Adiabatikus invariáns

Az adiabatikus invariáns olyan fizikai mennyiség , amely a fizikai rendszer egyes paramétereinek zökkenőmentes változásával nem változik úgy, hogy ennek a változásnak a jellemző ideje jóval hosszabb, mint magában a rendszerben lezajló folyamatok jellemző ideje [1] .

A kifejezés eredete

Az adiabatikus folyamat eredetileg a környezettel való hőcsere nélküli folyamatot jelentette. A név az "adiabatikus héj" kifejezésből származik ( másik görög ἀδιάβατος - "áthatolhatatlan") - egy héj, amely nem engedi át a hőt.

De a 20. század közepén egyes tudósok (különösen L. D. Landau ) ezt a folyamatot gyakorlatilag egyensúlyi állapotokon, azaz meglehetősen lassan és simán átmenő folyamatnak kezdték nevezni. Most egy ilyen folyamatot kvázistatikusnak vagy egyensúlyinak neveznek . Történelmileg az "adiabatikus invariáns" elnevezés egy ilyen termodinamikai folyamat analógiájára jelent meg.

Jelenleg az "adiabatikus" szót ismét eredeti jelentésében használják ("folyamat hőcsere nélkül a közeggel"), de az "adiabatikus invariáns" kifejezés már meghonosodott.

Klasszikus mechanika

Klasszikus mechanikai rendszerben , amely periódusos és a paramétertől függő periódusos mozgást végez , a paraméterváltozás adiabatikusságát a feltétel határozza meg . $T$ $\lambda$

T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda

A rendszer Hamilton-függvénye a belső változóitól és a paramétertől függ

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )

Belső változók és gyorsan változnak az idő múlásával, egy periódussal . De a rendszer energiája a mozgás integrálja állandó paraméterrel . Amikor a paraméter idővel változik $q$ $p$ $T$ $E$ $\lambda$

{\frac {dE}{dt))={\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda )){\frac {d\lambda }{dt))

Ha ezt a kifejezést egy perióduson át átlagoljuk, feltételezhetjük, hogy a paraméter változatlan. $\lambda$

{\overline {\frac {dE}{dt))}={\frac {d\lambda }{dt)){\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda }}}

ahol az átlagolást úgy határozzuk meg

{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))}={\frac {1}{T))\int \limits _{0}^{T }{\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))\,dt

Kényelmes váltani az idő múlásával történő integrációról a változón keresztüli integrációra : $q$

dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}

Ebben az esetben az időszak az $T$

T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H))/\partial p))

ahol az integráció előre és hátra történik a koordináta mozgási periódusbeli változásán belül.

Az impulzus írása energia , koordináta és paraméter függvényében, néhány átalakítás után megkapható $E$ $q$

\oint \left({\frac {\partial p}{\partial E)){\overline {\frac {\partial E}{\partial t))}+{\frac {\partial p}{ \partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0

Végre írhatsz

{\overline {\frac {dI}{dt))}=0

ahol az érték

I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq

és adiabatikus invariáns lesz.

A kapott kifejezésben szereplő integrál egyszerű geometriai jelentést nyer, ha a fázistér fogalmához és a benne lévő rendszer fázispályájához fordulunk . A vizsgált esetben a rendszernek egy szabadságfoka van , tehát a fázistér egy olyan fázissík , amelyet a és koordinátákkal rendelkező pontok halmaza alkot . Mivel a rendszer periodikus mozgást végez, a fázispályája [2] egy zárt görbe ezen a síkon, illetve ezen a zárt görbén vesszük az integrált. Ebből az következik, hogy az integrál egyenlő az ábra azon területével, amelyet a rendszer fázispályája határol. $p$ $q$ $\oint p\,dq$

A terület kétdimenziós integrálként is kifejezhető, majd az adiabatikus invariáns esetén

I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq

Példa. Harmonikus oszcillátor

Példaként vegyünk egy egydimenziós harmonikus oszcillátort . Az ilyen oszcillátor Hamilton-függvényének a formája van

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}

ahol az oszcillátor természetes (ciklikus) frekvenciája . A fázispálya-egyenletet ebben az esetben az energiamegmaradás törvénye határozza meg , ezért van formája $\omega$ $H(p,q)=E$

{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E

Az egyenletből látható, hogy a pálya egy féltengelyes ellipszis, és ennek megfelelően területe, osztva -vel egyenlő -vel . Így a mennyiség egy harmonikus oszcillátor esetében adiabatikus invariáns. Ebből következik, hogy azokban az esetekben, amikor az oszcillátor paraméterei lassan változnak, energiája a frekvenciával arányosan változik. ${\sqrt {2mE}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2E/m\omega ^{2))))$ $2\pi$ ${\frac {E}{\omega ))$ $I={\frac {E}{\omega ))$

Az adiabatikus invariáns tulajdonságai

Az adiabatikus invariáns energia deriváltja egyenlő a periódus osztva -val . $2\pi$

2\pi {\frac {\partial I}{\partial E))=T

vagy

{\frac {\partial E}{\partial I))=\omega

hol van a ciklikus frekvencia. $\omega$

A kanonikus transzformációk segítségével egy új változó adiabatikus invariánsa készíthető, amelyet cselekvési változónak nevezünk. Az új változórendszerben a lendület szerepét tölti be . A vele kanonikusan konjugált változót szögváltozónak nevezzük .

Jegyzetek

↑ Dykhne A. M. Adiabatikus invariánsok // Fizikai enciklopédia / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1988. - T. 1. Aharonov-Bohm effektus - Hosszú sorok. - S. 26. - 704 p. — 100.000 példány.
↑ Fázispálya - olyan pontok halmaza, amelyek koordinátái megegyeznek az értékeket felvevő és a rendszer mozgásának folyamatában lévő értékekkel. $p$ $q$

Irodalom

Landau L.D., Lifshitz E.M. Mechanics. - 4. kiadás, átdolgozott. - M .: Nauka , 1988 . - S. 199-202. — 215 p. — („Elméleti fizika”, I. kötet). — ISBN 5-02-013850-9 .
Kotelnikov IA Előadások a plazmafizikáról. 1. kötet: A plazmafizika alapjai. - 3. kiadás - Szentpétervár. : Lan , 2021. - 400 p. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .