Conway Group Co1

A Conway csoport Co 1 egy szórványos egyszerű csoport

2^{21}{\cdot }3^{9}{\cdot }5^{4}{\cdot }7^{2}{\cdot }11{\cdot }13{\cdot }23

= 4157776806543360000 ≈ 4⋅10 18 .

Előzmények és tulajdonságok

A Co 1 egyike a 26 szórványos csoportnak, és John Horton Conway fedezte fel 1968-ban. Ez a csoport Conway három szórványos csoportja közül a legnagyobb, és a Co 0 ( a Leach-rács eredetmegőrző automorfizmus-csoportja ) hányadosaként kapható meg. középpontjával , amely skaláris mátrixokból áll ±1 [1] . A csoport egy páros, 26 dimenziós egymoduláris rács II 25,1 automorfizmuscsoportjának tetején is megjelenik . Egyes, nem teljesen világos megjegyzések Witt munkáinak gyűjteményében arra utalnak, hogy egy 1940-es publikálatlan cikkben találta meg a Leach-rácsot, és valószínűleg az automorfizmus csoportjának sorrendjét. $\lambda$

A Co 1 csoport külső automorfizmusainak csoportjatriviális, és a Schur szorzó 2-es rendű.

Involúciók

A Co 0 -nak 4 coset involúciója van. Co 1 -ben 2-re zsugorodnak, de a Co 0 -ban 4 elem található, amelyek megfelelnek a Co 1 involúcióinak harmadik osztályának .

A 12 elemű halmazok (dodekádok) képe 2 11 :M 12 :2 típusú központosítóval rendelkezik, amely a 2 11 :M 24 típusú maximális alcsoportban található .

Az oktadok vagy 16 elemű halmazok képének van egy 2 1+8 .O 8 + (2) formájú központosítója, a maximális alcsoport.

Megtekintések

A Co 1 csoport legkisebb pontos permutációs reprezentációja 98280 pár { v ,– v } 4-es normával rendelkező vektorból áll.

A 2B típusú involúció központosítója a szörnyben a következő alakú . $2^{1+24}\mathrm {Co} _{1}$

Egy páros lorentzi unimoduláris rács II 1,25 Dynkin-diagramja izometrikus az (affin) Leach-rácsra , így a diagram avomorfizmuscsoportja a Leach-rács affin izometriáinak ,Co 0 osztott kiterjesztése. $\lambda$ $\lambda$

Maximális alcsoportok

Wilson [2] a Co 1 csoport maximális alcsoportjainak 22 cosetjét találta , bár az eredeti listában több hiba is volt, amelyeket később kijavított [3] .

Co 2
3. Suz :2 A felemelés egy összetett szerkezetet rögzít, vagy konjugált szerkezetté változtatja. A Suzuki-torony teteje . $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
2 11 : M 24 Emelés a vektorok keretének rögzítésére [4] . A csoport monomiális alcsoportjának képe [5] $\mathrm {Aut} (\Lambda )$ $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
Co 3
$2^{1+8}.\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$ involúciós központosító (oktadok képe innen ) $\mathrm {Aut} (\Lambda )$
${\displaystyle \mathrm {U} _{6}(2):\mathrm {S} _{3))$
$(\mathrm {A} _{4}\times \mathrm {G} _{2}(4)):2$ a Suzuki láncban [6] .
$2^{2+12}:(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{3})$
$2^{4+12}.(\mathrm {S} _{3}\times 3.\mathrm {S} _{6})$
${\displaystyle 3^{2}.\mathrm {U} _{4}(3).\mathrm {D} _{8))$
36 : 2 . M 12 ( a hármas Golay-kód holomorfja )
(A 5 × J 2 ):2 a Suzuki láncban
$3^{1+4}:2.\mathrm {PSp} _{4}(3).2$
$(\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {U} _{3}(3)).2$ a Suzuki láncban
$3^{3+4}:2.(\mathrm {S} _{4}\times \mathrm {S} _{4})$
${\displaystyle \mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3))$ a Suzuki láncban
$(\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {L} _{2}(7)):2$ a Suzuki láncban
$(\mathrm {D} _{10}\times (\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}).2$
$5^{1+2}:\mathrm {GL} _{2}(5)$
$5^{3}:(4\times \mathrm {A} _{5}).2$
$7^{2}:(3\times 2.\mathrm {S} _{4})$
$5^{2}:2\mathrm {A} _{5}$

Jegyzetek

↑ Átlómátrix, melynek minden eleme egyenlő
↑ Wilson, 1983 .
↑ Wilson, 1988 .
↑ A Leach-rács 8 hosszúságú vektorait 48 pár egymásra merőleges vektorra osztjuk, amelyeket koordinátapároknak nevezünk ( Wilson 2009 ).
↑ Egy véges G csoportot monomiálisnak vagy -csoportnak nevezünk , ha minden irreducibilis karakterét G alcsoportjainak lineáris karakterei indukálják ( Fedorov 2007 ). ${\mathcal {M}}$
↑ Suzuki lánc vagy Suzuki torony a következő 3. rangú permutációs csoportok: . $G_{2}(2)=U(3,3)\cdot 2,J_{2}\cdot 2,G_{2}(4),\mathrm {Suz} \cdot 2$

Irodalom

John Horton Conway A 8 315 553 613 086 720 000-es rend és a szórványos egyszerű csoportok tökéletes csoportja // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1968. - T. 61 , sz. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Véges csoportok elmélete: A szimpózium / Brauer R. , Chih-han Sah. – W.A. Benjamin, Inc., New York-Amszterdam, 1969.
John Horton Conway Egy csoport 8 315 553 613 086 720 000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1969. - T. 1 . – 79–88 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/1.1.79 .
John Horton Conway Három előadás a kivételes csoportokról // Véges egyszerű csoportok / Powell MB, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - 215-247. – (A London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute) által szervezett oktatási konferencia anyaga, Oxford, 1969. szeptember.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Reprinted inConway, Sloane, 1999, 267-298
John Horton Conway , Neil JA Sloane . Gömbcsomagolások, rácsok és csoportok . — 3. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
Thomas M. Thompson. A hibajavító kódoktól a gömbcsomagolásokon át az egyszerű csoportokig . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Véges csoportok atlasza . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
Robert L. Jr. Griess. Tizenkét szórványos csoport. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer-monográfiák a matematikában). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
Robert A. Wilson. Conway Co₁ csoportjának maximális alcsoportjai // Journal of Algebra . - 1983. - T. 85 , sz. 1 . – S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
Robert A. Wilson. Conway Co₁ csoportjának 3 helyi alcsoportjáról // Journal of Algebra . - 1988. - T. 113 , sz. 1 . – S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 .
Robert A. Wilson. A véges egyszerű csoportok.. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - (Graduate Texts in Mathematics 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
Fedorov S. N. Véges csoportok monomialitása bizonyos feltételekkel a konjugált elemek osztályaira // Fundam. és appl. Mat.. - 2007. - V. 13 , sz. 5 . — S. 201–212 .

Linkek

MathWorld: Conway Groups archiválva 2017. október 29-én a Wayback Machine -nél
A véges csoportos reprezentációk atlasza: Co 1 2. verzió
A véges csoportképviseletek atlasza: Co 1 archiválva 2008. március 27-én a Wayback Machine 3-as verziójában

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	C n véges ciklikus csoport Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció