van. Ezenkívül a gém párhuzamos az egyik szögfelezővel. A gémek mindegyike áthalad az ABC háromszög kerületének tömegközéppontján úgy, hogy mindhárom gém Spieker középpontjában metszi egymást .
Szintén a kerületet kettéosztja a háromszög oldalának érintkezési pontját és az adott oldallal ellentétes csúcsú kört összekötő szakasszal. A háromszög három csúcsából kirajzolt három ilyen szakasza a Nagel-pontban metszi egymást . Más szavakkal, ez a szegmens a Nagel-pont ceviana . ( A Nagel-pont Chevian-ját az angol irodalomban néha osztónak ( splitter ) vagy a kerület felében lévő elválasztónak nevezik . A hasítót gémnek is nevezik ).
Kiegyenlítő (Equalizer) vagy Equalizer (Equalizer) - egy egyenes szakasz, amely egy háromszöget két, egyidejűleg egyenlő területű és kerületű alakra vág [11]
Egy kicsit az equalizerről (ekvalizer). Bármely egyenes ( kiegyenlítő ), amely átmegy egy háromszögön, és felezi a háromszög területét és kerületét, átmegy a beírt kör középpontján. Lehet három, kettő vagy egy ilyen sor. [12]

Megjegyzés egy háromszög izovonalaihoz

Az angol irodalomban a felezés fogalmát vezetik be , mint valaminek két egyenlő részre való felosztását. Például egy egyenlő szárú háromszöget két egyenlőre, egy egyenes szakaszt két egyenlőre, egy lapos szöget két egyenlőre. A megfelelő vonalak a háromszög izoegyeneseinek (izo-vonalainak) speciális esetei lesznek.

Közvetlen $n$

Az izoegyenesek egyik fontos sajátos esete a háromszög úgynevezett vonalai $n$ . A háromszög csúcsából kiinduló egyenes az ellentétes oldalt a vele szomszédos két oldal -edik fokához viszonyítva osztja fel [13] . A vonalak fontos speciális esetei a következők: $n$ $n$ $n$

medián ( ), $n=0$
felező (felező) ( ), $n=1$
antibiszektor ( ), $n=-1$
simian ( ), $n=2$
közvetlen kockák ( ). $n=3$

Egyenes háromszögeknél nagyon könnyű általánosságban megtalálni néhány tulajdonságot. Például egy vonal esetében a vonal izogonálisan konjugált , a vonal pedig izotómiailag konjugált lesz . $n$ $n$ $(2-n)$ $-n$

Megjegyzés

A középpont baricentrikus koordinátái , amelyeket a háromszög oldalaival (vagy a szögek trigonometrikus függvényeivel) írnak le, lehetővé teszik a háromszög középpontjaival kapcsolatos számos probléma algebrai nyelvre történő fordítását. Például annak kiderítésére, hogy két definíció ugyanazt a középpontot határozza meg, vagy három adott középpont ugyanazon a vonalon fekszik.

Használhatja a középpont trilineáris koordinátáit is, amelyek nagyon egyszerűen kapcsolódnak a baricentrikus koordinátákhoz . Azonban például a trilineáris koordináták izogonálisan konjugált pontjait egyszerűbben fejezzük ki.

Változatok és általánosítások

A központok párjait veszik figyelembe. Például,
- Brocard pontok ;
- Apollonius rámutat . Bármilyen nem degenerált háromszögre konstruálhatunk egy Apollonius-kört a ponton átmenő oldalra . Az így három oldalra épített körök két pontban metszik egymást - a belső és a külső Apolloniusban. $ABC$ $AB$ $C$

A háromszög újonnan felfedezett pontjai (középpontjai)

Yff kongruencia központja [14 ]
Gossard Perspector [ 15 ]
Középpont ( angol Mittenpunkt ) [16]
1. és 2. Ajima - Malfatti pont ( eng. 1. ÉS 2. Ajima - Malfatti pont ) [17]
Apollonius-pont – nem tévesztendő össze az Apollonius-pontokkal [18]
Bailey Points [ 19 ]
Hofstadter pontok [ 20 ]
Isoscelizer-congruent point ( angol. Congruent Isoscelizers Point ) [21]
Morley háromszögéhez tartozó 1. és 2. Morley pont ( eng. 1. ÉS 2. Morley Centers ) [22]
Parry Point [ 23 ]
Izoperimetrikus pont és egyenlő kitérőpont [ 24 ]
Equal Parallelians Point [ 25 ]
Schiffler Point [ 26 ] _
Exeter pont [27]
Egy háromszög három olyan háromszögre való osztási pontja, amelyek három azonos sugarú három beírt körből állnak [28]

Jegyzetek

↑ Starikov V. N. Geometriai tanulmányok. // A Globus tudományos folyóirat publikációinak gyűjteménye az V. nemzetközi tudományos-gyakorlati konferencia "Achievements and Problems of Modern Science" anyagai alapján, Szentpétervár: cikkgyűjtemény (standard szint, akadémiai szint). - Szentpétervár. , 2016. - S. 97 .
↑ Zetel S. I. Háromszög új geometriája. Útmutató tanároknak . - 2. kiadás - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12, feladat. (Orosz)
↑ 1 2 Starikov V. N. Megjegyzések a geometriáról // Tudományos keresés: humanitárius és társadalmi-gazdasági tudományok: tudományos közlemények gyűjteménye. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - 37. o., bal oldali oszlop, utolsó bekezdés . (Orosz)
↑ Izoperimetrikus pont és egyenlő kitérőpont . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10.
↑ Odenhal, 2010 , p. 35-40.
↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Zetel S.I. Új háromszög geometria. Útmutató tanároknak. 2. kiadás. M.: Uchpedgiz, 1962. p. 92. 74. bekezdés.
↑ Myakishev A. G. Körben járni: Eulertől Taylorig // Archimedes: tudományos és módszertani gyűjtemény. 2011. Kiadás. 7. o. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/
↑ Egyenlő Parallelians Point . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 16..
↑ Yff center of congruence// https://en.wikipedia.org/wiki/Yff_center_of_congruence Archiválva : 2021. október 22. a Wayback Machine -nél
↑ Kodokostas, Dimitrios (2010), Triangle equalizers , Mathematics Magazine 83. kötet (2): 141–146 , DOI 10.4169/002557010X482916 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Háromszög kiegyenlítők // Matematikai Magazin. - 2010. - Kiadás. 83, április . - S. 141-146. .
↑ Zetel S. I. Háromszög új geometriája. Útmutató tanároknak . - 2. kiadás - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125, feladat, 109-113. bekezdés. (Orosz)
↑ Yff kongruencia központja . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 16.. (határozatlan)
↑ Gossard Perspector . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10. (határozatlan)
↑ Mittenpunkt . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. augusztus 5.. (határozatlan)
↑ 1. ÉS 2. AJIMA-MALFATTI PONT . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. augusztus 5.. (határozatlan)
↑ Apollonius Point . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10. (határozatlan)
↑ Bailey Point . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. augusztus 6.. (határozatlan)
↑ Hofstadter-pontok . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10. (határozatlan)
↑ Egybevágó Isoscelizers Point . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 16.. (határozatlan)
↑ Morley Centers . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. december 13.. (határozatlan)
↑ Parry Point . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 16.. (határozatlan)
↑ Izoperimetrikus pont és egyenlő kitérőpont . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 10. (határozatlan)
↑ Egyenlő párhuzamos pont . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 16.. (határozatlan)
↑ Schiffler-pont . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2015. augusztus 5.. (határozatlan)
↑ Exeter pont . Letöltve: 2015. szeptember 4. Az eredetiből archiválva : 2012. május 16.. (határozatlan)
↑ Starikov V.N. 9. tanulmány a geometriáról (§ Egy cevian problémájának megoldása, amely 3-k-t 2 3-k-ra oszt, azonos beírt körökkel) // A Moszkvai Állami Agráregyetem tudományos lektorált elektronikus folyóirata "Tudomány és Oktatás". 2020. 1. szám, 7 p.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/view/1603

Irodalom

Enciklopédia gyerekeknek. T. 11. Matematika / Fejezet. szerk. M. D. Aksjonova. — M.: Avanta+, 2001. — 688 p.: ill.
A. G. MYAKISHEV Háromszög geometriai elemek . — M. : MTsNMO, 2002.
Boris Odenhal. Néhány háromszög középpontja, amelyek a körkörök érintőjéhez kapcsolódnak // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .
Planimetria szószedet// https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B0%D1%80%D0%B8% D0 %B9_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8

Linkek

A háromszög figyelemre méltó pontjai
A Triangle Centers Encyclopedia of Triangle Centers archiválva : 2012. április 19. a Wayback Machine -nél
Háromszögközpontok enciklopédiája

Háromszög
A háromszögek típusai	Négyszögletes Egyenlő szárú Egyenlő oldalú Egyenlőszárú téglalap alakú
Csodálatos vonalak egy háromszögben	Középső Magasság Felezővonal Középmerőleges középső vonal Beírt és körülírt körök Simson egyenes Euler vonal Simediana Cheviana
A háromszög figyelemre méltó pontjai	Orthocenter Centroid Incenter Brocard pont Vecten pont Pont Gergonne Lemoine pont Miquel pont Nagel pont Napóleon rámutat Torricelli pontjai Kilenc pontos kör középpontja Spieker Center Háromszögközpontok enciklopédiája
Alaptételek	háromszög egyenlőtlenség A háromszögek hasonlóságának jelei Háromszögek megoldása Háromszög külső szög tétel Szögösszeg háromszög tétele Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Szinusztétel A vetítési tétel Heron képlete
További tételek	Van Obel tétele Menelaosz tétele Reuschle (Terkema) tétel Stewart tétele Érintőtétel Kotangens tétel Ceva tétele Mollweide képletek
Általánosítások	gömb alakú háromszög hiperbolikus háromszög Simplex