Torricelli pontjai

A Torricelli-pontok  két olyan pont, amelyekből a háromszög minden oldala 60°-os vagy 120°-os szögben látható. A háromszög ezen pontjai „párosítva” vannak. Ezeket a pontokat néha Fermat -pontoknak vagy Fermat-Torricelli-pontoknak nevezik .

• A két Torricelli-pont  a háromszög csúcsait összekötő szakaszok metszéspontja:
  • a háromszög ellentétes oldalára épített egyenlő oldalú háromszögek megfelelő szabad csúcsaival (kifelé) - Torricelli első pontja
  • a háromszög belsejében ellentétes oldalakra épített szabályos háromszögek megfelelő szabad csúcsaival - a második Torricelli-pont .

Tulajdonságok

• Torricelli első pontja a háromszög  azon pontja , amelyből minden oldal 120 ° -os szöget zár be (definíció szerint).
• Az első Torricelli-pontnak van a legkisebb távolsága a háromszög csúcsaitól. Csak 120°-nál kisebb szögű háromszögekben létezik; ráadásul egyedi, ezért bármely háromszögben létező Fermat-pont speciális esete.
• A két Torricelli-pont és a Lemoine-pont ugyanazon az egyenesen fekszik.
• A Torricelli-pontok izogonálisan konjugálnak az Apollonius-pontokhoz .
• Két egyenest szerkesztünk, amelyek mindegyike átmegy az Apollonius - ponton és a Torricelli-ponton, amely különbözik az izogonális konjugátumától . Az ilyen vonalak a mediánok metszéspontjában ( a háromszög súlypontjában ) metszik egymást.
• Lester-tétel [1] . Bármely léptékű háromszögben a két Torricelli-pont , a kilenc pont közepe és a körülírt kör középpontja ugyanazon a körön (Leicester körén ) fekszik.

A Kiepert hiperbola  egy körülírt hiperbola, amely egy centroidon és egy ortocentrumon halad át . Ha egy háromszög oldalaira (kifelé vagy befelé) hasonló egyenlő szárú háromszögeket építünk, majd ezek csúcsait összekötjük az eredeti háromszög szemközti csúcsaival, akkor három ilyen egyenes metszi egymást egy pontban, a Kiepert-hiperbolán fekve. Ezen a hiperbolán különösen a Torricelli-pontok és a Napóleon -pontok (Cevian metszéspontok, amelyek a csúcsokat az ellentétes oldalakra épült szabályos háromszögek középpontjaival kötik össze) fekszenek [2] .

Megjegyzés

Egyébként a jobb oldali első ábrán a három egyenlő oldalú háromszög középpontjai maguk is egy új egyenlő oldalú háromszög csúcsai ( Napóleon tétele ). Ezen kívül, .

Irodalom

• Point Farm
• Pont Torricelli
• Gyakorlati példa a Fermat-pont megszerkesztésére  (angol)
• A háromszög figyelemre méltó pontjai
• A Fermat-Torricelli probléma és fejlesztése// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri
• * Dm. Efremov. Új háromszöggeometria 1902
• Protasov V. Yu. Maximák és minimumok a geometriában . — M. : MTsNMO. — 56 p. - ("Matematikai oktatás" könyvtár, 31. szám).

Lásd még

• A háromszög figyelemre méltó pontjai
• háromszög geometria
• Kör
• Leicester kerülete
• derékszögű háromszög
• Második Farm pont
• Van Obel tétele
• Point Farm
• Apollonius rámutat
• Háromszög
• Háromszöggel társított szegmensek és körök

Jegyzetek

1. ↑ Yiu, 2010 , p. 175–209.
2. ↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 125-126.

Irodalom

• Paul Yiu. Lester, Evans, Parry körei és általánosításaik  // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .