Régi kvantumelmélet

A régi kvantumelmélet (néha a régi kvantummechanika [1] ) az atomi jelenségek leírásának megközelítése, amelyet 1900-1924-ben fejlesztettek ki, és megelőzte a kvantummechanika létrehozását . Ennek az elméletnek a jellegzetes vonása a klasszikus mechanika és néhány azzal összeütközésbe került feltevés egyidejű alkalmazása. A régi kvantumelmélet alapja az atom Bohr-modellje , amelyhez később Arnold Sommerfeld [2] hozzáadta a szögimpulzus z-komponensének kvantálását , amelyet helytelenül térbeli kvantálásnak neveznek . A z-komponens kvantálása lehetővé tette elliptikus elektronpályák bevezetését, és javaslatot tett az energiadegeneráció fogalmára . A régi kvantumelmélet sikere a hidrogénatom és a normális Zeeman-effektus helyes leírása volt .

A régi kvantumelmélet fő eszköze a Bohr-Sommerfeld kvantálás , egy olyan eljárás, amely egy klasszikus rendszer integrált mozgásának diszkrét halmazát állítja elő, és ezeket a rendszer megengedett állapotaiként határozza meg, hasonlóan a Bohr-körben megengedett pályákhoz. modell. A rendszer csak ezekben az állapotokban lehet, más állapotokban nem. Ez az elmélet nem írja le a kaotikus mozgást, mivel a klasszikus rendszer mozgáspályáinak teljes lezárását igényli.

Történelem

A régi kvantumelmélet (és általában a kvantummechanika) kiindulópontja Max Planck fénykibocsátással és abszorpcióval foglalkozó munkáinak megjelenése a 20. század legelején [3] [4] . A kvantumelmélet közvetlen fejlődése azzal kezdődött, hogy Einstein bevezette a szilárd test hőkapacitásának kvantumelméletét . Az Einstein-modellben azt feltételezzük, hogy a rács minden egyes atomja független kvantált harmonikus oszcillátor, ami lehetővé teszi a klasszikus Dulong-Petit törvény mellett a magas hőmérsékleten bekövetkező hőkapacitás-csökkenés magyarázatát alacsony hőmérsékleten. Ezzel a technikával a kvantumelveket kiterjesztették az atomok mozgására is. Debye később továbbfejlesztette ezt a modellt .

1913-ban Niels Bohr olyan megfontolásokat használt, amelyeket hamarosan a megfelelési elvként fogalmazott meg , és kidolgozta a hidrogénatom modelljét, amely két jól ismert posztulátum megfogalmazásával megmagyarázhatja annak diszkrét spektrumát. Később Arnold Sommerfeld úgy fejlesztette ki Bohr elképzeléseit, hogy modelljét a kvantumszámok adiabatikus invarianciájának elvét alkalmazva kiterjesztette tetszőleges integrálható rendszerekre . A Sommerfeld-modell sokkal közelebb állt a modern kvantummechanikához, mint a Bohr-modell. .

Az 1910-es években és az 1920-as évek elején számos problémát sikeresen megoldottak a régi kvantumelmélet segítségével. Világossá vált a molekulák rezgési és forgási spektrumának természete, felfedezték az elektron spinjét , aminek köszönhetően megmagyarázták a félegész kvantumszámok létezését. Planck bevezette a nullponti rezgéseket , Sommerfeld sikeresen alkalmazta a Bohr-modellt a relativisztikus hidrogénatomra, Hendrik Kramers pedig elmagyarázta a Stark-effektust . Bose és Einstein kvantumstatisztikát javasolt a fotonokra .

Kramers egy módszert javasolt a kvantumállapotok közötti átmenet valószínűségének kiszámítására a mozgás Fourier-komponenseinek felhasználásával, amelyet később Werner Heisenberggel együtt az átmeneti valószínűségek félklasszikus mátrixleképezésére fejlesztett ki. Aztán ezekre az elképzelésekre alapozva Heisenberg megépítette a mátrixmechanikát – a kvantummechanika átmeneti mátrixokon alapuló megfogalmazását. .

1924-ben Louis de Broglie kidolgozta az anyag hullámelméletét, amelyet Einstein kicsit később dolgozott ki, és levezetett egy félklasszikus egyenletet az anyaghullámokra. 1925-ben Erwin Schrödinger javasolta a kvantummechanikai hullámegyenletet , amely lehetővé tette a régi kvantumelmélet összes eredményének összeállítását minden következetlenség nélkül. A Schrödinger-féle hullámmechanika a Heisenberg-féle mátrixmechanikától függetlenül fejlődött ki, de a kísérletek azt mutatták, hogy mindkét módszer ugyanazt az eredményt jósolja. Paul Dirac 1926-ban kimutatta, hogy mindkét kép ekvivalens, és egy általánosabb módszer - reprezentációs elméletből következik [5] .

A mátrix- és hullámmechanika megjelenése a régi kvantumelmélet végét jelentette .

Alapelvek

A régi kvantumelmélet fő gondolata az volt, hogy egy atomi rendszer mozgása kvantált (diszkrét). A rendszer egy kivétellel engedelmeskedik a klasszikus mechanika törvényeinek: nem minden mozgás megengedett, hanem csak azok, amelyek megfelelnek a szabálynak.

\oint\limits_{\mathcal{H}(p,q)=E} p_i dq_i = n_i h,

hol vannak a kanonikus momentumok, ezek konjugált koordinátái, vannak kvantumszámok, amelyek csak egész számok lehetnek. Az integrált egy zárt (minden koordináta-impulzuspárra vonatkozó) mozgási pálya mentén vesszük, amely egy állandó energiának felel meg (amelyet a Hamilton-függvény ír le ). Ezenkívül az integrál a fázistérben lévő terület , amely megfelel a klasszikus akciónak . A cselekvés azonban a Planck-konstans egységeiben van kvantálva , ezért a Planck-állandót gyakran cselekvéskvantumnak nevezik . $p_{i}$ $q_{i}$ $n_{i}$ $E$ ${\mathcal {H}}$

Ahhoz, hogy a kvantálási feltételnek értelme legyen, a klasszikus mozgást szét kell választani, vagyis olyan koordinátáknak kell lenniük , hogy ezek mindegyike mentén a mozgás periodikus legyen ( különböző koordináták mentén lévő periódusok összemérhetetlensége esetén az össz. mozgás nem lesz periodikus). A régi kvantumelmélet a megfelelési elvnek engedelmeskedik, a következő megfigyelések alapján: a kvantálandó mennyiségeknek adiabatikus invariánsoknak kell lenniük [6] . $q_{i}$

Kísérleti alap

Fekete test sugárzása

A 19. század végén a fizika egyik fő problémája a feketetest-sugárzás problémája volt. A fekete test egy fizikai idealizálás: olyan test, amely teljesen elnyeli a bármilyen hullámhosszúságú beeső sugárzást. A valódi fekete anyagok, például a korom a látható hullámhossz-tartományban a beeső sugárzás 99%-át elnyelik, az infravörös sugárzást viszont sokkal rosszabbul nyeli el. A Naprendszer testei közül az abszolút fekete test felel meg legjobban a Napnak.

A klasszikus termodinamika szerint a sugárzás spektrális intenzitásának I(ν) azonosnak kell lennie minden azonos hőmérsékletre hevített abszolút fekete testnél. Ezt a jóslatot kísérlet igazolja. A spektrális intenzitás egy bizonyos ν max frekvencián eléri a maximumot, és a maximum mindkét oldalán nullára csökken. A maximum ν max frekvenciája , valamint magassága a hőmérséklettel növekszik.

A fekete test kísérleti spektrális intenzitásgörbéjének alakjának elméleti előrejelzésére tett kísérletek a klasszikus fizika törvényei alapján a Rayleigh-Jeans képlethez vezettek [7] [8] :

$I(\nu) = \frac{2 \pi}{c^2} kT \nu^2.$

Az alacsony frekvenciák tartományát kivéve a Rayleigh-Jeans formula törvénye nem egyezik a kísérlettel. Azt jósolja, hogy a kisugárzott energia teljes intenzitása a frekvenciával korlátlanul növekszik ( ibolyántúli katasztrófa ), de a valóságban a teljes intenzitás véges.

Max Planck 1900-ban feltételezte [4] , hogy az atomok közötti energiacsere és az általuk kibocsátott elektromágneses sugárzás diszkrét energiarészekben megy végbe, és az energia legkisebb része egy adott ν frekvencián egyenlő

$E=h\nu$ ,

ahol h Planck állandója . Ebben az esetben az atomok és a sugárzás kölcsönhatása során a hν energiának csak egész számú része kerülhet át . Ezt a posztulátumot felhasználva Planck levezette a fekete test termikus egyensúlyi elektromágneses sugárzásának spektrális intenzitásának képletét:

$I(\nu) = \frac{2 \pi \nu^2}{c^2} \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT)) - 1},$

ami kiváló összhangban van a kísérlettel. Így Planck megoldotta a fekete test sugárzásának problémáját az energiakvantálás ötletével, amely ellentmond a klasszikus fizikának.

Fotoelektromos hatás

A fotoelektromos hatás az a jelenség, amikor egy anyag elektronokat bocsát ki fény (és általában bármilyen elektromágneses sugárzás) hatására. A fotoelektromos hatás első szisztematikus vizsgálatát Stoletov orosz fizikus végezte 1888-ban, aki számos fontos mintát állított fel. A kulcspont az lett, hogy a fotoelektronok energiája abszolút független a beeső fény intenzitásától: az intenzitás növekedése csak a kilökött elektronok számát növeli, sebességét nem. Kiderült azonban, hogy az elektronok sebessége a sugárzás frekvenciájától függ, és a frekvencia növekedésével a fotoelektronok energiája lineárisan nő. Az ilyen jelenségek a klasszikus elektrodinamika szempontjából érthetetlenek voltak .

A fotoelektromos hatás elméleti magyarázatát Albert Einstein adta meg 1905-ben. Planck hipotézisét felhasználva azt javasolta, hogy a fényt nem csak részletekben bocsátják ki ( kvanták ), hanem általában egy kvantumáram ( fotonok ) hν energiával . A fotoelektromos hatásnál a beeső fény egy része visszaverődik a felületről, míg a másik része behatol a fém felületi rétegébe és ott elnyelődik. Amikor egy elektron elnyel egy fotont, energiát kap tőle, és egy részét az A out munkafüggvényre fordítva elhagyja a fémet. Így megkapjuk a fotoelektromos hatás Einstein-egyenletét:

$h \nu = A_{out} + P + eV,$

ahol P az ionizációs energia (amely fémeknél nullára állítható, mivel a fémben nagyszámú szabad elektron van), eV a fotoelektron mozgási energiája. Ezt az egyenletet hamarosan intenzíven tesztelték Robert Millikan kísérleteiben , amelyekért többek között 1923 -ban fizikai Nobel-díjat kapott.

Így a fotoelektromos hatás jelensége kísérleti igazolása Planck hipotézisének és a fény korpuszkuláris tulajdonságainak.

A Frank-Hertz kísérlet

Az elektronok atomok általi rugalmatlan szórásával kapcsolatos kísérlet, amelyet James Frank és Gustav Ludwig Hertz [9] végzett 1913-1914-ben , megerősítette Bohr posztulátumainak érvényességét.

Ebben a kísérletben egy többé-kevésbé ritka gáz atomjait vagy molekuláit lassú elektronok bombázzák. Ebben az esetben az elektronsebességek ütközések előtti és utáni eloszlását vizsgálják. Ha az ütközések rugalmasak, akkor a sebességeloszlás nem változik; és fordítva, a rugalmatlan ütközések során az elektronok egy része elveszíti energiáját, átadja azt az atomoknak, amelyekkel ütközött, így a sebességek eloszlása megváltozik.

A Frank-Hertz kísérlet eredményeként azt találták, hogy:

bizonyos kritikus sebességnél kisebb elektronsebességeknél az ütközés teljesen rugalmas, vagyis az elektron nem adja át energiáját az atomnak, hanem visszapattan róla, csak a sebességének irányát változtatja meg;
a kritikus sebesség elérésekor a becsapódás rugalmatlanná válik, vagyis az elektron elveszíti energiájának egy részét és átadja azt az atomnak, amely ilyenkor egy másik, nagyobb energiával jellemezhető álló állapotba kerül.

Alkalmazási példák

A harmonikus oszcillátor termikus tulajdonságai

A harmonikus oszcillátor a régi kvantumelmélet legegyszerűbb rendszere. Írjuk fel a Hamiltonit :

\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}.

A rendszer energiaszintjeit a mozgáspályák határozzák meg, és a pályákat a következő kvantumszabály szerint választjuk ki: a fázistérben az egyes pályák által lefedett területnek egész számnak kell lennie. Ebből következik, hogy az energia kvantálása Planck szabálya szerint történik:

E_n = n\hbar\omega,

ismert eredmény, amely szerint a régi kvantumelmélet kvantálási szabálya megfogalmazódik. Megjegyzendő, hogy ez az eredmény a jelenlegitől eltér , mivel a kvantummechanikából ismert, hogy a harmonikus oszcillátor nulla szintjének van energiája . $\hbar \omega/2$ $\hbar \omega/2$

A kvantált harmonikus oszcillátor termodinamikai mennyiségei az egyes diszkrét állapotok energiájának átlagolásával határozhatók meg:

U = \frac{1}{Z} \sum\limits_n n\hbar\omega e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT)) = {\hbar \omega e^{-\frac{\ hbar\omega}{kT}} \over 1 - e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}},

ahol a Boltzmann-állandó , az abszolút hőmérséklet (amit természetesebb energiaegységekben mérnek), a megosztási függvény . Könnyen belátható, hogy nagyon alacsony hőmérsékleten (vagyis amikor nagy az érték) a harmonikus oszcillátor átlagos energiája nagyon gyorsan - exponenciálisan - eléri a nullát. Ennek az az oka, hogy a hőmérsékleten a tetszőleges mozgás karakterisztikus energiája , és ha ez kisebb, mint , akkor nem elegendő legalább egy energiakvantumot átvinni az oszcillátorba. Ezért a harmonikus oszcillátor alapállapotban marad. $k$ $T$ $Z = \sum\limits_n e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}$ $\beta = \frac{1}{kT}$ $U$ $kT$ $T$ $\hbar \omega$

Ez azt jelenti, hogy nagyon alacsony hőmérsékleten a (és természetesen a hőmérséklethez) viszonyított energiaváltozás kicsi. Az energia hőmérséklethez viszonyított változása a hőkapacitás; ezért a hőkapacitás alacsony hőmérsékleten kicsi, nullára hajlamos as $\beta$

e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}.

Magas hőmérsékleten (vagyis alacsony hőmérsékleten ) az átlagos energia . Ez a tény összhangban van a klasszikus termodinamika ekvipartíciós törvényével : minden harmonikus oszcillátor hőmérsékleten átlagos energiával rendelkezik . Ez azt jelenti, hogy az oszcillátor hőkapacitása állandó (a klasszikus mechanikában) és egyenlő a Boltzmann-állandóval . Rugókkal összekapcsolt atomhalmaz esetén (egy szilárd test elfogadható modellje) a teljes hőkapacitás , ahol az oszcillátorok száma. Általában minden atomhoz három oszcillátor van hozzárendelve, figyelembe véve a három lehetséges rezgési irányt három dimenzióban. Ezért a klasszikus szilárd anyag hőkapacitása kellően magas hőmérsékleten egyenlő egy atommal, vagy mólonként, a Dulong-Petit törvény szerint . $\beta$ $U$ $kT$ $T$ $kT$ $k$ $Nk$ $N$ $3k$ $3R$

A monoatomos szilárd anyagok szobahőmérsékleten megközelítőleg azonos hőkapacitással rendelkeznek atomonként , de ez nem így van alacsony hőmérsékleten. A hőmérséklet csökkenésével a hőkapacitás is csökken, és abszolút nulla hőmérsékleten eléri a nullát. Ez a tény minden anyagi rendszerre megerősített és a termodinamika harmadik főtétele . A klasszikus mechanika nem tudja megmagyarázni a termodinamika harmadik főtételét, mert feltételezi, hogy a hőkapacitás nem függ a hőmérséklettől. $3k$

Ezt az ellentmondást a klasszikus mechanika és a hideg testek hőkapacitása között a 19. században Maxwell vette észre ; ennek az ellentmondásnak a felszámolása nehéz feladat volt azoknak, akik az anyag atomelméletét védték. Albert Einstein 1906-ban megoldotta ezt a problémát az atomi mozgás kvantálásának ötletével és az Einstein-modell megfogalmazásával, amely a kvantumelmélet első alkalmazása mechanikai rendszerekre. Kicsit később Peter Debye kidolgozott egy pontosabb kvantitatív elméletet a szilárd testek hőkapacitására, amely különböző frekvenciájú kvantált harmonikus oszcillátorokon alapul ( a Debye-modell ).

Egydimenziós potenciál

Bármely E energiára könnyen megtalálhatja a p impulzusszámot az energia megmaradás törvénye alapján :

p = \sqrt{2m ( E - V(q))}.

Ez a kifejezés integrálja a q összes értékét a klasszikus fordulópontok között, ahol az impulzus nulla.

Négyszögletű potenciálkút

A legegyszerűbb eset egy L hosszúságú téglalap alakú potenciálüregben lévő részecske , amelyre a kvantálási feltétel a következő:

2 \int_0^L p dq = nh,

honnan a lendület?

p = \frac{nh}{2L}.

Az impulzusegyenlet jobb oldalának integrálásával az energiaszintek meghatározhatók:

E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}.

Lineáris potenciál

Tekintsünk egy másik potenciált - lineárist, amely egy állandó F erőnek felel meg. A probléma kvantummechanikai megfogalmazása meglehetősen bonyolult, és a fenti esetekkel ellentétben a félklasszikus eredmény nem pontos, hanem csak a kvantumszámok növekedésével hajlik rá. Nekünk van:

2 \int_0^{\frac{E}{F}} \sqrt{2m (E - Fx)} dx = nh,

ami megadja a kvantálási feltételt:

{4\over 3} \sqrt{2m}{ E^{3/2}\over F } = nh,

ahol meghatározhatja az energiaszinteket:

E_n = \left(\frac{3F}{4\sqrt{2m}} nh \right)^{2/3}.

Kvadratikus potenciál

Ennek a feladatnak a félklasszikus eredménye egybeesik az alapállapot energiájának számításakor kapott kvantummechanikai eredménnyel. A kvantálási feltétel így fog kinézni:

2 \int_{-\sqrt{\frac{2E}{k}}}^{\sqrt{\frac{2E}{k}}} \sqrt{2m\left(E - \frac12 kx^2\right) }\ dx = nh,

ahol meghatározzuk az energiaszinteket:

E = n \frac{h}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m)) = n \hbar \omega,

hol van a szögfrekvencia. $\omega$

Rotátor

A rotátor egy M tömegű testből áll, amely egy tömeg nélküli, R hosszúságú merev rúdra van rögzítve , és a következő kétdimenziós Lagrange -féle leírja :

\mathcal{L}_{2D} = \frac{MR^2 \dot\varphi^2}{2},

ahonnan kifejezhető a szögimpulzus , amely a polárszögtől függ : $L$ $\varphi$

L = MR^2\pont\varphi.

A régi kvantumelmélet megköveteli, hogy a szögimpulzusokat kvantáljuk:

L = n\hbar.

A Bohr-modellben egy ilyen kvantálási feltétel, amelyet körpályákra szabnak, elegendő az energiaspektrum meghatározásához.

Egy háromdimenziós merev forgót a gömbkoordináta-rendszer két θ és φ szöge ír le egy tetszőlegesen kiválasztott Oz tengelyhez képest. Ismét csak a mozgási energia lép be a Lagrange-ba:

\mathcal{L}_{3D} = \frac{MR^2 \pont\theta^2}{2} + \frac{MR^2 (\pont\varphi \sin\theta)^2}{2},

A kanonikus impulzusok a következő formában lesznek:

p_{\theta} = \pont\theta,

p_{\varphi} = \dot\varphi \sin^2\theta.

A φ egyenlete triviális, állandó: $p_{\varphi}$

p_{\varphi} = l_{\varphi},

amely egyenlő a szögimpulzus z-komponensével. Továbbá a kvantálási feltételből az következik, hogy a φ szög feletti integráció után 0 -tól 2π -ig :

l_{\varphi} = m\hbar,

ahol m az úgynevezett mágneses kvantumszám. Az elnevezés onnan ered, hogy a szögimpulzus z komponense megegyezik a forgó Óz tengely menti mágneses nyomatékával (nyilván, ha a forgó végén lévő részecske töltődik).

A háromdimenziós forgó teljes impulzusnyomatékát a kétdimenzióshoz hasonlóan kvantáljuk. Két kvantálási feltétel határozza meg a teljes impulzusimpulzus és z-összetevő tetszőleges értékeit az l , m kvantumszámok segítségével . Ezek a feltételek a kvantummechanikában is jelen vannak, de a régi kvantumelmélet dominanciája idején nem volt világos, hogyan kvantálható a szögimpulzus orientációja egy tetszőlegesen kiválasztott Oz tengelyhez képest. Úgy tűnt, ebből valami kitüntetett térirány létezésének kellett volna következnie.

Ezt a jelenséget térbeli kvantálásnak nevezték , de úgy tűnt, hogy összeegyeztethetetlen a tér izotrópiájával. A kvantummechanikában ugyanígy kvantálják a szögimpulzusokat, de az egyik tengely mentén lévő diszkrét állapotai a többi tengely mentén lévő állapotok szuperpozíciói , így a kvantálási folyamat során nem alakul ki konkrét térirány. Ezért most nem a " térbeli kvantálás " kifejezést használják, hanem a " szögimpulzus kvantálása " kifejezést használják.

Hidrogénatom

A hidrogénatom szögletes része egy forgó, amelyet l , m kvantumszámok jellemeznek . Csak a radiális koordináta marad ismeretlen, amit egydimenziós periodikus mozgás ad meg.

Az L teljes impulzusimpulzus fix értékére a klasszikus Kepler-probléma Hamilton-függvényének alakja a következő (itt a változókat úgy választjuk meg, hogy a tömeg és az energia dimenzió nélkülivé váljon):

\mathcal{H} = \frac{p^2}{2} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{1}{r}.

Az energiát (negatív) állandóként rögzítve és a p impulzusra kapott egyenletet megoldva megkapjuk a kvantálási feltételt:

2 \int\sqrt{2E - \frac{l^2}{r^2} + \frac{2}{r}}\ dr = kh,

amely meghatározza az új k kvantumszámot , amely az l számmal együtt meghatározza az energiaszinteket:

E_{k,l} = - \frac{1}{2 (k+l)^2}.

Könnyen belátható, hogy az energia a k és l kvantumszámok összegétől függ , amit egy másik n kvantumszámként jelölhetünk, amelyet főkvantumszámnak nevezünk . Ha k nem negatív, akkor az l szám megengedett értékei adott n -re nem lehetnek nagyobbak az adott n értéknél .

A hidrogénatom ezt a félklasszikus modelljét Sommerfeld-modellnek nevezik, és a benne lévő elektronpályák ellipszisek. Sommerfeld modellje azt a tényt jósolta, hogy egy atom mágneses momentuma, amelyet valamilyen tengely mentén mérünk, csak diszkrét értékekkel rendelkezik. Ez az eredmény ellentmondani látszott a tér izotrópiájának, de a Stern-Gerlach kísérlet megerősítette . A Bohr-Sommerfeld elmélet a kvantummechanika fejlődésének egyik legfontosabb állomása volt, mivel leírta egy atom energiaszintjének mágneses térben történő megosztásának lehetőségét , vagyis megmagyarázta a Zeeman-effektust .

Relativisztikus pálya (Kepleri probléma)

Az atom energiaszintjének relativisztikus megoldását Arnold Sommerfeld találta meg [2] . Írjuk fel az elektrosztatikus potenciállal rendelkező energia relativisztikus egyenletét :

E = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{ r}

és végezze el a cserét : $u = \frac{1}{r}$

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{E}{m_0 c^2} + k \frac{Z e^2}{ m_0 c^2} u.

Írjuk ki az impulzusok kifejezéseit:

p_r = m\pont r,

p_{\varphi} = mr^2 \dot \varphi,

akkor az arányuk , és innen megkaphatjuk a mozgásegyenletet ( Binet egyenlet ): $\frac{p_r}{p_{\varphi}} = - \frac{du}{d\varphi}$

\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left( 1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_{\varphi }^2} \jobbra) u + \frac{m_0 kZe^2}{p_{\varphi}^2} \left( 1 + \frac{E}{m_0 c^2} \right) = - \omega_0^2 u + K,

amelynek megoldása így néz ki:

u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_0 \varphi.

A periapszis szögelmozdulása egy periódusban az

\Delta \varphi = 2 \pi \left( \frac{1}{\omega_0} - 1 \right).

A kvantálási feltételek esetünkben így néznek ki:

\oint p_{\varphi} d \varphi = 2 \pi p_{\varphi} = n_{\varphi} h,

\oint p_r dr = p_{\varphi} \oint \left(\frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right) ^2 d \varphi = n_r h,

ahol kiszámolhatja az energiaszinteket:

\frac{E_{n_r, n_{\varphi))}{m_0 c^2} = \left( 1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{(n_r + \sqrt{n_{\varphi} ^ 2 - \alpha ^2 Z^2} )^2} \jobbra) ^{-1/2} - 1,

hol a finomszerkezeti állandó . Ez az eredmény egybeesik a [10] Dirac-egyenlet megoldásával . Ezen túlmenően, ha a kvantumszámok és a helyettesítését elvégezzük , akkor a kapott képlet egybeesik a Klein-Gordon egyenlet [11] pontos megoldásával . $\alpha = \frac{2\csuka^2}{hc}$ $n_r \ to n_r + 1/2$ $n_{\varphi} \to l + 1/2$

De Broglie hullámok

1905-ben Einstein észrevette, hogy egy dobozban lévő elektromágneses mező entrópiája, amelyet Planck szerint kvantált harmonikus oszcillátorok képviselnek, rövid hullámok esetén megegyezik az ugyanabban a dobozban lévő pontrészecskék gáz entrópiájával, és a részecskék száma megegyezik a kvantumok számával. Ezért Einstein arra a következtetésre jutott, hogy a kvantum lokalizált részecskeként [12] , fényrészecskeként - fotonként értelmezhető .

Einstein érvelése a termodinamikán, az állapotok számának számolásán alapult, így eléggé nem volt meggyőző. Ennek ellenére azt a hipotézist állította fel, hogy a fénynek hullám- és részecsketulajdonságai is vannak, pontosabban egy álló elektromágneses hullám, amelynek frekvenciája és kvantált energiája van: $\omega$

E = n\hbar\omega,

amely n energiájú fotonként ábrázolható . De Einstein nem tudta megmagyarázni, hogyan kapcsolódnak a fotonok a hullámokhoz. $\hbar \omega$

A fotonok energiája és impulzusa egyenlő , ahol az elektromágneses hullám hullámvektora . Ezt megköveteli a relativitáselmélet , amely szerint az impulzus és az energia 4-vektort alkot , ahogy a frekvencia a hullámvektorral. $\hbar \mathbf {k}$ $\mathbf {k}$

1924-ben Louis de Broglie feltételezte, hogy az anyag, különösen az elektron, hasonló a fotonhoz, amelyet egy hullám ír le, amely kielégíti a következő összefüggést:

p = \hbar k,

vagy a hullámszámot a hullámhosszban kifejezve , $k$ $\lambda$

p = \frac{h}{\lambda}.

Aztán észrevette, hogy a kvantálási feltétel

\int p dx = \hbar \int k dx = 2 \pi \hbar n

meghatározza a hullám fázisváltozását a klasszikus pályán haladva. Ezért a konstruktív interferencia esetén a klasszikus pályára illeszkedő hullámhosszak számának egész számnak kell lennie. Ez a feltétel magyarázza, hogy a pályákat kvantálni kell: az anyaghullámok csak bizonyos diszkrét frekvenciákon és energiákon alkotnak állóhullámokat .

