Cauchy-tétel (csoportelmélet)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Cauchy tétele a csoportelméletben ezt mondja:

Ha egy véges csoport rendje osztható egy prímszámmal , akkor sorrendi elemeket tartalmaz . $G$ $p$ $G$ $p$

Ez szorosan összefügg Lagrange tételével , amely alapján bármely véges G csoport sorrendje osztható bármelyik részcsoportjának sorrendjével. Cauchy tétele szerint G -beli bármely p prímosztóhoz létezik egy alcsoport, amelynek a sorrendje p . Ez a Cauchy-tételből származó elem által generált ciklikus csoport.

A Cauchy-tétel általánosítása Sylow első tétele , amely szerint, ha p n a p maximális hatványa, amely osztja a G csoport rendjét , akkor G -nek van egy pont ilyen rendű alcsoportja. Felhasználva azt a tényt, hogy egy p n rendű csoport megoldható , megmutathatjuk, hogy G olyan p r rendű részcsoportokat tartalmaz , amelyekre $r\leq n.$

Bizonyítás

Ezt a tételt gyakran indukcióval és konjugáltsági osztályok használatával igazolják , de Abel-csoportok esetében sokkal könnyebb egy hasonló állítás bizonyítása. A csoportos akció a bizonyításban is használható . [egy]

1. lehetőség

Ezt a tételt először abban a speciális esetben bizonyítjuk be, amikor a G csoport Abel-féle, majd általános esetben. Mindkét alkalommal indukcióval igazoljuk a tételt n = | G |, n = p -ből kiindulva . Az alap triviális, mivel minden nem azonos elemnek p sorrendje van .

Ha G Abel-féle, akkor tekintsünk bármely nem azonos a elemet és az általa generált H ciklikus alcsoportot . Ha p oszt | H |, majd a | H |/ p a kívánt p sorrendű elem . Ellenkező esetben p osztja nem a | sorrendet H |, hanem a G / H faktorcsoport sorrendje [ G : H ] . Ekkor az induktív hipotézis szerint a faktorcsoport egy p rendű elemet tartalmaz . Ez az xH osztályok egyike , ahol x G -ben található . Ha a G csoportban m rendű , akkor : abból a tényből adódóan, hogy a G csoportban x m = e , ( xH ) m = eH a G / H hányadoscsoportban . Tehát p osztja m -t ; hasonlóképpen x m / p p - rendű elemnek bizonyul a G csoportban , ami befejezi a bizonyítást Abel-esetben. $m\vdots p$

Általában legyen a Z csoport a G csoport középpontja . Aztán Z -ről kiderül, hogy Abeli. Ha a sorrendje p többszöröse , akkor, mint már láttuk, p sorrendű elemet tartalmaz . Ezért ennek az elemnek a G csoportban is p rendje van . Ellenkező esetben p nem osztja Z -t . Mivel p oszt | G | és G Z -re és más konjugáltsági osztályokra oszlik , ezek egyike egy olyan elemet tartalmaz , amelynek osztálymérete nem osztható p -vel . De könnyen kimutatható, hogy mérete [ G : C G ( a )], és nem p többszöröse . Ezért p osztja a G csoportban lévő a elem C G ( a ) központosítójának sorrendjét, ami nem esik egybe a G csoporttal . De az induktív feltevés szerint a szükséges p sorrendű elem a központosítóban van , amit bizonyítani kellett.

2. lehetőség

Ebben a változatban azt a tényt használjuk, hogy egy p prímrendű ciklikus csoport hatása csak 1 és p méretű pályákat generál , ami közvetlenül következik a pályastabilizáló tételből.

Cselekedjünk csoportunk által az egyenlet megoldásainak halmazán

X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\ }

azok. a G csoport p elemeiből álló sorozatok halmazához, amelyek szorzata 1. Egy ilyen sorozatot minden elem egyedileg definiál, kivéve az utolsót, amely a többi szorzatának inverze. Az is világos, hogy ezek a p − 1 elemek tetszőlegesen választhatók, és az X halmazban | G | p −1 elemek, és számuk p többszöröse .

Most vegyük észre, hogy az ab = e csoportban akkor és csak akkor, ha ba = e . Ezért ha , akkor . Ez azt jelenti, hogy az X halmaz egy elemének komponenseinek ciklikus permutációi ismét X elemeit generálják . Ez lehetővé teszi, hogy a komponensek permutálásával meghatározzuk a p rendű C p ciklikus csoport működését az X halmazon. Más szóval, a C p csoportot generáló elem veszi $x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e$ $x_{2}\cdots x_{p}x_{1}=e$

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})

Nyilvánvaló, hogy ennél a műveletnél az X -ben lévő pályák 1 vagy p méretűek . Egy pálya akkor és csak akkor 1-es méretű, ha egyetlen eleme és alakú . Mivel az X elemszáma megegyezik a pályákon lévő elemek számának összegével, amelyeknél az elemek száma p többszöröse . Mivel ezek közül az egyik az identitáselem, összesen legalább vannak olyan elemek, amelyek közül legalább p − 1 nem egyenlő az azonossági elemmel, de p sorrendű . A tétel bizonyítást nyert. $(x,x,\ldots ,x)$ $x^{p}=e$ $x$ $x^{p}=e$ $p$

Alkalmazások

A Cauchy-tétel lehetővé teszi, hogy azonnal megállapítsuk, mely csoportok lehetnek véges p-csoportok , ahol p prímszám. Ugyanis egy véges G csoport akkor és csak akkor p -csoport (azaz minden elem sorrendje p pontos hatványa ), ha a csoport sorrendje maga is p hatványa . Habár az Abeli-eset Sylow első tételének indukciós bizonyítására is alkalmazható, [2] csakúgy, mint az első bizonyításnál , vannak olyan bizonyítások is, amelyekben ezt az esetet külön kezelik.

Példa

Egy Abeli-féle egyszerű csoport csak elsőrendű ciklikus lehet. Valójában minden ilyen G csoportban minden alcsoportja normális. Ezért, ha egyszerű, akkor minden normál alcsoportja vagy az egységcsoport, vagy maga. ha | G | = 1 , akkor G maga az azonosság. Egyébként egy a ∈ G nemtriviális elemet tartalmaz , a ciklikus csoport pedig G nemtriviális részcsoportja . Tehát legyen most a csoport sorrendje egyenlő n -nel . Ha végtelen, akkor $\langle a\rangle$ $G=\langle a\rangle .$ $\langle a\rangle$

G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\},

ami lehetetlen.

Tehát n véges. Ha n összetett, akkor n - nél kisebb q prím többszöröse . De létezik egy q rendű H alcsoport , ami ellentmond a feltételezésnek. Tehát n egyszerű.

Jegyzetek

↑ McKay, 1959 .
↑ Jacobson, 2009 , p. 80.

Irodalom

Cauchy, Augustin-Louis (1845), Mémoire sur les megállapodáss que l'on peut previous avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un Agreement à un autre , Exercises d'analyse et de physique mathématique (Paris) Vol. 3: 151-252 , < https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96417945/f157.image >
Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes , vol. 13. (újra kiadva), második sorozat, Paris: Gauthier-Villars, p. 171–282 , < https://iris.univ-lille.fr/handle/1908/4035 >
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra , vol. I (második kiadás), Dover Books on Mathematics, Dover Publications , p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), Cauchy csoporttételének másik bizonyítéka , American Mathematical Monthly Vol . 66: 119 , DOI 10.2307/2310010

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció