Stabilitás (dinamikus rendszerek)

A stabilitás egy differenciálegyenlet megoldásának az a tulajdonsága, hogy más megoldásokat vonz magához, feltéve, hogy azok kezdeti adatai kellően közel állnak egymáshoz . A vonzás természetétől függően a stabilitás különböző típusait különböztetjük meg. A fenntarthatóságot olyan tudományterületeken tanulmányozzák, mint a stabilitáselmélet és a dinamikus rendszerek elmélete .

Definíciók

Legyen a fázistér egy tartománya , , ahol . Tekintsünk a következő formájú differenciálegyenlet-rendszert: $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I=[\tau ;\infty )$ $\tau \in \mathbb {R}$

{\pont {x}}=f(t,x),

(egy)

ahol a függvény definiált , folytonos és kielégíti a Lipschitz feltételt lokálisan a tartományban . $x \in \mathbb{R}^n$ $f$ $x$ $I\times\Omega$

Ilyen feltételek mellett bármelyik esetén létezik egy egyedi megoldás az (1) rendszerre, amely kielégíti a kezdeti feltételeket: [1] . Kiválasztunk néhány , az intervallumon definiált megoldást , így hívjuk zavartalan megoldásnak. $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ $x(t,t_{0},x_{0})$ $x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$ $\varphi (t)$ $J^{+}=[t_{0};\infty )$ $J^{+}\subset I$

Stabilitás Ljapunov szerint

Az (1) rendszer zavartalan megoldását Ljapunov-stabilnak nevezzük, ha bármely és létezik , csak attól függ, és attól nem függ , úgy, hogy bármely , amelyre az (1) rendszer kezdeti feltételekkel való megoldása kiterjed az egészre. féltengely és bármely esetén kielégíti a [1] egyenlőtlenséget . $\varphi (t)$ $t_{0}>\tau$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $\varepsilon$ $t_0$ $t$ $x_{0}$ $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$ $x$ $x(t_{0})=x_{0}$ ${\displaystyle J^{+))$ ${\displaystyle t\in J^{+))$ $\|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon$

Szimbolikusan így van írva:

\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0} -\varphi (t_{0})\|<\delta \Jobbra \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\ |<\varepszilon .

Az (1) rendszer zavartalan megoldását instabilnak nevezzük, ha nem Ljapunov-stabil, azaz. $\varphi (t)$

\exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\ |<\delta ,\exists t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepszilon .

Egyenletes stabilitás

Az (1) rendszer zavartalan megoldását Ljapunov értelmében egyenletesen stabilnak nevezzük, ha az előző definíció szerint csak attól függ : $\varphi (t)$ $\delta$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_ {0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepszilon .

Aszimptotikus stabilitás

Az (1) rendszer zavartalan megoldását aszimptotikusan stabilnak nevezzük, ha Ljapunov-féle stabil és vonzó, azaz a feltétel teljesül minden olyan megoldásra , amelynek kezdeti adata van, és amelyre az egyenlőtlenség bizonyos . $\varphi (t)$ $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$ $x(t)$ $x_{0}$ ${\displaystyle ||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0))$ ${\displaystyle \delta _{0))$

Az aszimptotikus stabilitásnak vannak bizonyos fajtái [2] . Az (1) rendszer zavartalan megoldását nevezzük: $\varphi (t)$

equiasymptoically stabil, ha stabil és egyenlő vonzó ( nem függ a -tól ). $x(t)$ $x_{0}$
egyenletesen aszimptotikusan stabil, ha egyenletesen stabil és egyenletesen vonz ( nem függ és -től ). $x(t)$ $t_0$ $x_{0}$
globálisan aszimptotikusan stabil, ha stabil és globálisan vonzó (nincs megkötés a -ra ). $x_{0}$
egységesen aszimptotikusan stabil egészként, ha egyenletesen stabil és egységesen és globálisan vonzó.

Megjegyzés

A triviális megoldás a rendszer zavartalan megoldásának tekinthető , ami egyszerűbbé teszi a stabilitási feltételeket. Ehhez szükség van egy változó változtatás bevezetésére és a rendszer átgondolására $x(t)\equiv 0$ $y=x-\varphi$

{\pont {y}}=g(t,y),

ahol $g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$

Jegyzetek

↑ 1 2 Afanasiev et al., 2003 , p. 9.
↑ Rush et al., 1980 , p. 19.

Irodalom

Bellman, R. Differenciálegyenletek megoldásainak stabilitáselmélete. -M .:Külföldi Irodalmi Kiadó, 1954. (Orosz)
Chetaev, N. G. A mozgás stabilitása. - 4. kiadás, Rev. -M .:Nauka, 1990. - 176 p. —ISBN 5-02-014018-X. (Orosz)
Krasovsky, N. N. A mozgásstabilitás elméletének néhány problémája. —M.:Fizmatgiz, 1959. (Orosz)
Malkin IG A mozgásstabilitás elmélete. - 2. kiadás, Rev. -M .:Nauka, 1966. (Orosz)
Demidovich, B. P. Előadások a stabilitás matematikai elméletéről. —M.:Nauka, 1967. — 472 p. (Orosz)
Afanasiev VN , Kolmanovsky VB , Nosov VR A vezérlőrendszerek tervezésének matematikai elmélete. - 3. kiadás, Rev. és további .. - M . : Felsőiskola , 2003. - 614 p. — ISBN 5-06-004162-X . (Orosz)
Filippov, A. F. Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe. - Szerk. 2. - Szerkesztői URSS, 2007. - 240 p. —ISBN 978-5-484-00786-8.
Rush, N. , Abets, P. , Lalua, M. Közvetlen Ljapunov-módszer a stabilitáselméletben. - M .: Mir , 1980.