Diszjunkció

Diszjunkció
VAGY
Venn-diagram
Meghatározás	$x+y$
igazságtáblázat	$(0111)$
logikai kapu
normál formák
Szétválasztó	$x+y$
kötőhártya	$x+y$
Zhegalkin polinom	$x\oplus y\oplus xy$
Tagság az előre befejezett osztályokban
0-t takarít meg	Igen
Megment 1	Igen
Monoton	Igen
lineáris	Nem
Önkettős	Nem

Disjunkció (a lat. disjunctio - „disjunkció”) szóból, logikai összeadás , logikai VAGY , beleértve a VAGY ; néha a VAGY egy logikai művelet , alkalmazásában a lehető legközelebb áll az „vagy” unióhoz , abban az értelemben , hogy „vagy ez, vagy az, vagy mindkettő” [1] .

A diszjunkció lehet bináris (két operandussal) vagy -ary ( operandusokkal) tetszőleges . $n$ $n$ $n$

A bejegyzés lehet előtag - a műveleti jel az operandusok elé kerül ( lengyel jelölés ), infix - a műveleti jel az operandusok közé kerülhet, vagy postfix - a műveletjel az operandusok után jön. Ha az operandusok száma kettőnél több, az elő- és utótag-jelölések gazdaságosabbak.

Jelölés

A diszjunkciós művelet leggyakoribb jelölése a következő:

a\lor b,\;a

|| |

b,\;a

b,\;a~{\mbox{OR}}\,\,b

,\;\max(a,b).

Ugyanakkor a modern matematikában és matematikai logikában az ISO 31-11 nemzetközi szabvány által javasolt jelölés a legelterjedtebb [2] . Nem jelent meg azonnal: George Boole , aki megalapozta a szimbolikus módszer logikára való szisztematikus alkalmazását, nem dolgozott diszjunkcióval ( ehelyett szigorú diszjunkciót használt , amit + jellel jelölt ), William Jevons pedig a jelet javasolta. diszjunkcióra . Ernst Schroeder és P. S. Poretsky ismét a + jelet használta , de a szokásos diszjunkcióval kapcsolatban [3] . A szimbólum , mint a diszjunkció megjelölése, először Bertrand Russell (1908) "Matematikai logika a típuselmélet alapján" [4] című cikkében fordul elő; latból származik . vel , ami "vagy"-t jelent [5] [6] . $a\vagy b$ ·|· $\lor$

A ⋁diszjunkció jelölését a korai Algol 60 programozási nyelvben is használták [7] . Mivel azonban a legtöbb számítógépen használt szabványos karakterkészletekben (például ASCII -ben vagy EBCDIC -ben) nincs megfelelő karakter , a legszélesebb körben használt programozási nyelvek más jelöléseket is tartalmaztak a szétválasztáshoz. Így a Fortran IV -ben, illetve a PL/I -ben a és elnevezést használták (utóbbi cseréjének lehetőségével a kulcsszóval ) [8] ; a fenntartott szó [9] [10] Pascalban és Ada -ban használatos ; a C és C++ nyelvek a jelölést használják a bitenkénti diszjunkcióhoz és a logikai diszjunkcióhoz [11] ). .OR.| OR or |||

Végül a kétértékű logika igazságértékeinek természetes sorrendjében (amikor azt feltételezzük, hogy ) kiderül, hogy így a diszjunkció a maximum számítási műveletének speciális esete ; ez nyitja meg a legtermészetesebb módot a diszjunkciós művelet meghatározására sokértékű logikával rendelkező rendszerekben [12] [13] . $0<1$ $(a\vagy b)\,=\,\max(a,b).$

Boole-algebra

A MAX logikai függvényt a kétértékű (bináris) logikában diszjunkciónak nevezik ( logikai "VAGY" , logikai összeadás vagy egyszerűen "VAGY" ). Az eredmény egyenlő a legnagyobb operandussal.

A Boole-algebrában a diszjunkció két, három vagy több változó függvénye (egyben egy művelet operandusa, egy függvény argumentuma is). Így az eredmény , ha minden operandus egyenlő ; minden más esetben az eredmény . $0$ $0$ $egy$

igazságtáblázat
$a$	$b$	$a\vagy b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$egy$	$egy$
$egy$	$0$	$egy$
$egy$	$egy$	$egy$

Igazságtáblázat hármas (három operandus) diszjunkcióhoz:

$a$	$b$	$c$	$a\lor b\lor c$
0	0	0	0
0	0	egy	egy
0	egy	0	egy
0	egy	egy	egy
egy	0	0	egy
egy	0	egy	egy
egy	egy	0	egy
egy	egy	egy	egy

Többértékű logika

A bináris logikában diszjunkciónak nevezett műveletet a többértékű logikában maximumnak nevezik : , ahol , a a logika értéke. Más lehetőségek is lehetségesek $max(a,b)$ $a,b\in [0,...,n-1]$ $n$ [ mi? ] . Általában igyekeznek fenntartani a kompatibilitást a Boole-algebrával az operandusok értékére vonatkozóan . $0.1$

Ennek a műveletnek a maximum nevének van értelme bármilyen értékű logikában, beleértve a bináris logikát is, és a diszjunkció , logikai "VAGY" , logikai összeadás és egyszerűen "VAGY" nevek a bináris logikára jellemzőek, és ritkábban használatosak, ha többértékű logikák.

Klasszikus logika

A klasszikus propozíciós számításban a diszjunkció tulajdonságait axiómák segítségével határozzuk meg . A klasszikus propozíciószámítás különböző axiómarendszerekkel adható meg, és ezek közül néhány a diszjunkció tulajdonságait írja le. Az egyik leggyakoribb lehetőség 3 diszjunkciós axiómát tartalmaz:

$a\to a\lor b$
$b\to a\lor b$
$(a\to c)\to ((b\to c)\to ((a\vagy b)\to c))$

Ezek az axiómák felhasználhatók más, a diszjunkciós műveletet tartalmazó képletek bizonyítására. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a klasszikus propozíciós számításban az eredményt nem az operandusok értékéből számítják (mint a Boole-algebrában), hanem a képlet egészét kell igazolni az axiómák és a következtetési szabályok alapján.

Áramkör

A tetszőleges számú bemenettel való diszjunkció mnemonikus szabálya a következő: A kimenet a következő lesz:

"1" akkor és csak akkor, ha legalább egy bemenetnek van "1"
"0" akkor és csak akkor, ha minden bemenet "0"

Halmazelmélet

A halmazelmélet szempontjából a diszjunkció az unió működésével analóg .

Programozás

A számítógépes nyelvekben a diszjunkciónak két fő változata van: logikai „VAGY” és bitenkénti „VAGY”. Például a C/C++/Perl/PHP nyelvben a logikai "VAGY"-t a "||", a bitenkénti "OR"-t pedig a "|" szimbólum jelöli. A Pascal/Delphi nyelvekben mindkét típusú diszjunkciót a " vagy " kulcsszó jelöli , és a művelet eredményét az operandusok típusa határozza meg. Ha az operandusok logikai típusúak (például Boolean), akkor a rendszer logikai műveletet hajt végre, ha egy egész szám (például bájt) bitenkénti művelet.

A logikai "VAGY" feltételes ugrás operátorokban vagy hasonló esetekben használatos, amikor egy eredmény vagy szükséges . Például: $false$ $igaz$

ha ( a || b ) { /* néhány művelet */ };

Az eredmény akkor lesz egyenlő , ha mindkét operandus egyenlő vagy . Minden más esetben az eredmény az lesz . $false$ $false$ $0$ $igaz$

Ebben az esetben a szokásos konvenciót alkalmazzuk: ha a bal oldali operandus értéke egyenlő , akkor a jobb oldali operandus értéke nem kerül kiszámításra (ehelyett lehet összetett képlet). Ez a konvenció felgyorsítja a program végrehajtását, és bizonyos esetekben hasznos technika. A Delphi fordító egy speciális direktívát támogat, amely tartalmazza $igaz$ $b$

{$B-}

vagy kikapcsolása

{$B+}

hasonló viselkedés. Például, ha a bal oldali operandus ellenőrzi, hogy a jobb oldali operandust ki kell-e értékelni:

if ( a == NULL || a -> x == 0 ) { /* néhány művelet */ };

Ebben a példában a bal oldali operandus ellenőrzése miatt a jobb oldali operanduson soha nem fordul elő nullmutató hivatkozási eltérés.

A bitenkénti VAGY a szokásos Boole-algebrai műveletet hajtja végre a bal és a jobb oldali operandus összes bitjén páronként. Például,

ha
a =	${\displaystyle 01100101_{2))$
b=	$00101001_{2}$
akkor
a VAGY b =	${\displaystyle 01101101_{2))$

Kapcsolat a természetes nyelvvel

A disjunkció és a "vagy" kötőszó közötti hasonlóságra a természetes nyelvben gyakran felhívják a figyelmet, amikor "vagy ezt, vagy azt, vagy mindkettőt egyszerre" értelemben használják. A jogi dokumentumokban gyakran írják: "és (vagy)", néha "és / vagy", ami azt jelenti, hogy "vagy ez, vagy az, vagy mindkettő egyszerre". Az "A és/vagy B" összetett állítás hamisnak tekinthető, ha mind A, mind B állítás hamis, ellenkező esetben az összetett állítás igaz. Ez pontosan megfelel a diszjunkció definíciójának a Boole-algebrában, ha az "igaz" -t jelöli , a "hamis" pedig a -val . $egy$ $0$

A természetes nyelv kétértelműsége abban rejlik, hogy a "vagy" unió két jelentésben használatos: vagy a diszjunkció jelölésére, majd egy másik műveletre - a szigorú diszjunkcióra ( kizárólagos "OR" ).

