Fix pont

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A fix pont a matematikában egy olyan pont, amelyet egy adott leképezés lefordít arra, más szóval egy egyenlet megoldása . $f(x)=x$

Például a leképezésnek vannak fix pontjai és , mert és . $f(x)=x^2-3x+3$ $x=1$ $x=3$ $f(1)=1$ $f(3)=3$

Nem minden leképezésnek vannak fix pontjai – mondjuk egy valós vonal önmagába való leképezésének nincsenek fix pontjai. $f(x)=x+1$

Bizonyos számú iteráció, azaz az egyenlet megoldása után önmagukhoz visszatérő pontok

f(f(\pontok f(x)\pontok))=x

periodikusnak nevezzük (különösen a fix pontok periodikus pontok ). $egy$

Vonzó fix pontok

A kijelző fix pontja akkor vonzó , ha az egymás utáni alkalmazás eredménye egy elég közeli pontra hajlamos : $x=f(x)$ $f$ $f$ $y$ $x$ $x$

\underbrace {f(f(\dots f(y)\dots ))} _{n}\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty

Ebben az esetben általában megkövetelik, hogy az egyes iterációk eredménye ne hagyja el a pont valamely nagyobb környékét – vagyis hogy a pont aszimptotikusan stabil legyen . $x$ $x$

Egy pont vonzásának elégséges feltétele a feltétel . $|f'(x)|<1$

Newton-módszer

A vonzási fixpont gondolatának egyik alkalmazása a Newton-módszer : egy egyenlet megoldása valamilyen leképezés vonzási fixpontjának bizonyul, és ezért egy nagyon gyorsan konvergáló számsorozat határaként található meg. ismételt alkalmazásával.

Ennek a módszernek a legismertebb példája egy szám négyzetgyöke , mint a leképezés iterációinak határa $a\geqslant 0$

f(x)=\cfrac{x+\frac{a}{x}}{2}

Lásd még

Banach fixpont tétel
Brouwer fixpont tétel
A differenciálegyenlet szinguláris pontja
Schauder-Tikhonov tétel
Fixpontos kombinátor
Kleene fixpont tétele
Fixpont tétel normál függvényekre

Irodalom

Kolmogorov AN , Fomin SV A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - M.: Nauka, 1976. - Ch. 2, 4. tétel.
Krasnoselsky M. A. , Zabreiko P. P. A nemlineáris elemzés geometriai módszerei. - M.: Nauka, 1975. - Ch. 5.
Agarwal R.P., Meehan M., O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press , 2001. - ISBN 0-521-80250-4 .
Boriszovics Yu. G. , Gel'man BD, Myshkis AD , Obukhovskii VV Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24., 6. szám, 719-791.
Fitzpatrick PM, Petryshyn WV Fixpont tételek többértékű nem tömör aciklikus leképezésekhez // Pacific Journal of Mathematics , 54:2, 1974.
Shashkin Jurij Alekszejevics, Fix Pontok, "NAUKA", Moszkva, 1989.