Differenciál (matematika)

A differenciál (a latin differentia szóból: „különbség, különbség”) egy függvény növekményének lineáris része .

Jelölés

Általában egy függvény differenciálját jelöljük . Egyes szerzők szívesebben használják a latin szót annak hangsúlyozására, hogy a differenciál egy operátor . $f$ $df$ ${{\rm {d}}}f$

Az egy ponton lévő különbséget , néha vagy vagy , valamint -vel jelöljük , ha a jelentés világos a szövegkörnyezetből. $x_{0}$ $d_{{x_{0}}}f$ $df_{{x_{0}}}}$ $df[x_{0}]$ $df$ $x_{0}$

Ennek megfelelően a differenciál értékét a pontban jelölhetjük , és néha vagy , valamint , ha a jelentés világos a szövegkörnyezetből. $x_{0}$ $h$ $d_{{x_{0}}}f(h)$ $df_{{x_{0}}}(h)$ $df[x_{0}](h)$ $df(h)$ $x_{0}$

A differenciáljel használata

A differenciáljelet az integrál kifejezésében használjuk . Ebben az esetben néha (és nem teljesen helyesen) a differenciál az integrál definíciójának részeként kerül bevezetésre $\int f(x)\, dx$ $dx$ .
Szintén a differenciáljelet használják a Leibniz -jelölésben a deriváltra . Ezt a jelölést az a tény indokolja, hogy egy függvény és az azonos függvény differenciáljára igaz az összefüggés: $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$ $f$ $x$ $d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.$

Definíciók

Funkciókhoz

Egy függvény differenciálja egy pontban lineáris függvényként definiálható $f\colon {\mathbb {R}}\ to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$

d_{{x_{0}}}f(h)=f'(x_{0})h,

ahol a pont deriváltját jelöli , és az argumentum növekményét jelenti, amikor -ból -be lép . $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $h$ $x_{0}$ $x_{0}+h$

Így két argumentum függvénye van . $df$ $df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{{x_{0}}}f(h)$

A differenciál definiálható közvetlenül, azaz derivált definíció nélkül olyan függvényként , amely lineárisan függ -től , és amelyre igaz a következő összefüggés $d_{{x_{0}}}f(h)$ $h$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Kijelzőkhöz

A leképezés differenciálja egy pontban olyan lineáris leképezés , hogy a feltétel $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\ to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\ to {\mathbb {R}}^{m}$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Kapcsolódó definíciók

A leképezést egy ponton differenciálhatónak nevezzük , ha a differenciál definiálva van . $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\ to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\ to {\mathbb {R}}^{m}$

Tulajdonságok

Egy lineáris operátor mátrixa egyenlő a Jacobi-mátrixszal ; elemei parciális származékok . $d_{{x_{0}}}f$ $f$
- Megjegyzendő, hogy a Jacobi-mátrix definiálható olyan ponton, ahol a differenciál nincs definiálva.
Egy függvény differenciálját a gradiensével a következő konstitutív összefüggés köti össze $f$ $\nabla f$ $d_{{x_{0}}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

Történelem

A „differenciál” kifejezést Leibniz vezette be . Eredetileg a „ végtelen kicsi” jelölésére használták – olyan mennyiséget, amely kisebb bármely véges mennyiségnél, de mégsem egyenlő nullával. Ez a nézet a matematika legtöbb ágában kényelmetlennek bizonyult, kivéve a nem szabványos elemzést . $dx$

Változatok és általánosítások

A differenciál fogalma többet tartalmaz, mint egy függvény vagy leképezés differenciálja. Általánosítható, hogy különböző fontos entitásokat adjon meg a funkcionális elemzésben , a differenciálgeometriában, a méréselméletben, a nem szabványos elemzésben, az algebrai geometriában stb.

Irodalom

G. M. Fikhtengolts "A differenciál- és integrálszámítás menete"

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég a világ körül Kis Brockhaus és Efron Treccani

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák

Infinitezimals és infinitezimals kalkulus
Sztori	Leibniz-jelölés Integrált jel Az oszthatatlanok módszere
Kapcsolódó úti célok	Egyéni elemzés
Formalizmusok	Differenciális
Fogalmak	Szabványos számrész Átmeneti elv Hiperegész Növekedési tétel Monad Belső készlet Levi-Civita mező Hipervéges halmaz A folytonosság törvénye túlcsordulás Mikrokontinuitás A homogenitás transzcendens törvénye
Tudósok	Archimedes Leibniz Robinson Tanya Cauchy Euler
Irodalom	Infinitezimálisok elemzése Elemi számítások Elemző tanfolyam

A latin D betű származékai , d
Levelek	РР ð̤ ð̞ Ꟈꟈ Ďď d̯ Đđ Ɖɖ Ɗɗ Ƌƌ Ḋḋ Ḍḍ Ḏḏ Ḑḑ D̦d̦ D̂d̂ D̓d̓ d̈ D̤d̤ Ḓḓ Dd Ḍ́ḍ́ D̲d̲ d̪ d͔ d͕ ȡ ᶑ ᶑ̥ ᴅ ᴆ ᴅ́ ᴅ̣ ᴅ͔ ᴅ͕ ᵭ ꝱ ȸ e̥ ᶁ Ǳǲǳ Ǆǅǆ ʣ ʤ 𝼒 𝼙 ꭦ ʥ Ꝺꝺ
Szimbólumok	ⅅ/ⅆ ∂ ₫ ₰ 𝄊 𝄉 Ⓓⓓ ⒟