Elemi algebra

Az elemi algebra az algebra legrégebbi ága , amely valós és komplex számok feletti algebrai kifejezéseket és egyenleteket vizsgál .

Alapfogalmak

Az algebrában a matematikai kifejezéseket ( képleteket ) a legáltalánosabb formában szokás írni , bizonyos számokat alfabetikus karakterekkel helyettesítve, aminek köszönhetően az azonos típusú feladatok megoldása során az eredmény maximális általánossága érhető el. Az algebra fő tartalma az egyenletek megoldásához, a függőségek elemzéséhez, a vizsgált rendszer optimalizálásához és egyéb gyakorlati problémákhoz szükséges képletek azonos transzformációjának szabályai [1] .

Az elemi algebrai képletek a betűk és számok mellett számtani műveleteket ( összeadás , kivonás , szorzás , osztás , hatványozás , gyökkivonás ) és elemi függvényeket ( logaritmus , trigonometrikus függvények ) használnak. Két egyenlőségjellel összekapcsolt képletet egyenletnek nevezünk .

Ha nincs operátorszimbólum megadva két kifejezés között, a szorzást feltételezi:

ab=a\cdot b;\;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x;\;\pi (a^{2}+b^{2})=\pi \cdot (a ^{2}+b^{2})

Példa egy képletre: a háromszög területét a következőképpen fejezzük ki az egyik oldal hosszával és az oldalra süllyesztett magasság hosszával : $S$ $a$ $h$ $a$

S={1\több mint 2}ah

A legegyszerűbb algebrai kifejezés egy numerikus tényezőből álló monom , amelyet egy vagy több alfabetikus karakterrel szoroznak [2] . Példák:

1{,}2\ x;\;{\sqrt {2}}abc^{2};\;x^{2}w

A monomok algebrai összegeit (vagyis összegeit és/vagy különbségeit) polinomoknak nevezzük . Azokat a kifejezéseket, amelyek egy polinom egy másikkal való osztásának hányadosának tűnnek, algebrai törtnek nevezzük . Az algebrai törtekkel végzett műveletek hasonlóak a közönséges törtekkel végzett műveletekhez - a számlálót és a nevezőt faktorokká alakítják, több törtet közös nevezőre hoznak, a számlálót és a nevezőt közös tényezővel csökkentik stb.

Az elemi algebra törvényei

Kifejezés értékének kiszámítása

A műveletek végrehajtásának sorrendjét zárójelek jelzik . Ha nincsenek zárójelek, akkor csökkenő sorrendben a prioritás következik.

Hatványozás.
Függvényszámítás.
Szorzás és osztás.
Összeadás és kivonás.

Példák:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$
$\sin x^{2}=\sin(x^{2})$
$\sin a+b=(\sin a)+b$

Egy kifejezés értékének kiszámításakor az alfabetikus karakterek helyett azok egy adott feladatnak megfelelő numerikus értékei kerülnek helyettesítésre. A számértékek halmazát, amelyre a kifejezésnek értelme van, a kifejezés érvényes értékeinek tartományának nevezzük [3] . Példa: egy kifejezésnél az érvényes értékek tartománya minden olyan pár , amelyben . ${\frac {a+b}{ab}}$ $a,b$ $a\neq b$

Működési tulajdonságok

Az összeadás kommutativitása (permutációs tulajdonsága) :

a+b=b+a.\

A kivonás az összeadás inverze .
A b szám kivonása egyenértékű a b ellentétének hozzáadásával :

ab=a+(-b).\

A szorzás kommutativitása (permutációs tulajdonsága) :

a\cdot b=b\cdot a\

Az osztás a szorzás inverze .
A nullával való osztás nem lehetséges.
Osztani b -vel ugyanaz , mint szorozni b reciprokával :

{a \over b}=a\left({1 \over b}\right).

