Gauss-módszer (numerikus integráció)

A Gauss -módszer egy numerikus integrációs módszer , amely lehetővé teszi az interpolációs képleteken alapuló módszerek pontosságának algebrai sorrendjének növelését az integrációs csomópontok speciális megválasztásával anélkül, hogy növelné a használt integrandus értékeinek számát. A Gauss-módszer lehetővé teszi a maximális algebrai pontosság elérését adott számú integrációs csomópont esetén.

Például két csomóponthoz kaphat egy 3. sorrendű pontossági módszert

I\approx {\frac {ba}{2}}\left(f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {ba}{2{\sqrt {3} ))}\right)+f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {ba}{2{\sqrt {3}}}}\right)\right)\,

míg a módszer egyenlő távolságú csomópontjainál a 2. rend felett lehetetlen megszerezni. Általánosságban elmondható, hogy pontok felhasználásával egy módszert kaphatunk, amelynek pontossága . A Gauss-módszer pontonkénti csomópontértékei a Legendre fokpolinom gyökerei . A súlyértékeket a képlet számítja ki , ahol a Legendre-polinom első deriváltja . $n$ $2n-1$ $n$ $n$ ${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\,[P_{n}'(x_{i})]^{2))))$ $P_{n}'$

A csomópontokhoz és a súlyokhoz a következő értékek vannak: , súlyok : . $n=3$ $x_{1,3}=\pm {\sqrt {0.6)),x_{2}=0$ $a_{1,3}={\frac {5}{9)),a_{2}={\frac {8}{9}}$

(A polinom a szegmensen van definiálva ). $[-1,1]$

A legismertebb a Gauss-féle ötpontos módszer.

Gauss-Kronrod módszer

A Gauss-módszer hátránya, hogy nincs egyszerű (számítási szempontból) módja az integrál kapott értékének hibájának becslésére. A Runge szabály alkalmazása az integrációs szegmens felosztásánál megköveteli, hogy az integrandust megközelítőleg ugyanannyi ponton számítsuk ki, miközben szinte semmilyen pontossági emelkedést nem adunk, ellentétben az egyszerű módszerekkel, ahol a pontosság minden újabb felosztással többszörösére nő. Kronrod a következő módszert javasolta az integrál értékének becslésére

I\approx \sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}\,f(x_{i})+\sum _{{i=1}}^{{n+1} }b_{i}\,f(y_{i})

ahol a Gauss-módszer csomópontjai pontonként vannak, és a , , paramétereket úgy választjuk meg, hogy a módszer pontossági sorrendje egyenlő legyen . Ezután a hiba becsléséhez használhatja az empirikus képletet : $x_{i}$ $n$ $3n+2$ $a_{i}$ $kettős}$ $y_{i}$ $3n+1$

\Delta =\left(200|I-I_{G}|\right)^{{1.5}}

ahol a Gauss-módszerrel kapott integrál közelítő értéke a pontokon. A gsl és SLATEC függvénytárak a határozott integrálok számítására a Gauss-Kronrod módszerrel 15, 21, 31, 41, 51 és 61 ponthoz tartozó rutinokat tartalmaznak. $én_{G}$ $n$

Lásd még

Irodalom

Boltachev G.Sh. Numerikus módszerek a hőfizikában. Előadás 3. előadás: Numerikus integráció

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái