Csoportközpont

A csoport középpontja a csoportelméletben egy adott csoport összes olyan elemének halmaza, amely az összes elemével együtt ingázik :

Z(G) = \{z \in G \mid \forall g\in G, zg = gz \}

[1] ).

Egy csoport akkor és csak akkor Abel -féle , ha a középpontja egybeesik vele: ; ebben az értelemben egy csoport középpontja az „abeli” (kommutativitás) mértékének tekinthető. Egy csoportról azt mondjuk, hogy nincs középpontja , ha a csoport középpontja triviális, azaz csak egy semleges elemből áll . $G$ $Z(G) = G$

A középső elemeket néha csoportközponti elemeknek is nevezik .

Alcsoport tulajdonságai

Egy csoport középpontja mindig az alcsoportja: mindig tartalmaz egy semleges elemet (hiszen definíció szerint ingázik a csoport bármely elemével), zárt a csoportművelet szempontjából, és a bejövő elemekkel együtt tartalmazza azok inverzióit . .

G középpontja mindig G normál részcsoportja , mivel a konjugáció alatt zárt . Ráadásul a csoport középpontja egy jellegzetes alcsoport , ugyanakkor nem teljesen jellemző alcsoport .

A faktorcsoport izomorf a csoport belső automorfizmusainak csoportjával . $G/Z(G)$ $G$

Konjugácia osztályok és központosítók

A definíció szerint a csoport középpontja azon elemek halmaza, amelyeknél az egyes elemek konjugáltsági osztálya maga az elem.

A középpont egyben a G csoport összes eleme összes központosítójának metszéspontja is .

Szomszédság

A leképezés magja, amely a csoport egy elemét a képlettel megadott automorfizmushoz társítja: $f: G \to \operátornév{Aut}(G)$ $g$

\phi_g(h) = ghg^{-1}

pontosan a G csoport középpontja, és az f leképezés képét a G csoport belső automorfizmusának nevezzük , amelyet -vel jelölünk ; Az első izomorfizmustétel alapján a következőket kapjuk : $\operátornév{Inn}(G)$

G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G)

Az f kokszmagja a külső automorfizmusok csoportja ; tehát van egy pontos sorrend : $\operátornév{Out}(G)$

1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1

Példák

Egy G Abel-csoport középpontja G .
A Heisenberg-csoport G középpontja a következő alakú mátrixok:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & z\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}

Egy nem Abel -féle egyszerű csoport középpontja triviális.
A D n diédercsoport középpontja triviális páratlan n esetén . Ha n páros, akkor a középpont egy semleges elemből és a sokszög 180°-os elforgatásából áll.
A kvaterniócsoport középpontja a . $Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$ $\{tizenegy\}$
Az S n szimmetrikus csoport középpontja triviális n ≥ 3 esetén .
A váltakozó A n csoport középpontja triviális n ≥ 4 esetén .
A teljes lineáris csoport középpontja a skaláris mátrixok halmaza . $\mbox{GL}_n(F)$ $\{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}$
Egy ortogonális csoport középpontja . $O(n, F)$ $\{ I_n,-I_n \}$
A nem nullától eltérő kvaterniók szorzócsoportjának középpontja a nem nulla valós számok multiplikatív csoportja.
Az osztályegyenlet segítségével bebizonyíthatjuk, hogy bármely nemtriviális véges p-csoport középpontja nemtriviális.
Ha a faktorcsoport ciklikus , akkor G Abel -féle (tehát G = Z(G), és triviális). $G/Z(G)$ $G/Z(G)$
A hányadoscsoport nem izomorf a kvaterniócsoporttal . $G/Z(G)$ $Q_8$

Középre sorok

A csoportközpontok szerinti faktorálás egy csoportsorozatot generál, amelyet felső központi sornak nevezünk :

G_0 = G \ to G_1 = G_0/Z(G_0) \ to G_2 = G_1/Z(G_1) \ to \cdots

A leképezés magja a G csoport i-edik középpontja ( második középpont , harmadik középpont és így tovább), és ezeket jelöli . Pontosabban, a -edik középpont azok az elemek, amelyek az i -edik középpont összes elemével ingáznak . Ebben az esetben lehetséges a csoport nulla középpontját egység alcsoportként definiálni. A felső középső sorozat transzfinit indukcióval kiterjeszthető transzfinit számokra . Egy sorozat összes középpontjának egyesülését hipercentrumnak [2] nevezzük . $G \ to G_i$ $Z^i(G)$ $(i+1)$

Az alcsoportok növekvő sorrendje:

1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots

pontban stabilizálódik (ami azt jelenti ) , hogy akkor és csak akkor , ha nincs középpontja. $én$ $Z^i(G) = Z^{i+1}(G)$ $GI}$

Példák

Egy középpont nélküli csoportnál a sorozat összes középpontja nulla, ami akkor történik, ha . $Z^0(G)=Z^1(G)$
Grün lemmája [ egybeeső csoport hányadoscsoportjának nincs középpontja a középpontban, mivel minden magasabb rendű középpont egyenlő a középponttal. Ez a stabilizáció esete . $Z^1(G)=Z^2(G)$

Lásd még

Középpont (algebra)
Norma (csoportelmélet)

Jegyzetek

↑ Tőle származott a Z megjelölés . Zentrum
↑ Ez az unió transzfinit elemeket tartalmaz, ha a felső középpontok halmaza nem stabilizálódik véges számú iterációban.

Linkek

Michiel Hazewinkel. Egy csoport központja, Matematikai enciklopédia. - Springer, 2011. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
I. M. Vinogradov. Center // Mathematical Encyclopedia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . fejezet II. Csoportok // Általános algebra / Az általános alatt. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 p. — (Referencia matematikai könyvtár). — 30.000 példány. — ISBN 5-02-014426-6 .