Konjunkció

Konjunkció
ÉS
Venn-diagram
Meghatározás	$xy$
igazságtáblázat	$(0001)$
logikai kapu
normál formák
Szétválasztó	$xy$
kötőhártya	$xy$
Zhegalkin polinom	$xy$
Tagság az előre befejezett osztályokban
0-t takarít meg	Igen
Megment 1	Igen
Monoton	Igen
lineáris	Nem
Önkettős	Nem

A kötőszó (a latin conjunctio szóból – „egyesülés, kapcsolat”) egy logikai művelet , jelentése a lehető legközelebb áll az „és” unióhoz. Szinonimák: logikai "ÉS" , logikai szorzás , néha csak "ÉS" [1] .

A konjunkció lehet bináris művelet (azaz két operandusa van), háromtagú művelet (vagyis három operandusa van) vagy n-es művelet (azaz n operandusa van).

Jelölés

A kötőművelet leggyakoribb jelölése a következő:

$a\land b,\quad a\And \And b,\quad a\And b,\quad a\cdot b,\quad a\,\,\mathrm {AND} \,\,b,\ quad\min(a,b)$

(pontot a logikai szorzás jeleként használva ez a jel, akárcsak a közönséges algebrai szorzásnál , elhagyható: [1] ). $ab$

Ugyanakkor az ISO 31-11 szabvány által javasolt jelölés a legelterjedtebb a modern matematikában és matematikai logikában , ahol azonban versenyez az & jellel & [1] ; ez utóbbi a Kr.e. I. században jelent meg. e. a latin union et 'and' grafikus rövidítéseként ( ligatúra ) már Jacob és Johann Bernoulli is használta 1685-ben logikai láncszemként (bennük azonban nem állításokat , hanem fogalmakat kapcsolt össze ) [2] [3] . George Boole (a szimbolikus módszer logikára való szisztematikus alkalmazásának más úttörői követték: W. S. Jevons , E. Schroeder , P. S. Poretsky ) az előjellel való konjunkciót - közönséges szorzásként jelölte [4] . A ⋀ (fordított diszjunkciós jel) szimbólumot a konjunkció szimbólumaként Arend Heyting (1930) javasolta [5] . $a\föld b$ $\cdot$

A ⋀konjunkció jelölését a korai Algol 60 programozási nyelvben is használták [6] . Mivel azonban a legtöbb számítógépen használt szabványos karakterkészletekből (például ASCII -ben vagy EBCDIC -ben) nincs megfelelő karakter , a legszélesebb körben használt programozási nyelvek más jelöléseket adtak a kötőszóhoz. Így a Fortran IV -ben, illetve a PL/I -ben a és elnevezést használták (utóbbi cseréjének lehetőségével a kulcsszóval ) [7] ; Pascal és Ada a fenntartott szót használja [8] [9] ; a C és C++ nyelvek a jelölést használják bitenkénti és logikai konjunkcióra [10] ). .AND.& AND and &&&

Végül a kétértékű logika igazságértékeinek természetes sorrendjében (amikor azt feltételezzük, hogy ) kiderül, hogy így az kötőszó a minimum számítási műveletének speciális esete ; ez nyitja meg a legtermészetesebb módot a konjunkció működésének meghatározására sokértékű logikai rendszerekben (bár néha a konjunkció általánosításának más módjai is szóba kerülnek - például a k értékű logika esetében, amelyben az igazságértékek halmaza a természetes számok félcsoportjának kezdeti szegmense képviseli ) [11] [12] . $0<1$ $(a\land b)\,=\,\min(a,b).$ $(a\land b)\,=\,ab\;(\operátornév {mod} k)$ $\{0,\dots ,k-1\}$ $\mathbb {N}$

Boole-algebra

Meghatározás. A MIN
logikai függvényt a kétértékű (bináris) logikában konjunkciónak nevezik ( logikai "ÉS" , logikai szorzás vagy egyszerűen "ÉS" ).

Szabály: Az eredmény egyenlő a legkisebb operandussal.

Leírás.
A Boole-algebrában a kötőszó két, három vagy több változó függvénye (ezek egy művelet operandusai is, egy függvény argumentumai is). A változók értéket vehetnek fel egy halmazból . Az eredmény is a halmazhoz tartozik . Az eredményt egy egyszerű szabály vagy az igazságtáblázat alapján számítjuk ki . Értékek helyett bármilyen más megfelelő karakterpár használható, például vagy vagy „hamis”, „igaz”, de ilyen megjelölésnél a szenioritást is meg kell határozni, például , digitális megjelöléssel, szenioritás természetes . Szabály: az eredmény , ha minden operandus egyenlő ; minden más esetben az eredmény . $\{0,1\}$ $\{0,1\}$ $0.1$ $false,true$ $F,T$ $igaz > hamis$ $1 > 0$
$egy$ $egy$ $0$

Igazságtáblázatok:
bináris kötőszóhoz

$a$	$b$	$a\föld b$
$0$	$0$	$0$
$egy$	$0$	$0$
$0$	$egy$	$0$
$egy$	$egy$	$egy$

hármas kötőszóra

$a$	$b$	$c$	$a\land b\land c$
0	0	0	0
egy	0	0	0
0	egy	0	0
egy	egy	0	0
0	0	egy	0
egy	0	egy	0
0	egy	egy	0
egy	egy	egy	egy

A konjunkció a gyenge diszjunkcióhoz képest kommutatív , asszociatív és disztributív [13] .

Többértékű logika

A bináris logikában konjunkciónak nevezett műveletet a többértékű logikákban általában a minimális művelethez társítják : , ahol a a logika értéke; azonban más lehetőségek is lehetségesek a szokásos konjunkció általánosítására a beállított értékű esetre. Általában megpróbáljuk fenntartani a kompatibilitást a Boole-algebrával az és operandusok értékeinél . $min(a,b)$ $a,b\in \{0,\dots ,k-1\},$ $k$ $0$ $k-1$

Ennek a műveletminimumnak a neve bármilyen értékű logikában értelmes, beleértve a bináris logikát is, és a konjunkció , logikai "ÉS" , logikai szorzás és egyszerűen "AND" nevek jellemzőek a bináris logikára, és ritkábban használatosak, amikor áttér többértékű logikák.

Klasszikus logika

A klasszikus propozíciószámításban egy kötőszó tulajdonságait axiómák segítségével határozzuk meg . A klasszikus propozíciószámítás különböző axiómarendszerekkel adható meg, és ezek közül néhány az kötőszó tulajdonságait írja le. Az egyik leggyakoribb lehetőség 3 axiómát tartalmaz a konjunkcióra:
$a\land b\to a$
$a\land b\to b$
$a\to (b\to (a\land b))$

Ezen axiómák felhasználásával más, a kötőműveletet tartalmazó képleteket is be lehet bizonyítani. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a klasszikus propozíciós számításban az eredményt nem az operandusok értékéből számítják (mint a Boole-algebrában), hanem a képlet egészét kell igazolni az axiómák és a következtetési szabályok alapján.

Áramkör

A konjunkciós függvényt megvalósító logikai elemet illesztési áramkörnek nevezzük [13] . A tetszőleges számú bemenettel való összekapcsolás mnemonikus szabálya a következő: A kimenet a következő lesz:

"1" akkor és csak akkor, ha minden bemenetnek "1" van,
"0" akkor és csak akkor, ha legalább egy bemeneten "0" van

Halmazelmélet

A halmazelmélet szempontjából a konjunkció analóg a metszés műveletével .

Programozás

A számítógépes nyelvekben a kötőszó két fő változatát használják: logikai "ÉS" és bitenkénti (bitenkénti) "AND". Például a C/C++ nyelvekben a logikai ÉS-t az „&&”, a bitenkéntieket pedig az „&” szimbólummal jelöljük. A C# -ban használt terminológiában az "&" műveletet logikai "ÉS"-nek, az "&&" műveletet pedig feltételes "AND"-nak nevezik , mivel az operandusok értékei a számítás folytatásának feltételei. A Pascal/Delphi nyelvekben mindkét kötőszót a " és a " kulcsszó jelöli , és a művelet eredményét az operandusok típusa határozza meg. Ha az operandusok logikai típusúak (például Boolean), akkor a rendszer logikai műveletet hajt végre, ha egy egész szám (például bájt) bitenkénti művelet.

A logikai "ÉS" feltételes ugrásutasításokban vagy hasonló esetekben használatos, amikor egy eredmény vagy szükséges . Például: $false$ $igaz$

if ( a & b & c ) { /* néhány művelet */ };

Az összehasonlítás ebben az esetben a kifejezés végéig folytatódik, függetlenül a köztes eredményektől. A feltételes "ÉS" elve hasonló helyzetben:

a = hamis _ b = igaz ; c = igaz ; if ( a && b && c ) { /* néhány művelet */ };

A kifejezés igazságának ellenőrzése ebben az esetben az a változó ellenőrzése után leáll, mivel a további összehasonlításnak nincs értelme.

Az eredmény akkor lesz egyenlő , ha mindkét operandus egyenlő (nem egyenlő a numerikus típusoknál ). Minden más esetben az eredmény az lesz . $igaz$ $igaz$ $0$ $false$

Ebben az esetben a szokásos konvenciót alkalmazzuk: ha a bal oldali operandus értéke egyenlő , akkor a jobb oldali operandus értéke nem kerül kiszámításra (ehelyett lehet összetett képlet). Ez a konvenció felgyorsítja a program végrehajtását, és bizonyos esetekben hasznos technika. A Delphi fordító egy speciális direktívát támogat, amely tartalmazza $false$ $b$

{$B-}

vagy kikapcsolása

{$B+}

hasonló viselkedés. Például, ha a bal oldali operandus azt teszteli, hogy a jobb oldali operandus kiértékelhető-e:

if ( a != 0 && b / a > 3 ) { /* néhány művelet */ };

Ebben a példában a bal oldali operandus ellenőrzése miatt a jobb oldali operandus soha nem osztódik nullával.

A bitenkénti "AND" a szokásos logikai algebrai műveletet hajtja végre a bal és a jobb oldali operandus összes bitjén páronként. Például,

ha
a =	${\displaystyle 01100101_{2))$
b=	$00101001_{2}$
akkor
a és b =	${\displaystyle 00100001_{2))$

Kapcsolat a természetes nyelvvel

A kötőszó és az „és” kötőszó közötti hasonlóságra a természetes nyelvben gyakran rámutatnak. Az " A és B " összetett állítás akkor tekinthető igaznak, ha mind A , mind B állítás igaz , ellenkező esetben az összetett állítás hamis. Ez pontosan megfelel a konjunkció definíciójának a Boole-algebrában, ha az "igaz" -ot jelöli , a "hamis" pedig a -val . Ugyanakkor gyakran előfordul a szokásos természetes nyelvi kétértelműségi záradék is . Például a kontextustól függően az „és” unió hordozhat egy „és akkor”, „és ezért”, „és akkor” további konnotációt. A természetes nyelvi logika és a matematikai logika közötti különbséget szellemesen fejezte ki Stephen Kleene amerikai matematikus , megjegyezve, hogy a természetes nyelven "Mary férjhez ment és babát szült" nem azonos azzal, hogy "Mary babát szült és férjhez ment". $egy$ $0$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Kondakov, 1975 , p. 264-266, 534-536.
↑ „és” jel . // Weboldal Online etimológiai szótár . Letöltve: 2016. február 7. Az eredetiből archiválva : 2011. február 18.. (határozatlan)
↑ Kondakov, 1975 , p. 67.
↑ Styazhkin N. I. . A matematikai logika kialakulása. — M .: Nauka , 1967. — 508 p. - S. 321, 348, 352, 368.
↑ A halmazelmélet és -logikai szimbólumok legkorábbi felhasználásai . // Weboldal Jeff Miller weboldalak . Hozzáférés időpontja: 2016. február 7. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 21.. (határozatlan)
↑ Kondakov, 1975 , p. harminc.
↑ Pratt T. Programozási nyelvek: fejlesztés és megvalósítás. — M .: Mir , 1979. — 574 p. - S. 352, 439.
↑ Grogono P. . Programozás Pascalban. — M .: Mir , 1982. — 384 p. - S. 51.
↑ Wegner P. . Programozás Ada nyelven. — M .: Mir , 1983. — 240 p. - S. 68.
↑ Ellis M. , Stroustrup B. . Útmutató a C++ programozási nyelvhez megjegyzésekkel. — M .: Mir , 1992. — 445 p. — ISBN 5-03-002868-4 . - S. 65, 86-87.
↑ Yablonsky S. V. . Bevezetés a diszkrét matematikába. — M .: Nauka , 1979. — 272 p. - S. 9-10, 37.
↑ Rvachev V. L. . Az R -függvények elmélete és néhány alkalmazása. - Kijev: Naukova Dumka , 1982. - 552 p. - S. 38, 66.
↑ 1 2 Kibernetikai szótár. 2. kiadás / Szerk. V. S. Mihalevics. - Kijev: Ukrán Szovjet Enciklopédia , 1989. - 751 p. - ISBN 5-88500-008-5 .

Irodalom

Kondakov N.I. Logikai szótár-referenciakönyv. 2. kiadás . — M .: Nauka , 1975. — 720 p.

Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4164990-4

Boole-műveletek
Disjunkció (VAGY) kötőszó (ÉS) Megtagadás (NEM) Exkluzív "vagy" (XOR) Pierce Arrow (NOR) Schaeffer stroke (NAND) Egyenértékűség (XNOR) következmény Feltételes diszjunkció (háromtagú)

Logikák

Filozófia • Szemantika • Szintaxis • Történelem

Logikai csoportok

klasszikus logika	Arisztotelészi logika propozíciós logika Elsőrendű logika Másodrendű logika magasabb rendű logika
matematikai logika	halmazelmélet Modellelmélet Kiszámíthatóság elmélet Bizonyításelmélet és konstruktív matematika Lineáris logika formális rendszer természetes következtetés Sorozatszámítás Logikai algebra Releváns logika Deontikus logika intuicionista logika Lambek kalkulus
Nem klasszikus logika	intuicionizmus zavaros logika Szubstrukturális logika logika Leírás logika Többértékű logika Logikai szintézis Kötési logika Időbeli logika Modális logika ( Hibrid logika ) episztemikus logika
Filozófiai logika	Kritikus gondolkodás informális logika deduktív érvelés

Alkatrészek

Logikai szimbólumok listája