Apollonius Point

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. július 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

Az Apollonius-pont Ap egy speciális pont a háromszögben. Úgy definiáljuk, mint a háromszög csúcsait összekötő egyenesek metszéspontját a háromszög 3 körének a körülöttük körülírt körrel való érintkezési pontjaival. Az Apollonius-problémához kapcsolódik . A háromszög középpontjainak enciklopédiájában X(181) néven egy háromszög középpontjaként emlegetik .

Példa az Apollonius-pont alkalmazására az Apollonius-probléma megoldására

Apollonius feladata , hogy három adott kört érintő kört készítsen egy iránytű és egyengető segítségével. Ennek a feladatnak az egyik változatát, amikor a harmadik kör kívülről érinti a három belső kört, az Ap [1] [2] Apollonius-pont bevezetésével oldjuk meg .

A Triangle Centers Encyclopedia of Triangle Centers Apollonius -pontját a háromszög középpontjaként emlegetik X(181) néven.
A feladat keretein belül az Apollonius-kör (nem tévesztendő össze az Apollóniosz-körökkel ) olyan kör, amely a háromszögön kívül három kört érint belsőleg (lásd az ábrán a zöld kört).

Apollonius kerülete

Apollonius körének meghatározása

Legyen adott az ABC háromszög . Legyenek az ABC háromszög A , B és C csúcsokkal szemközti körei rendre E A , E B , E C (lásd az ábrát). Ekkor Apollonius E köre (a jobb oldali ábrán zölden látható) belül érinti az ABC háromszög három körét az E A , E B és E C pontokban (lásd az ábrát) [3] .

A fent említett sajátos Apollonius-probléma megoldása a három megadott E A , E B és E C kör külsőleg jelzett E köre.

Apollonius körének sugara

Apollonius körének sugara , ahol r a beírt kör sugara, s pedig a háromszög fél kerülete. [négy] ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$

Az Apollonius-pont Ap meghatározása

Az Apollonius-pont Ap vagy X(181) az 1987-ben leírt háromszögközéppontok enciklopédiájában a következőképpen definiálható:

Legyenek A' , B' és C' az E Apollonius-kör érintőpontjai a megfelelő körökkel. Ekkor az AA' , BB' és CC' egyenesek egy Ap pontban metszik egymást , amelyet az ABC háromszög Apollonius-pontjának nevezünk .

Trilineáris koordinátái a következők:

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}$

Megjegyzés

Az ábrán Apollonius Ap jelzett pontja az ABC háromszög oldalaira három merőleges metszéspontjaként látható, az A' , B' és C' érintőpontokból az ABC háromszög megfelelő köreivel csökkentve. , amelyet a fent említett három E A , E B és E C kör páronkénti összekapcsolt érintővonalai alkotnak . Bár ez az Ap pont a három AA' , BB' és CC' szakasz metszéspontjában van, nem merőlegesek a háromszög oldalaira. Valójában az ABC háromszög oldalaira vonatkozó vetületei egy egyenlő oldalú háromszög csúcsai, és a háromszög oldalaira mutató merőlegesek az ortocentrumában metszik egymást. Az ortocentrumnak a háromszög oldalaira eső vetületei nem egyenlő oldalú háromszög csúcsai. Az ortocentrum és az Ap Apollonius-pont csak egy egyenlő oldalú háromszögben esik egybe. Más háromszögek nem egyeznek.

Ingatlan

Az Apollonius-pont szubdermális háromszöge egyenlő oldalú háromszög .

Trilineáris koordináták

Az Ap Apollonius-pont háromvonalas koordinátái :

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}$

$=\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2 }}-{\frac {B}{2}}).$

Lásd még

Apollonius rámutat

Jegyzetek

↑ Kimberling, Clark Apollonius Point . Letöltve: 2012. május 16. (határozatlan)
↑ C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa. 1091. feladat és megoldás // Crux Mathematicorum : folyóirat. - 1987. - 1. évf. 13 . - P. 217-218 .
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. Az Apollonius-kör mint Tucker-kör // Forum Geometricorum. - 2002. - Kiadás. 2 . - S. 175-182 .
↑ Milorad R. Stevanovi´c. Az Apollonius-kör és a kapcsolódó háromszög középpontjai // Forum Geometricorum. - 2003. - Kiadás. 3 . - S. 187-195. .