Ternary Golay kódok

A hármas Golay-kódok két egymással szorosan összefüggő hibajavító kód . Az egyszerűen hármas Golay-kódként ismert kód egy -kód, vagyis egy lineáris kód a hármas ábécé felett. A kódok relatív távolsága maximális a hármas kódoknál, ezért a hármas Golay kód tökéletes kód . A kiterjesztett hármas Golay-kód egy lineáris kód [12, 6, 6], amelyet úgy kapunk, hogy a [11, 6, 5] kódhoz hozzáadunk egy (nulla összeget adó) ellenőrzőszámot . A véges csoportelméletben a kiterjesztett hármas Golay-kódot néha egyszerűen hármas Golay-kódnak nevezik. ${\displaystyle [11,6,5]_{3))$

Tulajdonságok

Ternary Golay kód

Tökéletes hármas Golay kód
Valaki után elnevezve	Marcel Golay
Típusú	blokk kód
Blokk hossza	tizenegy
Az üzenet hossza	6
Részvény	6/11 ~ 0,545
Távolság	5
Ábécé mérete	3
Kijelölés	${\displaystyle [11,6,5]_{3))$

A hármas Golay-kód 3 6 = 729 kódszóból áll. A paritásellenőrző mátrixa

\left[{\begin{array

A két különböző kódszó közül bármelyik legalább 5 helyen különbözik. Bármely 11 hosszúságú háromtagú szónak legfeljebb 2 Hamming-távolsága van pontosan egy kódszótól. A kód 11 hosszúságú négyzet-maradék kódként szerkeszthető egy véges F 3 mező felett .

A 11 meccses foci nyereményjátékban használt hármas Golay kód 729 fogadásnak felel meg és pontosan egy fogadást garantál, maximum 2 hibás pontszámmal.

Az 5-ös Hamming-súllyal rendelkező kódszavak halmaza egy 3-(11,5,4) blokkdiagram .

Kiterjesztett hármas Golay kód

Kiterjesztett hármas Golay kód
Valaki után elnevezve	Marcel Golay
Típusú	blokk kód
Blokk hossza	12
Az üzenet hossza	6
Részvény	6/12 = 0,5
Távolság	6
Ábécé mérete	3
Kijelölés	${\displaystyle [12,6,6]_{3))$

A kiterjesztett hármas Golay-kód teljes súlyszámlálója

x^{12}+y^{12}+z^{12}+22\left(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{ 6}x^{6}\jobbra)+220\left(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{ 6}x^{3}y^{3}\jobbra).

A kiterjesztett hármas kódcsoport automorfizmuscsoportja 2. M 12 , ahol M 12 a Mathieu csoport M12 .

A kiterjesztett hármas Golay-kód egy 12-es rendű Hadamard-mátrix soraiként szerkeszthető az F 3 mező felett .

Tekintsünk minden olyan kiterjesztett kódszót, amelynek hat nem nulla számjegye van. Azok a pozícióhalmazok, amelyekben ezek a nem nulla számjegyek megjelennek, az S(5, 6, 12) Steiner rendszert alkotják.

Történelem

Golay hármas kódját Golay fedezte fel [1] . A kódot két évvel korábban, egymástól függetlenül fedezte fel a finn futballfogadás rajongó, Juhani Virtakallio, aki 1947-ben tette közzé a Veikkaaja futballmagazin 27., 28. és 33. számában [ 2] .

Lásd még

Bináris Golay kód

Jegyzetek

↑ Golay, 1949 .
↑ Barg, 1993 , p. 25.

Irodalom

Sándor Barg. A kódelmélet hajnalán // A matematikai intelligencia . - 1993. - T. 15 , sz. 1 . — S. 20–26 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/BF03025254 .
Golay MJE Megjegyzések a digitális kódolásról // Proceedings of the IRE . - 1949. - T. 37 . - S. 657 .
Algebrai kódoláselmélet: történelem és fejlődés / Blake IF (szerk.). – Stroudsburg: Dowden, Hutchinson és Ross, 1973.
JH Conway , NJA Sloane . Gömbcsomagolások , rácsok és csoportok . – New York, Berlin, Heidelberg: Springer , 1988.
Robert L. Griess. Tizenkét szórványos csoport . — Springer, 1998.
Cohen G., Honkala I., Litsyn S., Lobstein A. Covering Codes. - Elsevier , 1997. - ISBN 0-444-82511-8 .
th. M. Thompson. A hibajavító kódoktól a gömbcsomagolásokon át az egyszerű csoportokig . - The Mathematical Association of America , 1983. - ISBN 0-88385-037-0 .