Julia meg

A holomorf dinamikában a racionális térkép Julia-halmaza azon pontok halmaza, amelyek szomszédsági dinamikája bizonyos értelemben instabil a kezdeti pozíció kis zavarásaihoz képest. Ha f polinom, akkor egy kitöltött Julia halmazt is figyelembe veszünk, azaz olyan pontok halmazát, amelyek nem hajlanak a végtelenre. A szokásos Julia halmaz a határa . $J(f)$ $f:\mathbb {C} P^{1}\ to \mathbb {C} P^{1}$

A Fatou készlet a Julia készlet kiegészítője. Más szóval, f iterációjának dinamikája nem szabályos, de nem is kaotikus. $F(f)$ $F(f)$ $J(f)$

Kiegészíti Picard nagyszerű tételét "egy analitikus függvény viselkedéséről egy lényegében szinguláris pont szomszédságában".

Ezeket a halmazokat Gaston Julia és Pierre Fatou francia matematikusokról nevezték el , akik a 20. század elején kezdeményezték a holomorf dinamika tanulmányozását.

Definíciók

Legyen racionális leképezés. A Fatou halmaz z pontokból áll úgy, hogy a z kellően kis környezetére vonatkozó megszorításban az iterációk sorozata $f:\mathbb {C} P^{1}\ to \mathbb {C} P^{1}$

(f^n)_{n\in\mathbb{N}}

Monteli értelemben normális családot alkot . A Julia készlet a Fatou készlet kiegészítője.

Ez a definíció a következő ekvivalens újrafogalmazást teszi lehetővé: a Fatou-halmaz azon pontok halmaza, amelyek pályája Ljapunov-stabil . (Az újrafogalmazás ekvivalenciája nem nyilvánvaló, de a Montel-tételből következik .)

Tulajdonságok

Ahogy a definíciókból következik, a Julia készlet mindig zárt , míg a Fatou készlet mindig nyitva van .
Az 1-nél nagyobb fokú leképezéshez a Julia-halmaz mindig nem üres (egyébként az iterációk egyenletesen konvergens részsorozatát lehetne választani.) A Fatou-halmaz esetében hasonló állítás nem igaz: van példa, amelyben a Julia készletből kiderül, hogy az egész Riemann-szféra . Egy ilyen példa megszerkeszthető úgy, hogy a tóruszra (amelynek dinamikája mindenhol kaotikus) felvesszük a duplázási térképet, és átadjuk a Weierstrass -függvényen . $z\mapsto 2z (mod\, \Z[i])$ $\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]$ $\wp$ ${\displaystyle \wp :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {C} P^{1))$
A Julia halmaz az összes taszító periodikus pálya egyesülésének lezárása.
A Fatou és Julia halmazok teljesen invariánsak f hatására , azaz egybeesnek saját képükkel és a teljes előképükkel is:

\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),

\f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).

A J(F) Julia halmaz bármely vonzó vagy szuperattraktív pálya (teljes) vonzási medencéjének határa ; ennek speciális esete az az állítás, hogy J(F) egy kitöltött Julia halmaz határa (mivel polinomiális leképezésnél a végtelen szuperattraktív fixpont, a kitöltött Julia halmaz pedig annak vonzási medencéjének kiegészítése). Ezen túlmenően, ha egy polinomiális leképezést veszünk három különböző vonzó fix ponttal, akkor három nyitott (természetesen szétkapcsolt) halmazra kapunk példát egy közös határvonalú síkon.
Ha egy nyitott halmaz metszi a Júlia halmazt, akkor néhány kellően nagy n - ből kiindulva a kép egybeesik a teljes Júlia halmazzal . Más szóval, az iterációk egy tetszőleges kis környéket húznak ki a Julia halmazban a teljes Julia halmazra. $U$ $f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J$ $J$
Mivel a fent jelzett nyújtás leggyakrabban meglehetősen gyorsan következik be, a holomorf leképezések konformálisak , a Julia halmaz pedig invariáns a dinamika alatt - kiderül, hogy fraktál szerkezetű : kis részei hasonlóak a nagyokhoz.
Ha a Julia halmaz különbözik a teljes Riemann-szférától , akkor nincs belső pontja .
A Riemann-gömb összes z pontjára , talán kettő kivételével, a teljes előképek sorozatának határpontjai a Julia-halmaz. Ezt a tulajdonságot számítógépes algoritmusok használják a Julia halmaz felépítéséhez. $f^{-n}(z)$
Sullivan tétele kimondja, hogy a Fatou-halmaz bármely összekapcsolt komponense preperiodikus. A Fatou-halmaz periodikus komponenseinek osztályozására vonatkozó tétel viszont kimondja, hogy a periodikus komponensek négy típusból állnak: egy vonzó vagy szuperattraktív fix vagy periodikus pont vonzási készlete , egy parabolapont Fatou-lebenye , a Siegel-korongot és a Herman-gyűrűt .

Kapcsolódó fogalmak

A koordináták megváltoztatásával végzett másodfokú leképezés mindig a formára redukálódik . Kiderül, hogy a Julia halmaz akkor és csak akkor kapcsolódik össze , ha a z=0 kritikus pont (vagy ennek megfelelő képe z=c ) nem megy a végtelenbe. Ha a 0 iterációk a végtelenbe hajlanak, a Julia halmaz (amely ebben az esetben egybeesik a kitöltött Julia halmazzal) homeomorfnak bizonyul a Cantor halmazhoz, és nulla mértéke van. Ebben az esetben Fatou-pornak hívják (a zavaros név ellenére pontosan a Julia-készlet - a kaotikus dinamika halmaza!). $z\mapsto P_2(z)$ $z\mapsto z^2 +c$

A c paraméterek halmazát, amelyre a másodfokú dinamika Julia halmaza össze van kötve, Mandelbrot halmaznak nevezzük . Fraktál szerkezetű is (és valószínűleg az egyik leghíresebb fraktál).

Numerikus szerkezet

Boundary Scan Method (BSM)

Ha az f függvénynek több attraktora van (rögzített vagy periodikus attraktor), akkor a Julia halmaz a vonzási medence határa ezek közül bármelyikre. Ez a tulajdonság az alapja a Julia halmaz képalkotó algoritmusának, az úgynevezett határszkennelési módszernek (BSM). A következőkből áll. Tekintsünk egy téglalap alakú képpontokból álló rácsot. Annak meghatározásához, hogy egy képpontot a Julia halmazhoz tartozónak kell-e festeni, kiszámítják annak minden egyes "sarkának" képét nagyszámú f iteráció hatására. Ha a képek távol vannak egymástól, akkor a sarkok különböző attraktorok medencéihez tartoznak. Ebből az következik, hogy a medencék közötti határvonal ezen a pixelen halad át, és át van festve. Az összes pixelt végigjárva olyan képet kapunk, amely megközelíti a Julia halmazt.

Ez a módszer akkor is használható, ha nincs két attraktor, de vannak Siegel-korongok , Ehrman-gyűrűk vagy parabolamedencék. (Ha két közeli pont közel marad, akkor a pályájuk Ljapunov stabil, és ezeknek a pontoknak egy kis környéke a Fatou régióhoz tartozik; egyébként a közelükben vannak a Julia pontjai.) Ugyanakkor ez a módszer nem akkor működik, ha a leképezésnek csak egy attraktorja van, és szinte az egész Riemann-szféra a vonzás medencéje. (Például .) [1] $z\mapsto z^2+i$

Inverse Iteration Calculation Method (IIM)

A Júlia halmaz bármely taszító fixpont teljes inverz képének egyesülésének lezárása. Így, ha van egy hatékony algoritmus az inverz leképezés kiszámítására , és legalább egy taszító fix pont ismert, akkor annak inverz képeit szekvenciálisan kiszámíthatjuk a Julia halmaz megalkotásához. Minden lépésben minden pontban annyi előkép van, amennyi f hatványa, így az összes előkép száma exponenciálisan nő, koordinátáik tárolása pedig sok memóriát igényel. [1] A gyakorlatban a következő módosítást is alkalmazzák: minden lépésben egy véletlenszerű előkép kerül kiválasztásra. Ugyanakkor figyelembe kell venni, hogy egy ilyen algoritmus nem egyenletesen kerüli meg a Julia halmazt: bizonyos területek csak nagyon hosszú (gyakorlatilag elérhetetlen) idő alatt érhetők el, és nem jelennek meg a kapott grafikonon. . $f^{-1}$

Érdekes tények

A matematikusok bebizonyították, hogy a síkban egy tetszőleges zárt alakzat tetszőlegesen közelíthető a Julia-halmaz segítségével egy megfelelő polinomhoz. Többek között saját technikájuk bemutatásaként a tudósoknak sikerült egy macska sziluettjének meglehetősen jó közelítését felépíteniük. A tudósok szerint az ő példájuk egyértelműen bizonyítja, hogy a polinomiális (vagyis polinomokkal adott) dinamikus rendszerek dinamikája a legkülönfélébb módon rendezhető el. Azt mondják, hogy példájuk hasznos lesz az ilyen rendszerek elméletében [2] .

Galéria

Kitöltött Julia halmaz az f ( z ) = z 2 −1 leképezéshez . Az axiális szimmetria azt jelzi, hogy az f ( z ) leképezés szabad tagjában nincs képzeletbeli komponens.
Kitöltött Julia készlet f ( z ) = z 2 +0,28+0,0113 i leképezéshez . Az óramutató járásával ellentétes irányú örvények pozitív képzeletbeli komponenst jeleznek az f ( z ) leképezés szabad tagjában.
Töltött Julia halmaz f ( z ) = z 5 -0,549653+0,003 i értékre
Töltött Julia halmaz f ( z ) = z 5 -0,549653+0,003 i értékre (töredék)
Kitöltött Julia halmaz f ( z ) = cos z . A kép közepe a 0+0 i koordináták origója , a ornamentika vízszintes periódusa a $\pi$
Töltött Julia halmaz f ( z ) = sin z . Ha 90°-kal elforgatja a képet, egy kitöltött Julia halmazt kapunk f ( z ) = sh z értékre

Linkek

Milnor, J. Holomorf dinamika. Bevezető előadások. = Dinamika egy összetett változóban. Bevezető előadások. - Izhevsk: Kutatóközpont "Szabályos és kaotikus dinamika", 2000. - 320 p. - ISBN 5-93972-006-4 .
Egy egyszerű program Julia készletek generálására (Windows, 370 kB)
Mandelbrot és Julia a FractalWorldben játszódik

Jegyzetek

↑ 1 2 D. Saupe. Julia halmazok és fraktáldimenzióik hatékony számítása // Physica. - Amszterdam, 1987. - Szám. 28D . - S. 358-370 . Archiválva az eredetiből 2007. június 11-én.
↑ A matematikusok Julia halmazokkal közelítették a macskát . Letöltve: 2012. szeptember 29. Az eredetiből archiválva : 2021. január 21. (határozatlan)

fraktálok
Jellemzők	fraktál dimenzió Hausdorff dimenzió Lebesgue dimenzió rekurzió önhasonlóság
A legegyszerűbb fraktálok	Fern Barnsley Kántor készlet sárkánygörbe Koch-görbe Szivacs Menger Sierpinski szőnyeg Sierpinski háromszög Térkitöltő görbe
furcsa vonzerő	Multifraktál
L-rendszer	Térkitöltő görbe
Bifurkációs fraktálok	Julia meg Ljapunov-fraktál Mandelbrot készlet Newton medencéi
Véletlenszerű fraktálok	Brown-mozgás barna fa fraktál felület Perkolációs elmélet
Emberek	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alekszandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
Kapcsolódó témák	Milyen hosszú Nagy-Britannia partja? » Tengerparti paradoxon