Konvergenciakritérium előjel-pozitív sorozatokhoz

A pozitív számsorok konvergenciájának kritériuma a pozitív számsorok konvergenciájának fő jele . Azt állítja, hogy egy pozitív sorozat akkor és csak akkor konvergál, ha részösszegeinek sorozata felülről korlátos. $\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ $S(n)=\összeg _{{k=1}}^{n}a_{k}$

Bizonyítás

Egyrészt, mivel a sorozatok konvergálnak, a részösszegek sorozatának van határa. Ezért korlátozott. Tehát alulról és felülről is korlátozott.

Fordítva, legyen adott egy pozitív sorozat, és felülről korlátos részösszegek sorozata. Vegye figyelembe, hogy a részösszegek sorrendje nem csökkenő:

S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0

Most a monoton sorozattétel tulajdonságát használjuk . Azt kapjuk, hogy a részösszegek sorozata konvergál (nem monoton csökken, és felülről korlátos), ezért a sorozat definíció szerint konvergál.

Irodalom

Yu. S. Bogdanov – Előadások a matematikai elemzésről – 2. rész – Minszk – BSU Kiadó. V. I. Lenin - 1978.

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele