Lee csoport

A Hazugság csoport egy mező felett ( vagy ) egy csoport , amely egy differenciálható (sima) feletti sokaság szerkezetével van felszerelve , térképekkel és a következőképpen definiálva: $K$ $K=\mathbb{R}$ $\mathbb {C}$ $G$ $K$ $\operátornév {mul}$ $\operátornév {inv}$

\operátornév {mul}\colon G\times G\rightarrow G;\ \operátornév {mul}\,(x,y)=xy

\operátornév {inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operátornév {inv}\,x=x^{{-1}}

simaak (mező esetén megkövetelik , hogy a bevezetett leképezések holomorf ). $\mathbb {C}$

Más szavakkal, egy topológiai csoportot Lie csoportnak nevezünk, ha paraméteres , és ha a szorzási törvényt meghatározó függvény valós-analitikus [1] .

Bármely komplex dimenziós hazugságcsoport valódi hazugság dimenziócsoport . Bármely összetett Lie-csoport definíció szerint egy analitikai sokaság, de a valós esetben bármely Lie-csoporton létezik egy analitikus atlasz , amelyben a és a leképezéseket analitikus függvények írják . $n$ $2n$ $\operátornév {mul}$ $\operátornév {inv}$

A Lie-csoportok tanulmányozását Wilhelm Killing és Sophus Lie önállóan kezdte el .

A hazugságcsoportok természetesen akkor keletkeznek, ha folytonos szimmetriákat veszünk figyelembe . Például a síkmozgások egy Lie csoportot alkotnak. A hazugságcsoportok a szerkezetgazdagság értelmében a sokaság legjobbjai, és mint ilyenek, nagyon fontosak a differenciálgeometriában és a topológiában . Fontos szerepet játszanak a geometriában, a fizikában és a differenciálegyenletek elméletében is .

Hazugságcsoport típusok

A hazugságcsoportokat algebrai tulajdonságaik ( egyszerűség , félegyszerűség , eldönthetőség , nilpotencia , Abeli - féleség ), valamint topológiai tulajdonságaik ( összekapcsoltság , egyszerűen összekapcsoltság és tömörség ) alapján osztályozzuk.

Hazugság alcsoportok

A Lie csoport egy alcsoportját Lie alcsoportnak nevezzük, ha a varieté egy alváltozata , azaz van olyan , amelyet minden pontjának szomszédságában egy rangú függvényrendszer határoz meg . Nem minden alcsoport hazugság alcsoport: például a tóruszban lévő alakpárok alcsoportja nem hazugság alcsoport (a tórusz mindenütt sűrű tekercselését adja). A hazugság alcsoport mindig zárt. Valós esetben fordítva is igaz: a zárt alcsoport egy hazugság alcsoport. Komplex esetben ez nem így van: vannak egy komplex Lie-csoport valós Lie-alcsoportjai, amelyek páratlan dimenzióval rendelkeznek, például az invertálható komplex mátrixok csoportjában lévő unitárius mátrixok . $H$ $G$ $G$ $m>0$ $H$ $p$ $k$ $p$ $m$ $(e^{{ix}},e^{{i\pi x}})$ $\{(e^{{ix}},e^{{iy}})\mid x,y\in \mathbb{R} \}$ $2\szer 2$

Legyen a Lie csoport Hazugság alcsoportja . A kosethalmaz (akár bal, akár jobb) egyedileg felruházható egy differenciálható sokaság szerkezetével oly módon, hogy a kanonikus vetület differenciálható leképezés. Ebben az esetben egy lokálisan triviális köteget kapunk, és ha a normál részcsoportja , akkor a hányadoscsoport egy Lie csoport. $H$ $G$ $G/H$ $H$

Homomorfizmusok és izomorfizmusok

Legyen és legyen Lie csoportok ugyanazon a mezőn. A Lie-csoportok homomorfizmusa egy olyan leképezés , amely csoportok homomorfizmusa és egyben sokaság analitikus leképezése (megmutatható, hogy ez utóbbi feltétel teljesüléséhez elegendő a folytonosság ). A Lie-csoportok homomorfizmusainak összetétele ismét a Lie-csoportok homomorfizmusa. Az összes valós és összes összetett Lie-csoport osztályai a megfelelő homomorfizmusokkal együtt alkotják a és kategóriákat . A hazugságcsoport-homomorfizmust izomorfizmusnak nevezzük , ha van inverze. Két Lie-csoportot, amelyek között izomorfizmus van, mint az absztrakt algebrában, izomorfnak mondjuk. Szokás szerint a Lie-csoportokat csak az izomorfizmusig különböztetjük meg. Például a síkforgatások Lie csoportja az összetétel művelettel és a komplex számok Lie csoportja a szorzási művelettel modulo one izomorf. $G$ $H$ $f\kettőspont G\H-ig$ $f$ $\operátornév {Lie}_{\mathbb{R} }$ $\operatorname {Lie} _{\mathbb {C} }$ $SO(2)$ $U(1)$

Egy tórusz irracionális tekercselésének példája azt mutatja, hogy a hazugságcsoport homomorfizmus alatti képe nem mindig hazugság alcsoport. Azonban a hazugság alcsoport inverz képe egy homomorfizmus alatt mindig hazugság alcsoport.

Egy mező feletti Lie-csoport homomorfizmusát a vektortér nem-degenerált lineáris transzformációinak csoportjába egy mező felett a csoport térbeli reprezentációjának nevezzük . $G$ $K$ $GL(V)$ $V$ $K$ $G$ $V$

Hazugságcsoportok akciói

A hazugságcsoportok gyakran valamilyen struktúra szimmetriájaként működnek valamilyen sokaságon, és ezért természetes, hogy a hazugságcsoportok különféle sokaságon gyakorolt hatásainak vizsgálata az elmélet fontos részét képezi. Egy G Lie-csoportról azt mondjuk, hogy egy sima M sokaságra hat, ha a : G → Diff M csoporthomomorfizmus adott , ahol Diff M az M diffeomorfizmuscsoportja . Így a G csoport minden g elemének meg kell felelnie az M sokaság ag diffeomorf transzformációjának , és az elemek szorzatának és az inverz elem vételének meg kell felelnie a diffeomorfizmusok és az inverz diffeomorfizmus összetételének. Ha a szövegkörnyezetből egyértelműen kiderül, hogy melyik cselekvésről beszélünk, akkor a g elem által meghatározott diffeomorfizmus alatti m pont a g ( m ) képét egyszerűen gm jelöli .

A hazugság csoport természetesen önmagára hat balra és jobbra eltolással, valamint ragozással. Ezeket a műveleteket hagyományosan l , r és a jelöléssel jelölik :

l_{g}(h)=gh

r_{g}(h)=hg

{\displaystyle a_{g}(h)=ghg^{-1))

Egy másik példa a műveletre egy Hazugság csoport művelete ennek a csoportnak a kosetjainak halmazán valamely hazugság alcsoporthoz képest : $G$ $N\leq G$

g(hN)=(gh)N

Egy Lie csoport műveletét egy differenciálható M sokaságon tranzitívnak nevezzük , ha bármely pont egy másik elemhez eljuttatható . Azt a sokaságot, amelyen egy Lie-csoport tranzitív hatása adott , e csoport homogén terének nevezzük . A homogén terek a geometria számos ágában fontos szerepet játszanak. A csoport homogén tere diffeomorf , ahol egy tetszőleges pont stabilizátora . $G$ $M$ $G$ $G$ $G/{\mathop {\rm {st)) }(x)$ ${\mathop {\rm {st)) }(x)$

A Lie-csoport Lie-algebrája

A Lie algebra teljesen meghatározza Lie csoportjának lokális szerkezetét.

Egy Lie csoport vektormezőjét invariánsnak mondjuk, ha balra eltolással ingázik, azaz. $G$

X(l_{g}^{*}(f))=l_{g}^{*}(X(f))

az összes és minden differenciálható függvényre .

g

G

f

Ezzel egyenértékűen

{\displaystyle dl_{g}X_{p}=(l_{g})_{*}X_{p}=X_{gp))

mindenkinek , tól .

p

g

G

Nyilvánvaló, hogy egy Lie csoport bármely bal oldali invariáns vektormezőjét teljes mértékben meghatározza egységnyi értéke. Ellenkezőleg, ha az érintőtérben egy tetszőleges vektort egységre állítunk, balra eltolásokkal szétteríthetjük az egész csoportra. Egy az egyhez egyezést kapunk az azonosságnál lévő csoport érintőtere és a bal oldali invariáns vektormezők tere között. $x$ ${\displaystyle X_{e))$ $x$ $T_{e}G$

A bal oldali invariáns vektormezők Lie zárójele egy bal invariáns vektormező lesz. Ezért egy Lie algebra . Ezt az algebrát a csoport Lie algebrájának nevezik . (Általában az algebrát a megfelelő kis gótikus betűvel jelölik.) $[X,Y]$ $T_{e}G$ $\mathfrak{g}$ $G$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Zhelobenko, 1970 , p. 27.

Irodalom

Hazugságcsoportelmélet // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
Vinberg E. B., Onishchik A. L. Szeminárium a hazugságcsoportokról és az algebrai csoportokról. 1988, 1995
A tudomány és a technológia eredményei. A matematika modern problémái. alapvető irányok. T.20. Hazugságcsoportok és Lie-algebrák - 1. - M.: VINITI, 1988.
Adams JF előadások a hazugságcsoportokról. - M.: Nauka, 1979.
Bourbaki N. Lie csoportok és algebrák. fejezet I-III. — M.: Mir, 1976. — 496 p.
Bourbaki N. Lie csoportok és algebrák. fejezet IX. — M.: Mir, 1986. — 174 p.
Zhelobenko D. P. Kompakt hazugság csoportok és reprezentációik. — M .: Nauka, 1970. — 664 p.
Postnikov M. M. Lie csoportok és algebrák. — M .: Nauka, 1982. — 447 p. — (Előadások a geometriáról. V. félév).

Fizikai és matematikai könyvtári források archiválva 2007. július 14-én az EqWorld webhely Wayback Machine -jén World of Mathematical Equations Archivált 2008. október 3-án a Wayback Machine -nél :

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció