Tarski-probléma az iskolai algebrában

A Tarski-probléma az iskolai algebrában azt kérdezi, hogy létezik-e olyan azonosság az összeadást, szorzást és hatványozást használó pozitív egészek felett, amely nem következik az iskolában tanított azonosságok halmazából.

Megfogalmazás

Igaz-e, hogy a következő tizenegy axióma közül, amelyeket iskolai axiómáknak nevezünk :

$x+y=y+x$
${\megjelenítési stílus (x+y)+z=x+(y+z)}$
$x\cdot 1=x$
$x\cdot y=y\cdot x$
$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$1^{x}=1$
$x^{1}=x$
${\displaystyle x^{y+z}=x^{y}\cdot x^{z))$
${\displaystyle (x\cdot y)^{z}=x^{z}\cdot y^{z))$
${\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{y\cdot z))$

követ-e bármilyen azonosságot a pozitív egész számok felett összeadás, szorzás és hatványozás használatával?

Történelem

Ezt a tizenegy axiómából álló listát Richard Dedekind írta [1] , bár ezek az azonosságok már jóval korábban ismertek voltak.

Az összes identitás levezethetőségének problémáját Alfred Tarski fogalmazta meg . A pontos megfogalmazás modellelméletet használ . Az 1980-as években Tarski-probléma néven vált ismertté az iskolai algebrában .

1980-ban Alex Wilkie bebizonyította, hogy a személyazonosság

{\begin{aligned}&\left((1+x)^{y}+(1+x+x^{2})^{y}\right)^{x}\cdot \left( (1+x^{3})^{x}+(1+x^{2}+x^{4})^{x}\jobbra)^{y}=\\={}&\left( (1+x)^{x}+(1+x+x^{2})^{x}\jobbra)^{y}\cdot \left((1+x^{3})^{y} +(1+x^{2}+x^{4})^{y}\jobbra)^{x}.\end{igazított}}

nem az iskolai axiómák halmazából származik . [2]

Jegyzetek

↑ Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? , 8te unveränderte Aufl. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1960).
↑ AJ Wilkie, A hatványozásról – megoldás Tarski középiskolai algebrai problémájára , A modellelmélet és az algebrai és analitikus geometria összefüggései, Quad. Mat., 6 , Dept. Math., Seconda Univ. Napoli, Caserta, (2000), 107–129.