Lineáris ismétlődő sorozat

A lineáris ismétlődő sorozat ( lineáris ismétlődés ) bármely numerikus sorozat , amelyet egy lineáris ismétlődési reláció határoz meg : $x_{0},x_{1},\dots$

{\displaystyle x_{n}=a_{1}\cdot x_{n-1}+\dots +a_{d}\cdot x_{nd))

mindenkinek

n\geqslant d

adott kezdeti tagokkal , ahol d egy rögzített természetes szám , numerikus együtthatókat adunk, . Ebben az esetben a d számot a sorozat sorrendjének nevezzük . ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{d-1))$ $a_{1},\pontok ,a_{d}$ $a_{d}\neq 0$

A lineáris ismétlődő sorozatokat néha ismétlődő sorozatoknak is nevezik .

A lineáris ismétlődő sorozatok elmélete az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletek elméletének pontos analógja .

Példák

A lineárisan ismétlődő szekvenciák különleges esetei a szekvenciák:

A Lucas sorozatok különösen kielégítőek : ${\displaystyle x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2))$
- számtani sorozatok -val ; ${\megjelenítési stílus (P,Q)=(2,1)}$
- geometriai progresszió -val ; $Q=0$
- Fibonacci számok ; ${\megjelenítési stílus (P,Q)=(1,-1)}$
- Lucas számok ; ${\megjelenítési stílus (P,Q)=(1,-1)}$
Tribonacci számok kielégítő . ${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3))$

Általános kifejezés formula

Lineárisan ismétlődő sorozatokhoz van egy képlet, amely a sorozat közös tagját a karakterisztikus polinom gyökeivel fejezi ki.

\lambda ^{d}-a_{1}\lambda ^{d-1}-\dots -a_{d-1}\lambda -a_{d}.

Ugyanis a közös kifejezést az alak sorozatainak lineáris kombinációjaként fejezzük ki $d$

x_{n}=\lambda _{k}^{n}\cdot n^{m},

ahol a karakterisztikus polinom gyöke, és egy nemnegatív egész szám, amely kisebb, mint a többszöröse . $\lambda_k$ $m$ $\lambda_k$

Fibonacci-számok esetén egy ilyen képlet Binet képlete .

Példa

Ahhoz, hogy megtaláljuk a képletet a másodrendű lineáris ismétlődő egyenletet kielégítő sorozat közös tagjára a kezdeti értékekkel , meg kell oldani a karakterisztikus egyenletet $F_{n}$ ${\displaystyle F_{n}=b\cdot F_{n-1}+c\cdot F_{n-2))$ $F_{1}$ $F_{2}$

q^{2}-bq-c=0

Ha az egyenletnek két különböző nem nulla gyöke és , akkor tetszőleges és állandók esetén a sorozat $q_{1}$ $q_{2}$ $A$ $B$

F_{n}=A\cdot q_{1}^{n}+B\cdot q_{2}^{n},

kielégíti az ismétlődési relációt; hátra van a számok megtalálása és az $A$ $B$

{\displaystyle F_{1}=A\cdot q_{1}+B\cdot q_{2))

és .

F_{2}=A\cdot q_{1}^{2}+B\cdot q_{2}^{2}

Ha a karakterisztikus egyenlet diszkriminánsa egyenlő nullával, és ezért az egyenletnek egyetlen gyöke van , akkor tetszőleges és állandók esetén a sorozat $q_{1}$ $A$ $B$

{\displaystyle F_{n}=(A+B\cdot n)\cdot q_{1}^{n))

kielégíti az ismétlődési relációt; hátra van a számok megtalálása és az $A$ $B$

F_{1}=(A+B)\cdot q_{1}

és .

F_{2}=(A+B\cdot 2)\cdot q_{1}^{2}

Különösen a következő másodrendű lineáris ismétlődő egyenlet által meghatározott sorozatra

F_{n}=5\cdot F_{n-1}-6\cdot F_{n-2}

; , .

F_{1}=1

F_{2}=-2

a karakterisztikus egyenlet gyökerei , . Ezért $q^{2}-5\cdot q+6=0$ $q_{1}=2$ $q_{2}=3$

F_{n}=-2\cdot (3^{n-1}-2^{n-1})-6\cdot (3^{n-2}-2^{n-2}) .

Végül:

F_{n}=5\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n-1}.

Alkalmazások

A maradékgyűrűk feletti lineáris ismétlődő szekvenciákat hagyományosan pszeudo -véletlen számok generálására használják .

Történelem

A lineárisan ismétlődő sorozatok elméletének alapjait Abraham de Moivre és Daniel Bernoulli adták meg a tizennyolcadik század 20-as éveiben . Leonhard Euler ezt a Bevezetés a végtelen kicsik elemzésébe (1748) tizenharmadik fejezetében fejtette ki. [1] Később Pafnuty Lvovich Chebisev és még később Andrey Andreevich Markov bemutatta ezt az elméletet a véges különbségek számításáról szóló kurzusaiban. [2] [3]

Lásd még

Jegyzetek

↑ L. Euler, Bevezetés az infinitezimálisok elemzésébe, I. kötet, M. - L., 1936, 197–218.
↑ P. L. Csebisev, Valószínűségelmélet, előadások 1879–1880, M. - L., 1936, 139–147.
↑ A. A. Markov, Véges különbségek számítása, 2. kiadás, Odessza, 1910, 209–239.

Irodalom

A. I. Markushevics . visszatérési szekvenciák . - Asszony. Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1950. - 1. évf. - ( Népszerű matematikai előadások ).
M. M. Glukhov, V. P. Elizarov, A. A. Nechaev. fejezet XXV. Lineáris ismétlődő sorozatok // Algebra. - Tankönyv. 2 kötetben. - M . : Helios ARV, 2003. - T. 2. - ISBN 8-85438-072-2 .
A. Egorov. Pisot számok // Kvant . - 2005. - 5. sz . - S. 8-13 .
Chebrakov Yu. V. fejezet 2.7. Ismétlődő egyenletek // A mágikus mátrixok elmélete. A TMM-1 kiadása . - Szentpétervár. , 2010.

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor