Thomsen tétele

A Gerhard Thomsen matematikusról elnevezett Thomsen tétele az elemi geometria tétele , amely szerint egy bizonyos szaggatott vonal , amely a háromszög oldalaival párhuzamos szakaszokból épül fel , mindig a kezdőpontban végződik .

Megfogalmazás

Tekintsünk egy tetszőleges háromszöget , amelynek oldalán van egy pont . A pontok és párhuzamos egyenesek sorozata a következőképpen épül fel: a ponton átmenő oldallal párhuzamos egyenes metszi az oldalt a pontban , a ponton átmenő oldallal párhuzamos egyenes pedig az oldalt a pontban metszi . Folytassuk egy hasonló konstrukcióval. Egy ponton átmenő oldallal párhuzamos egyenes egy pontban metszi az oldalt , egy ponton átmenő oldallal párhuzamos egyenes pedig egy pontban metszi az oldalt . Végül egy ponton átmenő oldallal párhuzamos egyenes egy pontban metszi az oldalt , és egy ponton átmenő oldallal párhuzamos egyenes metszi az oldalt egy pontban . Thomsen tétele kimondja, hogy a pontok és a pontok egybeesnek, így a konstrukció mindig egy zárt útra vezet . $ABC$ $P_1$ $időszámításunk előtt$ $AC$ $P_1$ $AB$ $P_2$ $időszámításunk előtt$ $P_2$ $AC$ $P_{3}$ $AB$ $P_{3}$ $időszámításunk előtt$ $P_{4}$ $AC$ $P_{4}$ $AB$ $P_5$ $időszámításunk előtt$ $P_5$ $AC$ $P_{6}$ $AB$ $P_{6}$ $időszámításunk előtt$ ${\displaystyle P_{7))$ ${\displaystyle P_{7))$ $P_1$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}P_{1))$

Bizonyítás

A háromszög oldalait metsző, nagyszámú különböző párhuzamos egyenes pár jelenléte a tétel feltételében lehetővé teszi a Thales-tétel arányos szakaszokon való újrafelhasználását , amelyből a következő összefüggések következnek:

P_{5}P_{6}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {AP_{5}}{AB}},

P_{4}P_{5}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {AP_{5}}{AB}}={\dfrac {CP_{4}}{CB}},

P_{3}P_{4}\parallel AB\Longrightarrow {\dfrac {CP_{4}}{CB}}={\dfrac {CP_{3}}{CA}},

P_{2}P_{3}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {CP_{3}}{CA}}={\dfrac {BP_{2}}{BA}},

P_{1}P_{2}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {BP_{2}}{BA}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}.

Így, . Ennélfogva a Thalész-tétellel fordított tétellel azt kapjuk, hogy . De feltételek szerint . Ezért . ${\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}$ $P_{6}P_{1}\parallel AB$ $P_{6}P_{7}\parallel AB$ ${\displaystyle P_{1}=P_{7))$

Lásd még

Háromszög

Irodalom

Satz von Thomsen // Schülerduden-Mathematik II. - Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004. - S. 358-359. — ISBN 3-411-04275-3 . (Német)

Linkek

Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (német)
Weisstein, Eric W. Thomsen figurája a Wolfram MathWorldnél .