Lásd még

Jegyzetek

↑ Gutnikov V. S. . Integrált elektronika a mérőműszerekben. - L . : Energia , 1974. - 144 p. - S. 14-16.
↑ Kondakov, 1975 , p. 534.
↑ Styazhkin N. I. . A matematikai logika kialakulása. — M .: Nauka , 1967. — 508 p. - S. 320, 349, 352, 368.
↑ Russell B. Matematikai logika a típuselmélet alapján // American Journal of Mathematics . - 1908. - Kt. 30, sz. 3. - P. 222-262.
↑ A halmazelmélet és -logikai szimbólumok legkorábbi felhasználásai . // Weboldal Jeff Miller weboldalak . Letöltve: 2016. február 5. Az eredetiből archiválva : 1999. február 20.. (határozatlan)
↑ Kondakov, 1975 , p. 149-150.
↑ Kondakov, 1975 , p. harminc.
↑ Pratt T. Programozási nyelvek: fejlesztés és megvalósítás. — M .: Mir , 1979. — 574 p. - S. 352, 439.
↑ Grogono P. . Programozás Pascalban. — M .: Mir , 1982. — 384 p. - S. 51.
↑ Wegner P. . Programozás Ada nyelven. — M .: Mir , 1983. — 240 p. - S. 68.
↑ Ellis M. , Stroustrup B .. Útmutató a C++ programozási nyelvhez megjegyzésekkel. — M .: Mir , 1992. — 445 p. — ISBN 5-03-002868-4 . - S. 65, 86-87.
↑ Yablonsky S. V. . Bevezetés a diszkrét matematikába. — M .: Nauka , 1979. — 272 p. - S. 9-10, 37.
↑ Rvachev V. L. . Az R -függvények elmélete és néhány alkalmazása. - Kijev: Naukova Dumka , 1982. - 552 p. - S. 38, 66.

Irodalom

Kondakov N.I. Logikai szótár-referenciakönyv. 2. kiadás . — M .: Nauka , 1975. — 720 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4378735-6 J9U : 987007532489205171 LCCN : sh93005045

Boole-műveletek
Disjunkció (VAGY) kötőszó (ÉS) Megtagadás (NEM) Exkluzív "vagy" (XOR) Pierce Arrow (NOR) Schaeffer stroke (NAND) Egyenértékűség (XNOR) következmény Feltételes diszjunkció (háromtagú)

Logikák

Filozófia • Szemantika • Szintaxis • Történelem

Logikai csoportok

klasszikus logika	Arisztotelészi logika propozíciós logika Elsőrendű logika Másodrendű logika magasabb rendű logika
matematikai logika	halmazelmélet Modellelmélet Kiszámíthatóság elmélet Bizonyításelmélet és konstruktív matematika Lineáris logika formális rendszer természetes következtetés Sorozatszámítás Logikai algebra Releváns logika Deontikus logika intuicionista logika Lambek kalkulus
Nem klasszikus logika	intuicionizmus zavaros logika Szubstrukturális logika logika Leírás logika Többértékű logika Logikai szintézis Kötési logika Időbeli logika Modális logika ( Hibrid logika ) episztemikus logika
Filozófiai logika	Kritikus gondolkodás informális logika deduktív érvelés

Alkatrészek

Logikai szimbólumok listája

$a$	$b$	$c$	$a\lor b\lor c$
0	0	0	0
0	0	egy	egy
0	egy	0	egy
0	egy	egy	egy
egy	0	0	egy
egy	0	egy	egy
egy	egy	0	egy
egy	egy	egy	egy

$a$	$b$	$c$	$a\lor b\lor c$
0	0	0	0
0	0	egy	egy
0	egy	0	egy
0	egy	egy	egy
egy	0	0	egy
egy	0	egy	egy
egy	egy	0	egy
egy	egy	egy	egy

$a$	$b$	$c$	$a\lor b\lor c$
0	0	0	0
0	0	egy	egy
0	egy	0	egy
0	egy	egy	egy
egy	0	0	egy
egy	0	egy	egy
egy	egy	0	egy
egy	egy	egy	egy