A hatványozás nem kommutatív. Ezért két inverz művelete van: a gyökér kinyerése és a logaritmus felvétele .
- Példa: if , then If , then $3^{x}=10$ $x=\log _{3}10.$ $x^{2}=10$ $x=\pm {\sqrt {10}}.$
Negatív számnak nincs páros gyöke (a valós számok között). Lásd a komplex számokat .
Az összeadás asszociatív (asszociatív) tulajdonsága: $(a+b)+c=a+(b+c).$
A szorzás asszociatív (asszociatív) tulajdonsága: $(ab)c=a(bc).$
Elosztó (elosztó) tulajdonság a szorzáshoz: $c(a+b)=ca+cb.$
Elosztó (eloszlási) tulajdonság a hatványozáshoz: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}.$
Kitevők hozzáadása: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$
Kitevők szorzása: $(a^{b})^{c}=a^{bc}.$

Equality Properties

Ha és , akkor ( az egyenlőség tranzitivitása ). $a=b$ $b=c$ $a=c$
$a=a$ ( reflexivitás ).
Ha , akkor ( szimmetrikus ). $a=b$ $b=a$

Egyéb törvények

Ha és , akkor ( az egyenlőség additivitása ) $a=b$ $c=d$ $a+c=b+d.$
- Ha , akkor bármelyik c $a=b$ $a+c=b+c$
Ha és , akkor = ( az egyenlőség multiplikativitása ) $a=b$ $c=d$ $ac$ $bd.$
- Ha , akkor bármelyik c $a=b$ $ac=bc$
Ha két karakter értéke megegyezik, akkor az egyik helyett helyettesítheti a másikat (a helyettesítés elve).
Ha és , akkor ( a sorrend tranzitivitása ). $a>b$ $b>c$ $a>c$
Ha , akkor bármelyik c . $a>b$ $a+c>b+c$
Ha és akkor $a>b$ $c>0$ $ac>bc.$
Ha és akkor $a>b$ $c<0$ $ac<bc.$

Néhány algebrai azonosság

(a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(ab)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(ab)^{3}=a^{3} -3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(ab) (a^{2}+ab+b^{2})

Egyenletek megoldása

Az egyenlet a következő alakú egyenlőség :

f(x_{1},x_{2}\pontok )=g(x_{1},x_{2}\pontok)

Az egyenlet megoldása az a feladat, hogy megtaláljuk az ismeretlen változók olyan értékeit, amelyekre ez az egyenlőség elérhető. További feltételek (egész, valós stb.) szabhatók a változók lehetséges értékeire. Az egyenletek megoldása az algebra és általában a matematika egyik fő problémája, a tudomány történeti fejlődése során számos módszert ( algoritmust ) fejlesztettek ki e probléma különböző változataira.

Történelmi vázlat

A tudomány nevének eredetét lásd: algebra .

Az ötlet, hogy a számok és a számítási algoritmusok általános tulajdonságait speciális szimbolikus metanyelven írják le , már régen megjelent, azonban kezdetben az egyenletekben szereplő alfabetikus szimbólumok csak ismeretleneket jelöltek, amelyek értékeit meg kell találni, és az egyenlet többi tagja, konkrét számértékeket írtunk le. Lassan utat tört magának az a gondolat, hogy az általánosság számára is hasznos az ismert mennyiségek ( együtthatók ) szimbólumokkal való megjelölése.

Először, amennyire a hozzánk jutott ősi írásokból megítélhető, Diophantus Aritmetikájában ( 4. század ) jelenik meg egy fejlett algebrai rendszer. Aligha kétséges, hogy voltak elődei, mint Eukleidésznek , Arkhimédésznek és másoknak, de nem tudunk semmit sem az emberekről, sem azokról a művekről, amelyekre ez a figyelemre méltó algebraista támaszkodhatott. És egészen a 15. századig nem voltak követői . Európában azonban az "Aritmetika" fordítása csak a 16. században vált ismertté , és Diophantus módszerei óriási hatással voltak Vietára és Fermatra .

Az aritmetika fő problémája a határozatlan egyenletek (tetszőleges fokozatú polinomok) racionális megoldása racionális együtthatókkal. Diophantus alfabetikus szimbólumokat használ, de még mindig csak ismeretlen embereknél. Az aritmetika bevezetőjében Diophantus a következő elnevezéseket alkalmazza: az ismeretlent „számnak” nevezi és ξ betűvel, az ismeretlen négyzetét a szimbólummal stb. , úgy tűnik, negatív számok (még egy szabályjelek is vannak: mínusz szor mínusz egyenlő plusz). Minden más szóbeli. Az algebra számos, általunk ismert szabálya megfogalmazódott: előjelváltás az egyenlet egy másik részébe történő átvitelkor, gyakori tagok redukciója stb. $\delta ^{\nu }$

A középkori indiai matematikusok az algebrában is nagyon fejlettek voltak; szimbolikájuk gazdagabb, mint Diophantosé, bár kissé nehézkes (szavakkal zsúfolt).

Európában Jordan Nemorarius ( XIII. század ) "Aritmetika" és "Az adott számokról" című könyvében a szimbolikus algebra kezdetei láthatók, egyelőre nem különülve el a geometriától. Neki is, csakúgy, mint Fibonaccinak , már vannak olyan kifejezései, mint " a lovak f nap alatt megesznek egy mázsa zabot ". A szimbolikát azonban még nem vették bele a bemutatás általános fogalmába.

A 15. század legnagyobb algebraistája, Luca Pacioli közzétette az algebrai szimbolizmus változatát, amely még nem volt túl általános és nem túl kényelmes.

Az algebrai nyelv fogalmi reformját és alapvető fejlesztéseit a 16. század végén vezette be Francois Viet , aki szakmáját tekintve jogász, lélekhajlamát tekintve matematikus. Világosan elképzelte a végső célt - egy "új kalkulus", egyfajta általánosított aritmetika kidolgozását. Viet betűkkel jelölte az összes együtthatót (mellesleg Viet alkotta ezt a kifejezést). Minden feladatot általánosan oldanak meg, és csak ezután adnak számszerű példákat. Viet szabadon alkalmazott algebrai transzformációk, változók megváltoztatása és egyéb algebrai technikák.

Vieta rendszerét széles körben csodálták. Lehetővé tette az aritmetika és az algoritmusok törvényeinek korábban elképzelhetetlen általánossággal és tömörséggel történő leírását, megkönnyítette és elmélyítette az általános numerikus törvények tanulmányozását. A Vieta szimbolikája azonban nem hasonlított a modernhez, néha nehézkes, és a különböző országok tudósai elkezdték javítani.

Az angol Thomas Harriot posztumusz megjelent (1631) művében már nagyon közel áll a modern szimbolikához: a változókat kisbetűkkel jelöli, nem pedig nagybetűkkel, mint a Vietában, az egyenlőségjelet, valamint az összehasonlító szimbólumokat használja. ő találta ki „>” és „<” . Az algebrai szimbolikának szinte modern megjelenést kölcsönzött Rene Descartes (17. század közepe, „ Geometria ”).

Ennek a folyamatnak az eredménye és befejezése volt a Newton-féle univerzális aritmetika . Néhány megmaradt finomságot az Euler finomított . Az algebra betűit azonban sokáig csak nem negatív valós számként értelmezték ; Az a felismerés, hogy az algebrai törvények és az egyenletek megoldásának módszerei sokféle matematikai objektumra alkalmazhatók (figyelembe véve azok sajátosságait), csak a 19. században jött létre.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Elemi matematika, 1976 , p. 70..
↑ Elemi matematika, 1976 , p. 73..
↑ Elemi matematika, 1976 , p. 71..

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Glazer G.I. A matematika története az iskolában . - M . : Nevelés, 1964. - 376 p.

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória