Mátrix kvantummechanika

A mátrix kvantummechanika ( mátrixmechanika ) a kvantummechanika Werner Heisenberg , Max Born és Pascual Jordan által 1925-ben megalkotott megfogalmazása. A mátrix kvantummechanika volt a kvantummechanika első fogalmilag autonóm és logikailag konzisztens megfogalmazása. A kvantumugrások leírása felváltotta az elektronpályák Bohr-modelljét . Ez úgy történt, hogy a részecskék fizikai tulajdonságait idővel fejlődő mátrixokként értelmezték. A mátrixmechanika ekvivalens a kvantummechanika Schrödinger-féle hullámformulációjával [1] , ahogyan ez Dirac bra és ket jelölésében is megjelenik .

A hullámformulációval ellentétben a mátrixmechanikában az operátorok spektrumait (főleg az energetikaiakat) a létraoperátorok tisztán algebrai módszereivel kapják [ 2] . Ezen módszerek alapján Wolfgang Pauli 1926-ban megkapta a hidrogénatom spektrumát [3] a hullámmechanika kifejlődése előtt.

Mátrixmechanika fejlesztése

1925-ben Werner Heisenberg , Max Born és Pascual Jordan megalkotta a mátrix kvantummechanikát [4] .

Keletkezési szakasz Helgolandban

1925-ben Werner Heisenberg Göttingenben dolgozott a hidrogén spektrumvonalainak kiszámításán . 1925 májusában megpróbálta leírni az atomi rendszereket csak a megfigyelhető szempontok szerint . Június 7-én, hogy elkerülje az akut szénanátha következményeit , Heisenberg az Északi-tengeren található Helgoland pollenmentes szigetére indult . Miközben ott volt, Goethe nyugati-keleti dívájának mászása és verseinek memorizálása között tovább spekulált a spektrális problémán, és végül rájött, hogy a nem ingázó megfigyelések feltételezése megoldhatja a problémát. Később ezt írta:

Hajnali három felé járt az idő, amikor megjelent előttem a számítás végeredménye. Először mélyen megdöbbentem. Annyira izgatott voltam, hogy eszembe sem jutott az alvás. Így hát elhagytam a házat, és a szikla tetején vártam a napfelkeltét [5] .

Három alapvető cikk

Miután Heisenberg visszatért Göttingenbe, bemutatta Wolfgang Paulinak számításait, és egyszer megjegyezte:

Számomra ez még homályos és homályos, de úgy tűnik, hogy az elektronok többé nem fognak keringeni [6] .

Július 9-én Heisenberg átadta ugyanazt a papírt a számításaival Max Bornnak, kijelentve, hogy "őrült dolgozatot írt, és nem merte közzétenni, és Bornnak el kell olvasnia, és tanácsot kell adnia neki" megjelenés előtt. Heisenberg ezután rövid időre távozott, és Bornra bízta a dolgozat elemzését [7] .

A cikkben Heisenberg kvantumelméletet fogalmazott meg tiszta elektronpályák nélkül. Hendrik Kramers korábban kiszámította a spektrumvonalak relatív intenzitását a Sommerfeld-modellben , és a pályák Fourier-együtthatóit intenzitásként értelmezte. De válasza, mint a régi kvantumelmélet minden más számítása , csak nagy pályákra volt igaz .

Heisenberg Kramers-szel [8] együttműködve kezdett ráébredni, hogy az átmeneti valószínűségek nem teljesen klasszikus mennyiségek, mivel a Fourier-soroknak csak a kvantumugrások során megfigyelt frekvenciákat kell tartalmazniuk, és nem azokat a kitaláltakat, amelyek az egzakt Fourier-elemzésből származnak. klasszikus pályák. A klasszikus Fourier-sort egy együtthatómátrixszal, a Fourier-sorozat fuzzy kvantumanalógjával cserélte fel. Klasszikusan a Fourier-együtthatók adják meg a kibocsátott sugárzás intenzitását , így a kvantummechanikában a koordináta operátor mátrixelemeinek nagysága a fényes vonalak spektrumában lévő sugárzás intenzitása volt. Heisenberg megfogalmazásában a mennyiségek a klasszikus koordináták és impulzusok voltak, de most már nem voltak pontosan meghatározottak. Minden értéket a Fourier-együttható halmaza reprezentált, két indextel, amelyek megfeleltek a kezdeti és a végső állapotnak [9] .

Amikor Born elolvasta a cikket, rájött, hogy a megfogalmazás megfejthető és kiterjeszthető a mátrixok szisztematikus nyelvére [10] , amelyet Jacob Rosanes [11] vezetésével tanult a Breslaui Egyetemen . Born asszisztense, volt tanítványa, Pascual Jordan segítségével azonnal elkezdte elemezni, bővíteni, eredményeiket publikálásra küldték be; a lapot csak 60 nappal Heisenberg [12] dolgozata után kapták meg kiadásra .

Az év vége előtt mindhárom szerző benyújtott egy nyomon követési tanulmányt publikálásra [13] (Born szerepének rövid áttekintése a mátrixmechanika fejlesztésében, valamint a valószínűségi amplitúdók nem kommutativitását magában foglaló kulcsképlet megvitatása , megtalálható Jeremy Bernstein cikkében [14] . Részletes történeti és technikai jelentés található Mehra and Rechenberg Historical Development of Quantum Theory, 3. kötetében. A mátrixmechanika és annak módosításai 1925-1926 [15] )

Három alapvető cikk:

W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (beérkezett: 1925. július 29.). [Angol fordítás itt: BL van der Waerden, szerkesztő, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (angol cím: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations ).]
M. Born és P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (beérkezett: 1925. szeptember 27.). [Angol fordítás itt: BL van der Waerden, szerkesztő, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (angol cím: On Quantum Mechanics ).]
M. Born, W. Heisenberg és P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1926 (beérkezett: 1925. november 16.). [Angol fordítás itt: BL van der Waerden, szerkesztő, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (angol cím: On Quantum Mechanics II ).]

Addig a fizikusok ritkán használtak mátrixokat; a tiszta matematika birodalmába tartozónak tartották őket. Gustav Mie 1912-ben egy elektrodinamikai tanulmányában, Born pedig 1921-ben a kristályrácsok elméletével foglalkozó munkájában használta fel őket. Bár ezekben az esetekben mátrixokat használtak, a mátrixok algebrája a szorzásukkal nem került be a képbe, mint a kvantummechanika mátrixalkotásánál [16] .

Born azonban megtanulta a mátrixalgebrát Rosanestól, amint azt megjegyeztük, de Born megtanulta Hilbert integrálegyenletek és másodfokú formák elméletét is végtelen számú változó esetén, amint az Bornnak Hilbert Grundzüge einer allgemeinen Theorie der című művéből származó idézetéből is kitűnik. 1912-ben megjelent Linearen Integralgleichungen [17] [18] .

Jordan is jól felkészült erre a feladatra. Éveken át Richard Courant asszisztense volt Göttingenben az 1924-ben megjelent Courant és David Hilbert Methods of Mathematical Physics I című művének [19] előkészítése során . kvantummechanika.

1926-ban John von Neumann lett David Hilbert asszisztense, és megalkotta a Hilbert-tér kifejezést a kvantummechanika fejlesztésében használt algebra és elemzés leírására [20] [21] .

Ehhez a megfogalmazáshoz 1925-ben Dirac járult hozzá az újraértelmezésről/szintézisről szóló tanulmányában [22] , amely feltalálta a ma általánosan használt nyelvet és szerkezetet, teljes mértékben demonstrálva az egész konstrukció nem kommutatív szerkezetét.

Heisenberg érvelése

A mátrixmechanika megjelenése előtt a régi kvantumelmélet egy klasszikus pálya mentén jól meghatározott helyzetű és impulzusú részecskék mozgását írta le X ( t ), P ( t ) azzal a megszorítással, hogy az integrál egy T periódus alatt. impulzus szor sebességének egész számnak kell lennie, a Planck -állandó pozitív többszörösének

\int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{0}^{T}P\;dX=nh

Bár ez a megszorítás helyesen választ ki többé-kevésbé helyes En energiaértékkel rendelkező pályákat , a régi kvantummechanikai formalizmus nem ír le olyan időfüggő folyamatokat, mint a sugárzás kibocsátása vagy elnyelése.

Ha egy klasszikus részecske gyengén kapcsolódik a sugárzási mezőhöz, így a sugárzási csillapítás elhanyagolható, akkor olyan mintázatban sugárzik, amely minden forgási periódusban ismétlődik . A kibocsátott hullámot alkotó frekvenciák ekkor az orbitális frekvencia többszörösei, és ez azt tükrözi, hogy X ( t ) periodikus, így Fourier-reprezentációja csak 2π n/T frekvenciákkal rendelkezik.

{\displaystyle X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n))

X n együtthatói komplex számok . A negatív frekvenciájúaknak pozitív frekvenciájú mennyiségek összetett konjugáltjainak kell lenniük , így X ( t ) mindig valós lesz,

X_{n}=X_{-n}^{*}

Másrészt egy kvantummechanikai részecske nem tud folyamatosan sugározni, csak fotonokat tud kibocsátani. Feltételezve, hogy a kvantumrészecske az n számú pályán indult , egy fotont bocsátott ki, majd az m számú pályára került , azt találjuk, hogy a foton energiája egyenlő az E n − E m energiaszint különbséggel , ami azt jelenti, hogy frekvenciája egyenlő ig ( E n − E m )/ h .

Nagy n és m számok esetén , de viszonylag kicsi n − m esetén ezek klasszikus frekvenciák a Bohr - megfelelési elv szerint

E_{n}-E_{m}\approx h(nm)/T

A fenti képletben T n vagy m klasszikus periódusa , mivel a különbség h -ban magasabb rendű . De kis n és m vagy nagy n − m esetén a frekvenciák nem egyetlen frekvencia egész számú többszörösei.

Mivel a részecske által kibocsátott frekvenciák megegyeznek a mozgásának Fourier-leírásában szereplő frekvenciákkal, a részecske időfüggő leírásában valami megváltozik az ( E n − E m )/ h frekvenciával . Heisenberg ezt a mennyiséget X nm -nek nevezte , és azt követelte, hogy a klasszikus határértékben redukálják a klasszikus Fourier-együtthatókra . Nagy n , m értékek esetén, de viszonylag kis n − m esetén X nm az ( n − m ) -edik Fourier-együttható a klasszikus mozgás n pályán . Mivel X nm frekvenciája ellentétes X mn -nel , az X valós feltétele a formát ölti

X_{nm}=X_{mn}^{*}

Definíció szerint X nm -nek csak frekvenciája ( E n − E m )/ h van, tehát időbeli alakulása egyszerű:

X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)

Ez a Heisenberg-féle mozgásegyenlet eredeti formája.

Adott két mátrix , X nm és P nm , amelyek két fizikai mennyiséget írnak le, Heisenberg egy új, azonos típusú mátrixot alkothat az X nk P km kifejezések kombinálásával , amelyek szintén a kívánt frekvencián oszcillálnak. Mivel két mennyiség szorzatának Fourier-együtthatói külön-külön mindegyik Fourier-együtthatójának konvolúciói , a Fourier-sornak való megfelelés lehetővé tette Heisenbergnek, hogy levezetett egy szabályt, amellyel a mátrixok szorzatát ki kell számítani.

{\displaystyle (XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn))

Born rámutatott, hogy ez a mátrixszorzás törvénye , tehát a pozíciót, lendületet, energiát, az elméletben minden megfigyelhető mennyiséget mátrixként értelmezünk. E szabály szerint a szorzat a mátrixok sorrendjétől függ: az XP különbözik a PX -től .

Az X mátrix egy kvantummechanikai részecske mozgásának teljes leírása. Mivel a kvantummozgásban előforduló frekvenciák nem többszörösei a közös frekvenciának, a mátrixelemek nem értelmezhetők egy egzakt klasszikus pálya Fourier-együtthatójaként . Mindazonáltal az X ( t ) és a P ( t ) mátrixok is kielégítik a klasszikus mozgásegyenleteket; lásd még Ehrenfest tételét alább.

A mátrixok alapvető tulajdonságai

Amikor Werner Heisenberg, Max Born és Pascual Jordan 1925-ben bevezette a mátrixmechanikát, azt nem fogadták el azonnal, és kezdetben ellentmondásos volt. Schrödinger későbbi leírása a hullámmechanikáról több támogatást kapott.

Ennek részben az volt az oka, hogy Heisenberg megfogalmazása akkoriban furcsa matematikai nyelven szólt, míg Schrödingeré az ismert hullámegyenleteken alapult. De volt egy mélyebb szociológiai oka is. A kvantummechanika kétféleképpen fejlődött: az egyiket Einstein vezette, aki a fotonokra javasolt hullám-részecske kettősséget hangsúlyozta, a másikat pedig Bohr, aki a Bohr által felfedezett diszkrét energiaállapotokat és kvantumugrásokat hangsúlyozta. De Broglie Einstein elméletében a diszkrét energiaállapotokat reprodukálta – a kvantumállapot az állóhullám állapota, és ez reményt adott az Einstein-iskola támogatóinak, hogy a kvantummechanika minden diszkrét aspektusa bekerüljön a folytonos hullámmechanikába.

Másrészt a mátrixmechanika a diszkrét energiaállapotok és kvantumugrások Bohr-iskolájából alakult ki. Bohr követői nem értékelték azokat a fizikai modelleket, amelyek az elektronokat hullámként vagy bármi másként ábrázolták. Inkább a kísérletekhez közvetlenül kapcsolódó mennyiségekre összpontosítottak.

Az atomfizikában a spektroszkópia megfigyelési adatokat szolgáltatott olyan atomi átmenetekről, amelyek akkor következnek be, amikor az atomok kölcsönhatásba lépnek a fénykvantumokkal . Bohr követői azt követelték, hogy csak azok a mennyiségek jelenjenek meg az elméletben, amelyek elvileg spektroszkópiával mérhetők. Ezek a mennyiségek tartalmazzák a spektrumvonalak energiaszintjét és intenzitását, de nem tartalmazzák a részecske pontos helyzetét a Bohr-pályán. Nagyon nehéz elképzelni egy olyan kísérletet, amely meghatározná, hogy a hidrogénatom alapállapotában lévő elektron az atommagtól jobbra vagy balra van-e. Mély meggyőződés volt, hogy az ilyen kérdésekre nincs válasz.

A mátrixformálás arra az előfeltevésre épült, hogy minden fizikai megfigyelhetőt olyan mátrixok képviselnek, amelyek elemeit két különböző energiaszint indexeli. Végül a mátrix sajátértékeinek halmazát a megfigyelhető összes lehetséges érték halmazaként értelmezték. Mivel a Heisenberg-mátrixok hermitikusak , a sajátértékek valósak.

A megfigyelhető mérésénél az eredmény egy bizonyos sajátérték, amely megfelel a rendszer állapotát reprezentáló sajátvektornak közvetlenül a mérés után. A mérési aktus a mátrixmechanikában "összeomolja" a rendszer állapotát. Ha két megfigyelhetőt mérünk egyszerre, akkor a rendszer állapota a két megfigyelhető közös sajátvektorává omlik össze. Mivel a legtöbb mátrixnak nincs közös sajátvektora, a legtöbb megfigyelhetőt soha nem lehet egyszerre pontosan mérni. Ez a bizonytalanság elve .

Ha két mátrixnak közös sajátvektora van, akkor egyidejűleg diagonalizálhatók. Abban az alapban, ahol mindkettő átlós, a szorzatuk nem függ a sorrendjüktől, mivel az átlós mátrixok szorzása egyszerűen a számok szorzása. A bizonytalansági elv ezzel szemben annak a ténynek a kifejeződése, hogy gyakran két A és B mátrix nem mindig ingázik, azaz AB − BA nem feltétlenül egyenlő 0-val. A mátrixmechanika alapvető kommutációs relációja,

{\displaystyle \sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})={ih \over 2\pi }~\delta _{nm))

azt jelenti, hogy nincsenek olyan állapotok, amelyek egyszerre rendelkeznének bizonyos pozícióval és lendülettel .

Ez a bizonytalansági elv sok más megfigyelhető párra is érvényes. Például az energia sem ingázik a koordinátával, így lehetetlen pontosan meghatározni egy elektron helyzetét és energiáját egy atomban.

Nobel-díj

1928-ban Albert Einstein Heisenberget, Bornt és Jordant jelölte a fizikai Nobel-díjra [23] . Az 1932-es fizikai Nobel-díj kihirdetését 1933 novemberére halasztották [24] . Ekkor jelentették be, hogy Heisenberg 1932-ben megkapta a díjat "a kvantummechanika megalkotásáért, amelynek alkalmazása többek között a hidrogén allotróp formáinak felfedezéséhez vezetett" [25] , valamint Erwin Schrödinger és Paul Adrien Maurice Dirac megosztotta az 1933-as díjat "az atomelmélet új produktív formáinak felfedezéséért" [25] .

Felmerülhet a kérdés, hogy Born miért nem kapta meg a díjat 1932-ben Heisenberggel együtt, és Bernstein erről spekulál. Az egyik arra vonatkozik, hogy Jordánia 1933. május 1-jén csatlakozott a náci párthoz , és rohamosztagos lett [26] . Jordan pártállása és Jordan Bourne-hoz fűződő kapcsolatai valószínűleg befolyásolhatták Bourne esélyeit a díj elnyerésére abban az időben. Bernstein megjegyzi továbbá, hogy amikor Born végül megkapta a díjat 1954-ben, Jordan még élt, és a díjat a kvantummechanika statisztikai értelmezésére ítélték oda, amelyet csak Bornnak tulajdonítottak [27] .

Heisenberg közleménye a Born of Heisenberg 1932-es díjával kapcsolatban, és hogy Born 1954-ben kapta meg a díjat, szintén tanulságos annak megítélésében, hogy Bornnak meg kell-e osztania a díjat Heisenberggel. 1933. november 25-én Born levelet kapott Heisenbergtől, amelyben azt mondta, hogy „rossz lelkiismerete” miatt késik a levéllel, mert egyedül ő kapta meg a díjat „az együttműködésben Göttingenben végzett munkáért – Ön, Jordan és ÉN." Heisenberg azt mondta, hogy Born és Jordan kvantummechanikához való hozzájárulása nem változtatható meg „kívülről hozott rossz döntéssel” [28] .

1954-ben Heisenberg írt egy cikket Max Plancknak az 1900-as belátásáról. Az újságban Heisenberg Bornnak és Jordannek tulajdonította a mátrixmechanika végső matematikai megfogalmazását, majd Heisenberg hangsúlyozta, hogy milyen nagy hozzájárulásuk van a kvantummechanikához, amely "nem kapott kellő elismerést a közvélemény szemében" [29]. .

Matematikai fejlesztés

Miután Heisenberg bevezette X és P mátrixait, speciális esetekben találgatással, a megfeleltetési elv alapján találta meg mátrixelemeiket . Mivel a mátrixelemek a klasszikus pályák Fourier-együtthatóinak kvantummechanikai megfelelői, a legegyszerűbb eset a harmonikus oszcillátor , ahol a klasszikus koordináta és impulzus X ( t ) és P ( t ) szinuszos.

Harmonikus oszcillátor

Azokban a mértékegységekben, ahol az oszcillátor tömege és frekvenciája eggyel egyenlő (lásd nem-dimenzionálás ), az oszcillátor energiája [30]

H={1 \over 2}(P^{2}+X^{2})~.

A H szintkészlet az óramutató járásával megegyező pályák, és ezek egymásba ágyazott körök a fázistérben. Az E energiájú klasszikus pálya az

X(t)={\sqrt {2E}}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}}\sin(t)~.

A régi kvantumelmélet azt diktálja, hogy a P dX integráljának a pálya felett, amely egy kör területe a fázistérben, a Planck -állandó egész számú többszörösének kell lennie . A √ 2 E sugarú kör területe 2 πE . Szóval energia

E={nh \over 2\pi }~,

természetes mértékegységben megadva , ahol ħ = 1 egész szám.

X ( t ) és P ( t ) Fourier komponensei leegyszerűsödnek, még inkább, ha mennyiségekké egyesítjük

A(t)=X(t)+iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{-it},\quad A^{\dagger }(t)=X(t) -iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{it}

Mindkét A és A † mennyiségnek csak egy frekvenciája van, és X és P rekonstruálható az összegükből és a különbségükből.

Mivel A ( t ) csak a legalacsonyabb frekvenciájú klasszikus Fourier-sorral rendelkezik, és az A mn mátrixelem a klasszikus pálya ( m − n ) -edik Fourier-együtthatója, A mátrix csak az átló feletti helyeken nem nulla, ahol a √2 E n értékeket veszi fel . Az A † mátrixa szintén nem nulla, csak az átló alatti pozíciókban azonos bejegyzésekkel.

Így A és A † -ből lehet kifejezéseket írni a koordinátára

{\sqrt {2}}X(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1}}&0&{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3} }&0&{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmátrix)),

és lendület

{\sqrt {2}}P(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1}}&0&0&0& \cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {3}}&0&\cdots \\ 0&0&i{\sqrt {3}}&0&-i{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmátrix)),

amelyek egy tényezőig a harmonikus oszcillátor Heisenberg-mátrixai. Mindkét mátrix hermitikus , mivel a valós értékek Fourier-együtthatóiból épül fel.

X ( t ) és P ( t ) időfüggésének keresése leegyszerűsödik, mivel ezek kvantum Fourier-együtthatók, így időbeli alakulásukat a kifejezések írják le.

X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn} (0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.

Az X és P mátrixok szorzata nem hermitikus mátrix, hanem valós és képzeletbeli részei vannak. A valós rész az XP + PX szimmetrikus kifejezés fele, a képzetes rész pedig arányos a kommutátorral

[X,P]=(XP-PX)

Közvetlen helyettesítéssel igazolható, hogy XP − PX harmonikus oszcillátor esetén egyenlő iħ szorozva eggyel .

Hasonlóképpen könnyen ellenőrizhető, hogy a mátrix

H={1 \over 2}(X^{2}+P^{2})

átlós sajátértékekkel E i . _

Energiatakarékosság

A harmonikus oszcillátor kvantumleírása fontos gyakorlati példa. Könnyebb mátrixokat találni, mint ezeknek a speciális formáknak az általános feltételeit meghatározni. Emiatt Heisenberg megvizsgálta az anharmonikus oszcillátort a Hamilton -rendszerrel

H={1 \over 2}P^{2}+{1 \over 2}X^{2}+\epsilon X^{3}~.

Ebben az esetben X és P már nem egyszerű átlón kívüli mátrixok, mivel a megfelelő klasszikus pályákat kissé összenyomják és eltolják, így minden klasszikus frekvencián Fourier-együtthatójuk van. A mátrixelemek meghatározásához Heisenberg megkövetelte, hogy a klasszikus mozgásegyenletek engedelmeskedjenek a mátrixegyenleteknek:

{dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\epsilon X^{2}~.

Észrevette, hogy ha ezt meg lehet tenni, akkor az X és P mátrixfüggvényének tekintett H - nak nulla időbeli deriváltja lenne.

{dH \over dt}=P*{dP \over dt}+(X+3\epsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,

ahol A∗B az antikommutátor ,

A*B={1 \over 2}(AB+BA)~

Tekintettel arra, hogy minden nem átlós elemnek nullától eltérő frekvenciája van; a H konstans azt jelenti, hogy H átlós. Heisenberg rájött, hogy ebben a rendszerben az energia pontosan megőrizhető egy tetszőleges kvantumrendszerben, ami nagyon biztató jel volt.

Úgy tűnt, hogy a fotonok kibocsátásának és abszorpciójának folyamata megköveteli, hogy az energiamegmaradás törvénye a legjobb esetben is átlagosan működjön. Ha egy pontosan egy fotont tartalmazó hullám több atomon halad át, és az egyik elnyeli azt, akkor ennek az atomnak közölnie kell a többiekkel, hogy már nem tudják elnyelni a fotont. De ha az atomok távol vannak egymástól, semmilyen jel nem tud időben eljutni a többi atomhoz, és úgyis elnyelhetik ugyanazt a fotont, és energiát oszlathatnak a környezetbe. Amikor a jel eléri őket, a többi atomnak valahogy vissza kell adnia ezt az energiát . Ez a paradoxon arra késztette Bohrt, Kramerst és Slatert, hogy felhagyjanak az energia pontos megőrzésével. Heisenberg formalizmusa, kiterjesztve az elektromágneses mezőre, egyértelműen ezt a problémát kívánta megkerülni, utalva arra, hogy az elmélet értelmezése magában foglalja a hullámfüggvény összeomlását is .

Differenciálási trükk – kanonikus kommutációs relációk

A klasszikus mozgásegyenletek megőrzésének követelménye nem elég erős feltétele a mátrixelemek meghatározásának. Mivel a Planck-konstans nem szerepel a klasszikus egyenletekben, mátrixok szerkeszthetők sok különböző ħ értékre, és még mindig kielégítik a mozgásegyenleteket, de eltérő energiaszintekkel.

Tehát a program megvalósításához Heisenbergnek a régi kvantumfeltételt kellett használnia az energiaszintek rögzítésére, majd a mátrixokat a klasszikus egyenletek Fourier-együtthatóival kellett kitöltenie, majd a mátrixegyütthatókat és az energiaszinteket kissé módosítania, hogy megbizonyosodjon a klasszikus egyenletek érvényesüléséről. tart. Ez a megközelítés nem megfelelő, mivel a régi kvantumfeltételek olyan egzakt klasszikus pályák által határolt régióra vonatkoznak, amely az új formalizmusban nem szerepel.

A legfontosabb az, hogy Heisenberg felfedezett egy módot, amellyel a régi kvantumfeltételt a mátrixmechanika egyszerű megállapításává fordíthatja.

Ehhez a cselekvési integrált mátrixmennyiségként tanulmányozta,

\int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} \over dt}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\ kb }}\,\,J_{mn}~.

Számos probléma van ezzel az integrállal, amelyek mindegyike abból fakad, hogy a mátrix formalizmus nem kompatibilis a pályák régi képével. Milyen T időszakot kell használni? Félklasszikusan ennek vagy m vagy n értékűnek kell lennie , de a különbség ħ sorrendben egyezik , és a választ ugyanabban a pontossági sorrendben keresi a ħ . A kvantumfeltétel azt mondja nekünk, hogy J mn átlósan 2π n , tehát az a tény, hogy J klasszikusan állandó, azt mondja, hogy az átlón kívüli elemek nullák.

Döntő felfedezése az volt, hogy megkülönböztesse a kvantumállapotot n -hez képest . Ennek az elképzelésnek csak a klasszikus határértékben van értelme, ahol n nem egész szám, hanem J folytonos cselekvési változó , de Heisenberg hasonló manipulációkat végzett mátrixokkal, ahol a köztes kifejezések hol diszkrét különbségek, hol deriváltak.

A következőkben az áttekinthetőség kedvéért a klasszikus változók tekintetében differenciálást végzünk, majd ezt követően a mátrixmechanikára való átállást a megfeleltetési elv alapján.

Klasszikus beállításban a derivált a J -t definiáló integrál J -hez viszonyított teljes deriváltja , tehát pontosan 1.

{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1

=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}+P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right)\,

ahol a dP/dJ és dX/dJ derivált J -beli különbségekként kell értelmezni a megfelelő időpontokban közeli pályán, amit a pályamozgás Fourier-együtthatóinak differenciálásával kaphatunk. (Ezek a deriváltok szimplektikusan ortogonálisak fázistérben a dP/dt és dX/dt időderiváltákra ).

A végső kifejezést úgy finomítjuk, hogy bevezetünk egy J - hez kanonikusan konjugált változót , amelyet θ szögváltozónak neveznek : Az időderivált a θ - hoz viszonyított derivált 2π T tényezőig ,

{2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dp \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1\,.

Így a feltétel kvantumintegrálja az X és P Poisson-zárójel egy ciklusának átlaga .

A PdX függvény Fourier-sorának hasonló megkülönböztetése azt mutatja, hogy a Poisson-zárójel minden átlón kívüli eleme egyenlő nullával. Két kanonikusan konjugált változó, például X és P Poisson zárójelének állandó értéke 1, tehát ez az integrál valóban 1 átlaga; tehát 1-es, ahogy eddig is tudtuk, mert végül is dJ/dJ. De Heisenberg, Born és Jordan, ellentétben Diraccal, nem ismerte a Poisson zárójelek elméletét, így számukra a differenciálás hatékonyan értékelte az { X, P } koordinátákat J, θ.

A Poisson zárójel, az akcióintegrállal ellentétben, könnyen átfordítható mátrixmechanikává – általában két változó szorzatának képzeletbeli részének, a kommutátornak felel meg .

Ennek belátásához meg kell vizsgálni két A és B mátrix (antiszimmetrikus) szorzatát az illesztési határban, ahol a mátrixelemek az index lassan változó függvényei, szem előtt tartva, hogy a klasszikus esetben a válasz nulla.

A megfelelési határban, amikor az m , n indexek nagyok és közeliek, és k , r kicsik, a mátrixelemek átlós irányú változási sebessége a megfelelő klasszikus mennyiség J -deriváltjának mátrixeleme. Így a mátrix bármely eleme átlósan eltolható a megfeleltetés segítségével,

A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({dA \over dJ}\right)_{mn}\,

ahol a jobb oldal valójában csak a dA/dJ ( m - n )-edik Fourier-komponense egy m -hez közeli pályán e félklasszikus sorrendig, és nem egy teljes, jól definiált mátrix.

A mátrixelem félklasszikus időderiváltját egy i tényezőig úgy kapjuk meg, hogy megszorozzuk az átlótól való távolsággal,

ikA_{m(m+k)}\approx \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\left({dA \ d\theta }\jobbra)_{m(m+k)}\,.

mivel az A m(m+k) együttható félklasszikusan az m -edik klasszikus pálya k' -edik Fourier-együtthatója .

Az A és B szorzatának képzeletbeli része megbecsülhető a mátrixelemek oly módon történő eltolásával, hogy reprodukálja a klasszikus választ, amely nulla.

Ekkor a vezető nem nulla maradékot teljes mértékben az eltolódás határozza meg. Mivel az összes mátrixelem olyan indexeken van, amelyek rövid távolságra vannak a nagy index ( m, m ) pozíciójától, célszerű két ideiglenes jelölést bevezetni: A [ r,k ] = A (m+r)(m+ k) mátrixokra és ( dA/dJ )[ r ] a klasszikus mennyiségek r-edik Fourier-komponensére,

(AB-BA)[0,k]=\összeg _{r=-\infty }^{\infty }\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k ]B[0,r]\jobbra)

=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(rk){dA \over dJ}[r]\;\right)\left(\;B[0 ,kr]+r{dB \over dJ}[rk]\;\jobbra)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.

Ha az első összegben lévő összegző változót r -ről r' = k - r -re változtatjuk , a mátrixelem lesz,

\sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[kr']\;)\left(\;B[0,r']+( kr'){dB \over dJ}[r']\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,

és ez azt mutatja, hogy a fő (klasszikus) rész redukálódik.

A legmagasabb kvantumrész, ha a maradékban elhanyagoljuk a magasabb rendű származékok szorzatát, akkor

\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r'](kr')A[r',k]-{dA \over dJ}[kr']r'B [0,r']\jobbra)

így a végén

(AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over d\theta }[kr']- {dA \over dJ}[kr']i{dB \over d\theta [r']\jobbra)\,

amelyet a Poisson-zárójel k-edik klasszikus Fourier- komponensével szorozva azonosíthatunk .

Heisenberg eredeti trükkjét a megkülönböztetéssel végül kiterjesztették a kvantumfeltétel teljes félklasszikus származtatására Born és Jordan közreműködésével. Miután ezt sikerült megállapítaniuk

{\frac {ih}{2\pi }}\{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \qquad \longmapsto \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX ={\frac {ih}{2\pi }}\,

ez a feltétel felváltotta és kiterjesztette a régi kvantálási szabályt, lehetővé téve a P és X mátrixelemek meghatározását egy tetszőleges rendszerben egyszerűen a Hamilton-féle alak alapján.

Az új kvantálási szabályt általánosan igaznak feltételezték , bár a régi kvantumelméletből való levezetés félklasszikus érvelést igényel. (A bonyolultabb zárójeles argumentumok teljes kvantumkezelését azonban az 1940-es években a Poisson zárójelek Moyale zárójelekre való kiterjesztéseként értékelték .)

Állapotvektorok és a Heisenberg-egyenlet

A standard kvantummechanikára való átállás érdekében a legfontosabb további kiegészítés a kvantumállapotvektor volt , amelyet most | ψ ⟩ egy vektor, amelyre mátrixok hatnak. Állapotvektor nélkül nem világos, hogy a Heisenberg-mátrixok pontosan milyen mozgást írnak le, mivel valahol minden mozgást tartalmaznak.

Az állapotvektor értelmezését, amelynek komponenseit ψ m -ként írjuk fel , Born adta meg. Ez az értelmezés statisztikai jellegű: az A mátrixnak megfelelő fizikai mennyiség mérésének eredménye egy valószínűségi változó, amelynek átlagos értéke egyenlő

\sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}~.

Alternatív megoldásként és ekvivalens módon az állapotvektor megadja a ψ n valószínűségi amplitúdót , hogy egy kvantumrendszer n energiaállapotban legyen .

Az állapotvektor bevezetése után a mátrixmechanika bármilyen alapra forgatható, ahol a H mátrixnak már nem kellett átlósnak lennie. A Heisenberg-féle mozgásegyenlet eredeti formájában kimondja, hogy A mn az időben fejlődik, mint a Fourier-komponens,

A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,

amely differenciálformává alakítható

{dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,

és ez tetszőleges alapon újrafogalmazható igaznak, ha megjegyezzük, hogy H átlós E m átlóértékekkel ,

{dA \over dt}=i(HA-AH)~.

Ez egy mátrix egyenlet, amely minden bázisra érvényes. Ez a Heisenberg-féle mozgásegyenlet modern formája.

Formai megoldása a következő:

\,A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.

A mozgásegyenlet fenti formái ugyanazt mondják, hogy A ( t ) ekvivalens A (0) -val egy e iHt egységes mátrix általi bázisforgatás révén , ez a szisztematikus kép, amelyet Dirac a Bra és ket jelölésében világított meg. .

Ezzel szemben, ha az állapotvektor alapját minden időpillanatban e iHt -vel elforgatjuk , kiküszöbölhetjük a mátrixok időfüggőségét. A mátrixok immár függetlenek az időtől, de az állapotvektor forog,

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\;\;\;\;{d|\psi \rangle \over dt}=-iH| \psi \rangle~.

Ez a Schrödinger-egyenlet az állapotvektorra, és ez az időfüggő bázisváltozás egyenértékű a Schrödinger-reprezentáció transzformációjával 〈x | ψ ⟩ = ψ(x) .

A kvantummechanikában a Heisenberg-reprezentációban az állapotvektor | ψ ⟩ nem változik az időben, és a megfigyelhető A teljesíti a Heisenberg mozgásegyenletet ,

${\frac {dA}{dt}}={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}}~.$

Egy további kifejezés az olyan üzemeltetők számára, mint pl

A=(X+t^{2}P)

amelyek kifejezett időbeli függéssel rendelkeznek, az egységes evolúciótól való időbeli függés mellett.

A Heisenberg -reprezentáció nem különbözteti meg az időt a tértől, így jobban megfelel a relativisztikus elméleteknek, mint a Schrödinger-egyenlet. Sőt, a klasszikus fizikával való hasonlóság nyilvánvalóbb: a klasszikus mechanika Hamilton-féle mozgásegyenletei helyreállnak, ha a fenti kommutátort Poisson-tartóra cseréljük (lásd még alább). A Stone-von Neumann-tétel szerint a Heisenberg-reprezentációnak és a Schrödinger-reprezentációnak egységesen ekvivalensnek kell lennie, amint azt alább részletezzük.

További eredmények

A mátrixmechanika gyorsan modern kvantummechanikává fejlődött, és kezdeti fizikai eredményeket adott az atomok spektrumára vonatkozóan.

Hullámmechanika

Jordan megjegyezte, hogy a kommutációs relációk biztosítják, hogy P differenciális operátorként működjön .

Az üzemeltetők aránya

[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]\,

lehetővé teszi a P kommutátor kiszámítását X tetszőleges hatványával , és ez azt jelenti

[P,X^{n}]=-in~X^{n-1}\,

ami a linearitással együtt azt jelenti, hogy a P -kommutátor hatékonyan megkülönböztet minden X analitikus mátrixfüggvényt .

Feltételezve, hogy a határértékek ésszerűen meghatározottak, ez tetszőleges függvényekre is kiterjed – de a kiterjesztést nem kell explicitté tenni, hacsak nem szükséges bizonyos fokú matematikai szigor.

$[P,f(X)]=-if'(X)\,.$

Mivel X egy hermitikus mátrix, átlózhatónak kell lennie, és a P véges alakjából világos lesz, hogy minden valós szám lehet sajátérték. Ez bonyolítja a matematikát, mert a tér minden pontjához külön sajátvektor tartozik.

Abban a bázisban, ahol X átlós, egy tetszőleges állapot felírható x vagy sajátértékű állapotok szuperpozíciójaként.

|\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,

tehát ψ (x) = ⟨x | ψ ⟩ és az X operátor minden sajátvektort megszoroz x -szel ,

X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.

Meghatározunk egy D lineáris operátort , amely megkülönbözteti ψ -t ,

D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,

és ezt jegyezd meg

(DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\ rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,

hogy az − iD operátor ugyanannak a kommutációs relációnak engedelmeskedik, mint a P . Így a P és a − iD közötti különbségnek ingáznia kell X -el ,

[P+iD,X]=0\,

tehát egyidejűleg diagonalizálható X -szel: az X bármely sajátállapotára ható értéke x sajátértékének valamilyen f függvénye .

Ennek a függvénynek valósnak kell lennie, mivel P és − iD is hermitikus,

(P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,

minden állapot elforgatása f ( x ) -vel , azaz újradefiniáljuk a hullámfüggvény fázisát: $|x\rangle$

\psi (x)\jobbra e^{-if(x)}\psi (x)\,

Az iD utasítást a következő módosítja:

iD\rightarrow iD+f(X)\,

ami azt jelenti, hogy az elforgatott bázisban P egyenlő − iD .

Ezért mindig van alapja az X sajátértékeinek, ahol P bármely hullámfüggvényre gyakorolt hatása ismert:

P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,

és a Hamilton-féle ezen az alapon egy lineáris differenciáloperátor, amely az állapotvektor összetevőire hat,

\left[{P^{2} \over 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[ -{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle

Így az állapotvektor mozgásegyenlete nem más, mint a jól ismert differenciálegyenlet

$i{\partial \over \partial t}\psi _{t}(x)=\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2)) +V(x)\jobbra]\psi _{t}(x)\,.$

Mivel D egy differenciális operátor, ahhoz, hogy ésszerűen definiálhassuk, minden adott érték közelében X sajátértékeknek kell lenniük. Ez azt feltételezi, hogy az egyetlen lehetőség az, hogy X összes sajátértékének tere az összes valós számból áll, és hogy P iD egy fázisfordításig .

Ahhoz, hogy ez a levezetés szigorú legyen, a függvények határterének ésszerű tárgyalására van szükség, és ebben a térben ott van a Stone–von Neumann-tétel : bármely X és P operátor , amely engedelmeskedik a kommutációs relációknak, hathat a hullámfüggvények terére, P -vel. hogy a differenciálás operátora. Ez azt jelenti, hogy a Schrödinger-képviselet mindig elérhető.

A mátrixmechanika természetesen könnyen kiterjeszthető több szabadsági fokra. Minden szabadságfoknak külön X operátora és külön effektív differenciáloperátora P , és a hullámfüggvény az X független ingázási változók összes lehetséges sajátértékének függvénye.

[X_{i},X_{j}]=0\,

[P_{i},P_{j}]=0\,

[X_{i},P_{j}]=i\delta _{ij}\,.

Ez konkrétan azt jelenti, hogy egy 3 dimenziós N kölcsönható részecskéből álló rendszert egyetlen vektor ír le, amelynek összetevői egy olyan bázisban, ahol minden X átlós, egy függvény a 3 N - dimenziós térben , amely leírja az összes lehetséges helyzetüket . nagyobb értékkészlet , mint N 3D hullámfüggvény egy fizikai térben. Schrödinger függetlenül ugyanerre a következtetésre jutott, és végül bebizonyította, hogy saját formalizmusa egyenértékű Heisenbergével.

Mivel a hullámfüggvény az egész rendszer tulajdonsága, nem pedig annak bármely részének, a kvantummechanikában a leírás nem teljesen lokális. Számos kvantumrészecske leírásában korrelálnak vagy összefonódnak . Ez az összefonódás fontos összefüggésekhez vezet a távoli részecskék között, amelyek megsértik a klasszikus Bell-egyenlőtlenséget .

Annak ellenére, hogy a részecskék csak két koordinátában lehetnek, 2N komplex számra van szükség az N részecske hullámfüggvényének meghatározásához , minden közös koordináta-konfigurációhoz egy. Ez exponenciálisan nagy szám, ezért a kvantummechanika számítógépen történő szimulálása exponenciális erőforrásokat igényel. Ezzel szemben ez azt sugallja, hogy lehetséges olyan N -méretű kvantumrendszereket találni , amelyek fizikailag kiszámítják a válaszokat olyan problémákra, amelyek megoldásához általában 2N bitre lenne szükség egy klasszikus számítógépből. Ez a megfigyelés a kvantumszámítás középpontjában áll .

Ehrenfest tétele

X és P ∂ A /∂ t = 0 időfüggetlen operátorok esetén a fenti Heisenberg-egyenlet [31] -re redukálódik :

i\hbar {dA \over dt}=[A,H]=AH-HA

ahol a szögletes zárójelek [*, *] a kommutátort jelölik. Hamilton esetén az X és P operátorok kielégítik a következő egyenleteket: $p^{2}/2m+V(x)$

{dX \over dt}={P \over m},\quad {dP \over dt}=-\nabla V

ahol az első klasszikusan sebesség , a második pedig klasszikusan erő vagy potenciál gradiens . Reprodukálják a Newton-féle mozgástörvények hamiltoni formáját . A Heisenberg képen az X és P operátorok kielégítik a klasszikus mozgásegyenleteket. Felveheti az egyenlet mindkét oldalának várható értékét, hogy megnézze, mi van bármely | állapotban ψ⟩ :

{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m} }\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle

{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.

Így az operátorok várható értékei bármely adott államban pontosan betartják Newton törvényeit. Ez Ehrenfest tétele , amely nyilvánvaló következménye Heisenberg mozgásegyenleteinek, de kevésbé triviális a Schrödinger-festményen, ahol Ehrenfest felfedezte.

Transzformációelmélet

A klasszikus mechanikában a fázistér-koordináták kanonikus transzformációja olyan transzformáció, amely megőrzi a Poisson zárójelek szerkezetét. Az új x', p' változók ugyanazokkal a Poisson zárójelekkel kapcsolódnak egymáshoz, mint az eredeti x, p változók . Az időfejlődés kanonikus transzformáció, mivel a fázistér minden időpontban ugyanolyan jó választás a változók között, mint a fázistér bármely más időpontban.

A Hamilton-folyam a forma kanonikus transzformációja :

x\rightarrow x+dx=x+{\partial H \over \partial p}dt

p\rightarrow p+dp=p-{\partial H \over \partial x}dt~.

Mivel a Hamilton-féle x és p tetszőleges függvénye , minden klasszikus G mennyiségnek vannak olyan infinitezimális kanonikus transzformációi , ahol G Hamiltonként szolgál, hogy pontfolyamot hozzon létre a fázistérben s időnövekedéssel .

dx={\partial G \over \partial p}ds=\{G,X\}ds\,

dp=-{\partial G \over \partial x}ds=\{G,P\}ds\,.

Az A ( x , p ) függvény fázistérbeli általános alakja esetén ennek a leképezésnek minden ds lépésében végtelenül kicsi változása

dA={\partial A \over \partial x}dx+{\partial A \over \partial p}dp=\{A,G\}ds\,.

A G mennyiséget a kanonikus transzformáció infinitezimális generátorának nevezzük .

A kvantummechanikában létezik G -nek egy analógja , amely egy hermitikus mátrix, és a mozgásegyenleteket kommutátorok adják meg,

dA=i[G,A]ds\,.

A végtelenül kicsi kanonikus mozgások ugyanúgy integrálhatók formálisan, ahogyan a Heisenberg-féle mozgásegyenleteket integrálták:

A'=U^{\dagger }AU\,

ahol U = e iGs s tetszőleges paraméter.

Így a kvantumkanonikus transzformáció definíciója a bázis tetszőleges egységnyi változása az összes állapotvektor terében. U egy tetszőleges unitárius mátrix, amely komplex forgást határoz meg a fázistérben,

U^{\dagger }=U^{-1}\,.

Ezek a transzformációk a hullámfüggvény összetevőinek abszolút értékeinek négyzetösszegét invariánsan hagyják, míg az egymás többszörösei állapotokat (beleértve az imaginárius számokkal szorzott állapotokat is) azonos multiplicitású állapotokká alakítják.

A mátrixok értelmezése szerint mozgásgenerátorként működnek az állapottérben .

Például a P által létrehozott mozgás megtalálható a Heisenberg mozgásegyenlet megoldásával, P -t használva Hamilton-féleképpen,

dX=i[X,P]ds=ds\,

dP=i[P,P]ds=0\,.

Ezek az X mátrix fordításai az azonosságmátrix többszörösére,

X\rightarrow X+sI~.

Ez a D derivált operátor értelmezése : e iPs = e D , az exponenciális derivált operátor egy eltolás ( a Lagrange shift operátor) .

Az X operátor P -re fordításokat is generál . A Hamilton -operátor időben , a szögimpulzus forgásokat generál a fizikai térben , az X 2 + P 2 operátor pedig a fázistérben .

Amikor egy transzformáció, akárcsak a fizikai térben való forgatás, Hamilton- szimmetriával ingázik, ezt a transzformációt Hamilton-szimmetriának nevezik – az elforgatott koordinátákban megadott Hamilton-féle megegyezik az eredeti Hamilton-jellel. Ez azt jelenti, hogy a Hamilton-féle változás az infinitezimális L szimmetriagenerátor hatására eltűnik,

{dH \over ds}=i[L,H]=0\,.

Ebből következik, hogy az időfordítás során a generátor változása is eltűnik,

{dL \over dt}=i[H,L]=0\,

tehát az L mátrix időben állandó – azaz konzervált.

Az infinitezimális szimmetria generátorai és a megmaradási törvények közötti egy az egyhez való megfelelést Emmy Noether fedezte fel a klasszikus mechanika számára, ahol a Poisson zárójelek a kommutátorok , de a kvantummechanikai érvelés azonos. A kvantummechanikában az egységes szimmetria bármilyen transzformációja megmaradási törvényhez vezet, mert ha az U mátrixnak az a tulajdonsága, hogy

U^{-1}HU=H\,

tehát ebből az következik

UH=HU

és így U időbeli deriváltja nulla – megmarad.

Az egységes mátrixok sajátértékei tiszta fázisok, így az egységes megőrzött mennyiség értéke egységnyi nagyságú komplex szám, nem valós szám. Másképpen úgy fogalmazhatunk, hogy az unitárius mátrix i -szer kitevője a hermitiánus mátrixnak, így az additív módon megőrzött valós mennyiség, a fázis csak 2π egész számú többszöröséig van pontosan definiálva . Csak ha az egységes szimmetriamátrix egy család része, tetszőlegesen közel van az azonossághoz, akkor a megőrzött valós mennyiségek egyértékűek, és akkor a megmaradásuk követelménye sokkal erősebb korlát.

Az identitásmátrixhoz folyamatosan kapcsolható szimmetriákat folytonosnak nevezzük , és az ilyen szimmetriákra példák a fordítások, az elforgatások és a fokozások. Az azonosságmátrixhoz folyamatosan nem köthető szimmetriák diszkrétek , erre példa a térbeli inverziós vagy paritásművelet és a töltéskonjugáció .

A mátrixok kanonikus transzformációk generátoraként való értelmezése Paul Dirachoz tartozik [32] . Eugene Wigner megmutatta, hogy a szimmetriák és a mátrixok közötti megfelelés akkor teljes, ha antiunitáris mátrixokat is tartalmaz, amelyek leírják az időfordítással járó szimmetriákat.

Kiválasztási szabályok

Heisenberg számára fizikai megfontolások alapján világos volt, hogy az X mátrixelemek abszolút értékeinek négyzete , amelyek a rezgések Fourier-együtthatói, megadják az elektromágneses sugárzás kibocsátásának sebességét.

A klasszikus nagypálya határértékben, ha egy X ( t ) koordinátájú és q töltésű töltés az origóban egyenlő és ellentétes töltés közelében ingadozik, akkor a pillanatnyi dipólusmomentum qX ( t ) , és ennek az időpillanatnak a változása közvetlenül lefordítható. a vektorpotenciál téridő változásába, ami a kimenő gömbhullámok forrását adja.

Az atomok esetében a kibocsátott fény hullámhossza körülbelül 10 000-szerese az atomsugárnak, és a dipólusmomentum az egyetlen hozzájárulás a sugárzáshoz, míg az atomtöltés eloszlásának minden egyéb részlete elhanyagolható.

A holtjáték figyelembe vétele nélkül az egyes kimenő módokban kisugárzott teljesítmény az egyes független idők négyzetéből származó egyedi hozzájárulások összege d ,

P(\omega )={2 \over 3}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.

Itt a Heisenberg-reprezentációban a dipólusmomentum Fourier-együtthatói X mátrixelemei . Ez a megfeleltetés lehetővé tette Heisenberg számára, hogy bevezessen egy szabályt az átmenet intenzitására, az idő azon hányadára, amely alatt az i kezdeti állapotból kiindulva egy fotont bocsátanak ki, és az atom a j végső állapotba kerül .

P_{ij}={2 \over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2}\,.

Ez aztán lehetővé tette a mátrixelemek nagyságának statisztikai értelmezését: megadják a spektrumvonalak intenzitását, a dipólussugárzásból származó kvantugrások valószínűségét .

Mivel az átmenet sebességét X mátrixelemek adják meg , ezért azokban az esetekben, amikor X ij egyenlő nullával, a megfelelő átmenetnek hiányoznia kell. Kiválasztási szabályoknak nevezték őket , amelyek a mátrixmechanika megjelenése előtt rejtélyek voltak.

A hidrogénatom tetszőleges állapotát a spin figyelembe vétele nélkül | jellel jelöljük n_ _ ℓ,m ⟩, ahol az ℓ érték a teljes pálya impulzusimpulzusának mértéke, m pedig a pálya orientációját meghatározó z komponense. A szögimpulzus pszeudovektorának összetevői az

L_{i}=\epsilon _{ijk}X^{j}P^{k}\,

ahol a kifejezésben szereplő szorzatok nem függenek a tényezők sorrendjétől, és valósak, mert X és P különböző összetevői ingáznak.

Az L kommutációs reláció mindhárom X, Y, Z koordinátamátrixszal (vagy bármely vektorral) könnyen megtalálható a képlettel,

[L_{i},X_{j}]=i\epsilon _{ijk}X_{k}\,

ahol az L operátor forgásokat generál az X koordinátamátrixok vektorának három komponense között .

Innen tekinthetjük az L z kommutátort és az X, Y, Z koordinátamátrixokat ,

[L_{z},X]=iY\,

[L_{z},Y]=-iX\,

Ez azt jelenti, hogy az X + iY , X − iY mennyiségek egyszerű kommutációs szabályoknak engedelmeskednek,

[L_{z},X+iY]=(X+iY)\,

[L_{z},X-iY]=-(X-iY)\,

A Hamilton-féle harmonikus oszcillátor X + iP és X − iP mátrixelemeihez hasonlóan ez a kommutációs törvény azt jelenti, hogy ezeknek az operátoroknak csak néhány nem átlós mátrixeleme van bizonyos m állapotú ,

L_{z}((X+iY)|m\rangle )=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X +iY)|m\rangle \,

és az ( X + iY ) mátrix leképezi az m sajátértékű L z sajátvektort az m + 1 sajátértékű sajátvektorra. Hasonlóképpen ( X − iY ) csökkenti m -t eggyel, míg Z nem változtatja meg m értékét .

Tehát az alapban | ℓ,m ⟩ olyan állapotok, ahol L 2 és L z bizonyos értékekkel rendelkezik, a három koordinátakomponens bármelyikének mátrixelemei egyenlők nullával, kivéve ha m azonos vagy eggyel változik.

Ez korlátozza a teljes szögimpulzus változását. Bármely állapot elforgatható úgy, hogy szögimpulzusa a lehető legnagyobb legyen z irányban , ahol m = ℓ. A |-re ható koordináta mátrixeleme ℓ,m ⟩ csak m-nek adhat egynél nagyobb értéket, tehát ha a koordinátákat úgy forgatjuk el, hogy a végső állapot | ℓ',ℓ' ⟩, a ℓ' érték legfeljebb eggyel lehet nagyobb, mint a kezdeti állapotban előforduló legnagyobb ℓ érték. Így ℓ' legfeljebb ℓ + 1.

A mátrixelemek ℓ' > ℓ + 1-nél eltűnnek, az inverz mátrixelemet pedig a hermiticitása határozza meg, így ℓ' < ℓ — 1-nél is eltűnnek: a szögimpulzus egynél több változása esetén a dipólus átmenetek tilosak. .

Összegzési szabályok

A Heisenberg-féle mozgásegyenlet az X mátrixelemekből álló Heisenberg-bázisban határozza meg a P mátrixelemeket .

P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij}\,

amely a kommutációs reláció (nyom) átlós részét a mátrixelemek nagyságának összegszabályává alakítja:

\sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij }|^{2}=i\,

Ez összefüggést ad a spektroszkópiai vonal intenzitásának összegére bármely adott állapotba és onnan való átmenetek esetén, bár az abszolút helyesség érdekében a nem kötött szórási állapotok sugárzási befogási valószínűségének hozzájárulásait bele kell foglalni ebbe az összegbe:

\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1\,

Jegyzetek

↑ Green, 2000 , p. 53.
↑ Herbert S. Green (1965). Mátrix mechanika (P. Noordhoff Ltd, Groningen, Hollandia) ASIN : B0006BMIP8.
↑ Pauli, W (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift fur Physik . 36 (5): 336-363. Bibcode : 1926ZPhy...36..336P . DOI : 10.1007/BF01450175 .
↑ Green, 2000 , p. tizenöt.
↑ W. Heisenberg, "Der Teil und das Ganze", Piper, München, (1969) The Birth of Quantum Mechanics Archivált 2018. február 26-án a Wayback Machine -nél .
↑ IQSA International Quantum Structures Association . www.vub.be. _ Letöltve: 2020. november 13. Az eredetiből archiválva : 2021. április 20. (határozatlan)
↑ W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (beérkezett: 1925. július 29.). [Angol fordítás itt: BL van der Waerden, szerkesztő, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (angol cím: "Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations")]
↑ HA Kramers und W. Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome , Zeitschrift für Physik 31 , 681-708 (1925).
↑ Emilio Segrè, A röntgensugaraktól a kvarkokig: Modern fizikusok és felfedezéseik (WH Freeman and Company, 1980) ISBN 0-7167-1147-8 , 153-157.
↑ Abraham Pais, Niels Bohr idők fizikában, filozófiában és politikában (Clarendon Press, 1991) ISBN 0-19-852049-2 , 275-279.
↑ Max Born archiválva : 2012. október 19., a Wayback Machine - Nobel-előadás (1954)
↑ M. Born és P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (beérkezett: 1925. szeptember 27.). [Angol fordítás itt: BL van der Waerden, szerkesztő, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
↑ M. Born, W. Heisenberg és P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1925 (beérkezett: 1925. november 16.). [Angol fordítás itt: BL van der Waerden, szerkesztő, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
↑ Jeremy Bernstein Max Born és a kvantumelmélet , Am. J Phys. 73 (11) 999-1008 (2005)
↑ Mehra, 3. kötet (Springer, 2001)
↑ Jammer, 1966, pp. 206-207.
↑ van der Waerden, 1968, p. 51.
↑ Born idézete Born és Jordan újságjában volt, a trilógia második cikkében, amely elindította a mátrixmechanikai megfogalmazást. Lásd van der Waerden, 1968, p. 351.
↑ Constance Ried Courant (Springer, 1996) p. 93.
↑ John von Neumann Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren , Mathematische Annalen 102 49-131 (1929)
↑ Amikor Neumann 1932-ben elhagyta Göttingent, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik címmel jelent meg Hilbert matematikáján alapuló, a kvantummechanika matematikai alapjairól szóló könyve . Lásd: Norman Macrae, John von Neumann: A tudományos zseni, aki úttörő volt a modern számítógépben, játékelmélet, elrettentés és még sok más (újranyomta az American Nuclear Mathematical Society, 1999) és Constance Reid, Hilbert (Springer-Verlag, 1996) ISBN 0-387-94674-8 .
↑ PAM Dirac, "A kvantummechanika alapvető egyenletei", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character , 109 (752), 642-653 (1925), [ https://www.jstor.org/stable/94441 online] Archivált 2022. február 19-én a Wayback Machine -nél
↑ Bernstein, 2004, p. 1004.
↑ Greenspan, 2005, p. 190.
↑ 1 2 Fizikai Nobel-díj és 1933 Archiválva : 2008. július 15., a Wayback Machine - Nobel-díj átadási beszéde.
↑ Bernstein, 2005, p. 1004.
↑ Bernstein, 2005, p. 1006.
↑ Greenspan, 2005, p. 191.
↑ Greenspan, 2005, pp. 285-286.
↑ Green, 2000 , p. 61.
↑ Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
↑ Dirac, PAM A kvantummechanika alapelvei . — 4. revízió. - New York: Oxford University Press, 1981. - ISBN 0-19-852011-5 . Archiválva : 2017. április 15. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Green, H. Mátrix kvantummechanika / Per. angolról. Szerk. A. A. Sokolova. — N.: IO NFMI , 2000. — 160 p. - ISBN 5-80323-362-5 .
Bernstein, Jeremy (2005). "Max Born és a kvantumelmélet". American Journal of Physics . Amerikai Fizikai Tanárok Szövetsége (AAPT). 73 (11): 999-1008. DOI : 10.1119/1.2060717 . ISSN 0002-9505 .
Max Born A kvantummechanika statisztikai értelmezése . Nobel-előadás – 1954. december 11.
Greenspan, Nancy Thorndike. A bizonyos világ vége: Max Born élete és tudománya . - Alapkönyvek, 2005. - 400 p. — ISBN 0738206938 .
Jammer, Max . A kvantummechanika fogalmainak fejlődése / Per. angolról. / Szerk. L. I. Ponomareva. - M. : Nauka, 1985. - 384 p.
Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut. A mátrixmechanika megfogalmazása és módosításai, 1925-1926 . - Springer, 1982. - 1. évf. 3. - 342 p. — (A kvantumelmélet történeti fejlődése). — ISBN 9780824796815 .
A kvantummechanika forrásai (angol) / BL szerkesztő van der Waerden. - Dover Publications, 2007. - Vol. 5. - 430 p. - (A tudomány klasszikusai). — ISBN 9780486458922 .
Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. (2004). „Heisenberg 1925. júliusi „varázslatos” írásának megértése: Új pillantás a számítási részletekre. American Journal of Physics . Amerikai Fizikai Tanárok Szövetsége (AAPT). 72 (11): 1370-1379. arXiv : quant-ph/0404009 . DOI : 10,1119/1,1775243 . ISSN 0002-9505 .
Jordan, Thomas F. Kvantummechanika egyszerű mátrixformában. - Wiley-Interscience. - Wiley-Interscience, 1986. - 260 p. — ISBN 9780471817512 .
Merzbacher, E. (1968). Mátrix módszerek a kvantummechanikában. Am. J Phys . 36 , 814-821. DOI : 10,1119/1,1975154 .

Linkek

A mátrixmechanika áttekintése
Mátrix módszerek a kvantummechanikában
Heisenberg kvantummechanika (Az elmélet eredete és történeti fejlődése 1925-27)
Werner Heisenberg 1970 CBC rádióinterjú
Werner Karl Heisenberg, a Quantum Mechanics társalapítója
A Matrix Mechanicsról a MathPages-en