Gyökerek az egységből

Az egység n - edik gyökei a polinom összetett gyökei , ahol . Más szóval, ezek komplex számok, amelyek n- edik hatványa egyenlő 1-gyel. Az általános algebrában egy polinom gyökét nem csak egy komplexben, hanem egy tetszőleges másik mezőben is figyelembe veszik , amelynek jellemzője nem a a polinom fokának osztója [1] . $x^n-1$ $n\geqslant 1$ $x^{n}-1$ $p$ $n$

Az egység gyökereit széles körben használják a matematikában, különösen a számelméletben , a gyors Fourier-transzformációban [2] , a mezőbővítések elméletében , az iránytűvel és vonalzóval történő konstrukciók elméletében , a csoportreprezentációkban .

Bemutató

Az összetett egységet trigonometrikus formában ábrázoljuk:

1=\cos 0+i\sin 0.

Ekkor a Moivre-formula szerint egy kifejezést kapunk az n- edik egységfok -edik gyökére : $k$ $u_{k}$

u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n))+i\sin {\frac {2\pi k}{n)),\quad k=0,1,\ pontok ,n-1.

Az egység gyökerei exponenciális formában is ábrázolhatók:

u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots ,n-1.

Ezekből a képletekből az következik, hogy az egység n- edik gyöke mindig pontosan , és mindegyik különböző. $n$

Példák

Az egység kocka gyökerei:

\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}} \jobb\}.

Az egység negyedik gyökere:

\left\{1,+i,-1,-i\right\}.

Az 5. gyökérhez 4 generátor tartozik, amelyek mindegyikének teljesítménye lefedi az 5. fokozat összes gyökerét:

{\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \))=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}} {8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.

A 6. gyökérhez csak két generátor van ( és ): $u_{1}$ $u_{5}$

\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\} .

Tulajdonságok

Geometriai tulajdonságok

Minden gyök modulusa 1. A komplex síkban az egységgyökök alkotják az egységkörbe írt szabályos sokszög csúcsait . Az egyik csúcs mindig összetett egység , vagy két valós gyök lehet, ha páros (egy és mínusz egy), vagy egy (egy), ha páratlan. Mindenesetre páros számú nem valós gyök van, szimmetrikusan helyezkednek el a vízszintes tengely körül. Ez utóbbi azt jelenti, hogy ha az egység gyöke, akkor a konjugált száma is egységgyök. $1+0i.$ $n$ $n$ $u_{k}$ ${\displaystyle {\overline {u_{k))))$

Legyen M egy tetszőleges pont az egységkörön, és ekkor az M -től az egység összes gyökétől mért távolságok négyzetes összege [3] . $n>1.$ $n$ $2n$

Algebrai tulajdonságok

Az egység gyökerei algebrai egész számok .

Az egység gyökerei szorzással kommutatív véges rendű csoportot alkotnak . Különösen az egységgyök bármely egész számú hatványa az egységgyöke is. A csoport minden elemének inverz eleme egybeesik a konjugátumával. A csoport semleges eleme a komplex egység. $n$

Az egységgyökök csoportja izomorf a maradékosztályok additív csoportjával, ebből következik, hogy ciklikus csoport; generátorként ( antiderivatív ) bármely olyan elemet vehetünk , amelynek indexe koprím . $\mathbb {Z} _{n}.$ $u_{k}$ $k$ $n$

Következmények:
- az elem mindig primitív (gyakran az egység fő gyökerének nevezik); $u_{1}$
- ha egy prímszám , akkor bármely gyök foka, kivéve , az egész csoportot lefedi (vagyis a gyök kivételével minden gyök antiderivatív); $n$ $\pm 1$ $\pm 1$
- a primitív gyökök száma , ahol az Euler függvény . $\varphi (n)$ $\varphi$

Ha , akkor az egység bármely primitív gyökére a következő képletek érvényesek : $n>1$ $u$

\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,

\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.

Kör alakú mezők

A körmező vagy az n fokú kör osztásának mezője egy olyan mező , amelyet a racionális számok mezőjéhez adunk az egység n- edik fokának primitív gyökével . A körmező a komplex számmező egy részmezeje ; tartalmazza az egység összes n- edik gyökét , valamint a rajtuk végzett aritmetikai műveletek eredményeit. $K_{n}=\mathbb {Q} (u)$ $\mathbb {Q}$ $u$

A körkörös mezők tanulmányozása jelentős szerepet játszott az algebrai egész számok elméletének, a számelméletnek és a Galois-elméletnek a megalkotásában és fejlesztésében .

Példa: formájú komplex számokból áll , ahol racionális számok. $K_{3}$ $a+b{\sqrt {3}}\,i$ $a,b$

Kronecker–Weber-tétel : A racionális számok területének minden véges Abelvalamilyen körmezőben található.

Általánosítások

Az n- edik fokú egységgyök nem csak komplex számokra, hanem bármely más algebrai mezőre is meghatározható az egyenlet megoldásaként , ahol a mező egysége . Az egység gyökerei bármely mezőben léteznek, és a mező multiplikatív csoportjának alcsoportját alkotják . Ezzel szemben a multiplikatív mezőcsoport bármely véges részcsoportja csak az egységből származó gyököket tartalmazza, és ciklikus [4] . $K$ $x^{n}=1$ $egy$ $K$ $K$ $K$

Ha a mező karakterisztikája nem nulla, akkor az egységből származó gyökcsoport a nullával együtt véges mezőt alkot .

Történelem

Az egység gyökereinek kutatási eszközként való széles körű alkalmazását Gauss indította el . " Aritmetikai vizsgálatok " (1801) című monográfiájában először oldotta meg azt az ősi problémát, hogy egy kört n egyenlő részre osztanak fel egy körzővel és egy egyenes éllel (vagy ami ugyanaz, egy n oldalú szabályos sokszöget). Az egységgyökök felhasználásával Gauss a problémát a körosztási egyenlet megoldására redukálta:

x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.

Gauss további érvelése azt mutatta, hogy a problémának csak akkor van megoldása, ha n -t ábrázolhatjuk . A Gauss-féle megközelítést később Lagrange és Jacobi alkalmazta . Cauchy az egység gyökereit az algebrai egyenletek sok ismeretlenben való megoldásának általánosabb problémájának tanulmányozására alkalmazta (1847) [5] . $2^{2^{r}}+1$

A XX. század elején az absztrakt algebra megalkotása után fedezték fel az egység gyökereinek új alkalmazásait . Emmy Noether és Emil Artin használta ezt a fogalmat a mezőbővítések elméletében és a Galois-elmélet általánosításában [6] .

Lásd még

Irodalom

Bourbaki N. Algebra. Polinomok és mezők. Rendezett csoportok. - M . : Nauka, 1965. - S. 188 és tovább. — 299 p.
Van der Waerden B. L. Algebra. Definíciók, tételek, képletek . - Szentpétervár. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine -nál
Gyökér // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 15.
Milne, James S. Algebrai számelmélet . Tanfolyami jegyzetek (1998). Archiválva az eredetiből 2012. április 2-án. (határozatlan)

Linkek

Az egység összetett n-edik gyöke és egyenletek megoldása.

Jegyzetek

↑ Bourbaki, 1965 , p. 188-189.
↑ Diszkrét Fourier transzformáció . Letöltve: 2013. április 9. Az eredetiből archiválva : 2013. június 18. (határozatlan)
↑ Duzhin S. V., Chebotarevskii B. D. A díszektől a differenciálegyenletekig. Népszerű bevezetés a transzformációs csoportok elméletébe. - Minszk: Felsőiskola, 1988. - S. 34. - 253 p. - (A szórakoztató tudomány világa). — ISBN 5-339-00101-6 .
↑ Matematikai enciklopédia, 1982 .
↑ Vileitner G. A matematika története Descartes-tól a 19. század közepéig . - M. : GIFML, 1960. - S. 87-89, 380 .. - 468 p.
↑ Van der Waerden. Algebra, 2004 , p. 150-155 és köv.

Algebrai számok
Fajták	Algebrai egész számok Csebisev csomópontok Konstruktív számok Eisenstein egésze Gauss-egészek Kummer gyűrű Perron számok Piso-Vijayaraghavan számok Kvadratikus irracionalitás ℚ Gyökerek az egységből Salem számok
Különleges	Conway állandó 3 √ 2 φ δS_ _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2