Például egy dobozba helyezett részecske esetén az állóhullámnak egész számú hullámhossznak kell illeszkednie a doboz falai közé. Ekkor a kvantálási feltétel a következőképpen alakul:

n \lambda = 2L,

tehát a lendület a következőképpen van kvantálva:

p = \frac{nh}{2L},

így meghatározva az energiaszinteket.

Einstein továbbfejlesztette ezt a hipotézist, és matematikailag szigorúbb formát adott neki, megjegyezve, hogy egy mechanikai rendszerben a hullámok fázisfüggvényét a Hamilton-Jacobi egyenlet megoldásával kell azonosítani . Később Schrödinger ezen elképzelések alapján javasolta kvantummechanikai egyenletét , lefektetve ezzel a hullámmechanika alapjait.

Kramers átmeneti mátrixa

A régi kvantumelméletet csak a mechanikai rendszerek egy bizonyos osztályára fogalmazták meg. Például nem dolgozott a sugárzás elnyelésével és kibocsátásával. Hendrik Kramers azonban megpróbált olyan szabályokat találni, amelyek alapján kiszámítható az abszorpció és az emisszió [13] [14] [15] .

Kramers elismerte, hogy a kvantumrendszer pályája Fourier-sorozatban kiterjeszthető a pálya frekvenciájának többszöröse frekvenciájú harmonikusok tekintetében : $\omega$

X_n(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{ik\omega t} X_{nk}.

Itt az n index a pályát jellemző kvantumszámok halmazára vonatkozik, és meg kell egyeznie a Sommerfeld-modell n , l , m halmazával. A frekvencia a pálya szögfrekvenciája, k a Fourier-komponens indexe. Bohr feltételezte, hogy a klasszikus mozgás k- adik harmonikusa megfelel az n szintről az n − k szintre való átmenetnek . $\omega = 2\pi / T_n$

Kramers úgy vélte, hogy az állapotok közötti átmenet hasonló a klasszikus sugárzáskibocsátáshoz, amely az orbitális frekvenciák többszörösének megfelelő frekvenciákon történik. A sugárzás intenzitása arányos lesz -vel , ahogy a klasszikus mechanikában kell. De egy ilyen leírás pontatlan, ha a Fourier-komponensek frekvenciái nem felelnek meg pontosan a szintek közötti átmeneti energiáknak. $|X_k|^2$

Később ezeket az ötleteket Heisenberg , Born és Jordan dolgozta ki [16] [17] [18] , ami a mátrixmechanika megjelenéséhez vezetett .

A régi kvantumelmélet korlátai

A régi kvantumelmélet és különösen a Bohr-modell fontos lépést jelentett az atomszerkezet elméletének kidolgozásában. A 20. század elején, amikor a kvantumhipotézisek alkalmazása inkább művészet volt, mint tudomány, a régi kvantumelmélet sikerei mély benyomást tettek. Megmutatta a klasszikus fizika alkalmatlanságát az atomon belüli jelenségekre és a kvantumtörvények nagy jelentőségét mikroszkopikus szinten. A régi kvantumelmélet azonban csak egy átmeneti szakasz az atomi jelenségek konzisztens elméletének megalkotásához, mivel keretein belül a problémáknak csak korlátozott körét lehet megoldani. A régi kvantumelmélet válságának fő okai, amelyek egy új kvantummechanika felépítéséhez vezettek, a következők voltak [19] :

belső logikai következetlenség: az elmélet sem nem következetesen kvantum, sem nem következetesen klasszikus;
képtelenség megmagyarázni az anomális Zeeman-effektust ;
a spektrumvonalak intenzitásának kiszámításának lehetetlensége;
egy többelektronos atom (különösen egy hélium atom ) elméletének megalkotásának lehetetlensége .

Később világossá vált, hogy a régi kvantumelmélet valójában a Schrödinger-egyenlet félklasszikus közelítése [20] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Tipler, Llewellyn, 2007 .
↑ 1 2 Sommerfeld, 1956 .
↑ Planck, 1900 , p. 237.
↑ 1 2 Planck, 1901 , p. 553.
↑ Dirac, 1927 , p. 621-641.
↑ Landau, Lifshitz, 2008 , p. 210.
↑ Strutt, 1900 , p. 539-540.
↑ Farmer, 1905 , p. 545-552.
↑ Franck, Hertz, 1914 , p. 457-467.
↑ Granovsky, 2004 , p. 577-578.
↑ Vakarchuk, 2012 .
↑ Einstein, 1905 , p. 132.
↑ Kramers, 1919 .
↑ Kramers, 1920 , p. 199-223.
↑ Kramers, 1924 , p. 673-674.
↑ Heisenberg, 1925 , p. 879-893.
↑ Született, Jordánia, 1925 , p. 858-888.
↑ Heisenberg, Született, Jordánia, 1926 , p. 557-615.
↑ Shpolsky, 1974 .
↑ Landau, Lifshitz, 2008 .

Irodalom

Tipler P. A., Llewellyn R. A. Modern fizika. - M . : Mir, 2007. - T. 1. - 496 p.
Sommerfeld A. Az atom és a spektrumok szerkezete. — M. : GITTL, 1956. — 592+696 p.
Planck M. Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum // Verhandl. Deutsch. fiz. Ges. - 1900. - T. 2.(orosz fordítás: Plank M. A normál spektrumú sugárzás energiaeloszlásának elméletéről // Válogatott munkák. - M . : Nauka, 1975. - 788 p.).
Planck M. Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum // Ann. fizika . - 1901. - T. 4.(orosz fordítás: Plank M. Az energiaeloszlás törvényéről a normál spektrumban // Válogatott munkák. - M . : Nauka, 1975. - 788 p.).
Dirac PAM A kvantumdinamika fizikai értelmezése // Proc. R. Soc. London. A. - 1927. - évf. 113.(Orosz fordítás: Dirac P. A. M. Physical interpretation of quantum dynamics // Tudományos közlemények gyűjteménye. - M . : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 848 p.).
Strutt JW (Rayleigh). Megjegyzések a teljes sugárzás törvényéhez // Phil. Mag. - 1900. - 1. köt. 49.
Jeans JH A sugárzás törvényeiről // Proc. R. Soc. London. A. - 1905. - Kt. 76.
Franck J. , Hertz GL Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und Molekülen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben // Verh. Dtsch. Phys. Ges. - 1914. - Kt. 16.
Granovsky Ya. I. Sommerfeld képlete és Dirac elmélete . - UFN, 2004. - V. 174, 5. sz.
Vakarchuk I. O. Kvantummechanika. - 4. kiadás, kiegészítő. — L. : LNU im. Ivan Franko , 2012. - 872 p.
Einstein A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt // Ann. fizika . - 1905. - (Bd. 17, 6. sz.). (Orosz fordítás: Einstein A. A fény megjelenésének és átalakulásának egy heurisztikus nézőpontjáról // Tudományos művek gyűjteménye. - M . : Nauka, 1966. - T. 3. - 632 p.).
Kramers HA spektrális vonalak intenzitása. A kvantumelmélet alkalmazásáról a finomszerkezet összetevőinek relatív intenzitásának és a hidrogén-spektrum vonalainak Stark-effektusának problémájára // Roy. Dán Akadémia. - 1919. - 287 p.
Kramers HA Über den Einfluß eines elektrischen Feldes auf die Feinstruktur der Wasserstofflinien // Zs. Phys. - 1920. - (Bd. 3).
Kramers HA A diszperzió törvénye és a Bohr-féle spektrumelmélet // Természet. - 1924. - 1. évf. 113.
Heisenberg W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zs. Phys. - 1925. - (Bd. 33). (Orosz fordítás: Heisenberg V. A kinematikai és mechanikai összefüggések kvantumelméleti értelmezéséről // Válogatott munkák (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 p.).
Born M. , Jordan P. Zur Quantenmechanik // Zs. Phys. - 1925. - (Bd. 34). (Orosz fordítás: Born M. , Jordan P. To quantum mechanics // Válogatott munkák (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 p.).
Heisenberg W. , Born M. , Jordan P. Zur Quantenmechanik. II // Zs. Phys. - 1926. - (Bd. 35). (Orosz fordítás: Heisenberg V. , Born M. , Jordan P. To quantum mechanics. II // Válogatott művek (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 p.).
Shpolsky E. Atomfizika. - M. : Nauka, 1974. - T. 1. - 576 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantummechanika. Nem relativisztikus elmélet // Elméleti fizika. - M. : Fizmatlit, 2008. - T. 3. - 800 p.
ter Haar D . A régi kvantumelmélet. - Pergamon Press, 1967. - 206 p.
Tomonaga S. Kvantummechanika. - Észak-Hollandia, 1962. - 1. évf. 1: Régi kvantumelmélet. — 313 p.
Ponomarev L. I. A kvantum jele alatt. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 416 p. — ISBN 5-9221-0653-8 .
Szpasszkij B. I. A fizika története. - M . : Felsőiskola , 1977.

1. kötet: 1. rész , 2. rész .
2. kötet: 1. rész , 2. rész .

Kudrjavcev PS Fizikatörténeti kurzus . — 2. kiadás, javítva. és további - M . : Oktatás , 1982. - 448 p.
Danin D.S. Egy különös világ elkerülhetetlensége. – 1961.