A félnagytengely a kúpmetszet segítségével kialakított objektumok egyik fő geometriai paramétere.
Az ellipszis fő tengelye a legnagyobb átmérője - egy szegmens, amely áthalad a központon és két gócon. A fél-nagy tengely ennek a távolságnak a fele, és az ellipszis közepétől a fókuszon keresztül a széléig fut.
A fő féltengelyhez képest 90 ° -os szögben a kis féltengely található - az ellipszis középpontjától a széléig mért minimális távolság. Egy ellipszis - kör - speciális esetben a nagy és a kis féltengely egyenlő, és sugarak. Így a nagy és kis féltengelyeket tekinthetjük valamiféle ellipszissugárnak.
A fél-nagytengely hossza az excentricitáson , a fókuszparaméteren és a gyújtótávolságon (a fókuszpontok közötti távolság fele) keresztül kapcsolódik a mellék-féltengely hosszához , az alábbiak szerint:
A fél-nagy tengely az ellipszis bármely pontja és a fókuszpontjai közötti távolságok számtani átlaga .
Figyelembe véve az egyenletet poláris koordinátákban , egy ponttal az origóban (a póluson) és egy sugárral, amely ebből a pontból indul ki (a poláris tengely):
Megkapjuk az átlagértékeket és a fél-főtengelyt
Ellipszissorozat határértékeként egy parabolát kaphatunk, ahol az egyik fókusz állandó marad, a másikat pedig a végtelenbe visszahúzzuk, állandó maradva. Így, és hajlamosak a végtelenségig, és gyorsabban, mint .
A hiperbola félnagytengelye a hiperbola két ága közötti minimális távolság fele, a tengely pozitív és negatív oldalán (az origóhoz képest balra és jobbra). A pozitív oldalon található ágnál a féltengely egyenlő lesz:
Ha a kúpmetszet és az excentricitás segítségével fejezzük ki, akkor a kifejezés a következő alakot ölti:
.A hiperbola nagytengelyét tartalmazó egyenest a hiperbola keresztirányú tengelyének nevezzük . [egy]
Az égi mechanikában a kis testek keringési periódusát egy nagyobb központi test körül elliptikus vagy kör alakú pályán a következő képlettel számítják ki:
ahol:
a pálya fél-nagy tengelyének mérete a standard gravitációs paraméter (a gravitációs állandó és a tárgy tömegének szorzata )Megjegyzendő, hogy ebben a képletben minden ellipszis esetén a forgási periódust a fél-nagy tengely értéke határozza meg, függetlenül az excentricitástól.
A csillagászatban a fél-nagy tengely a keringési periódussal együtt a kozmikus test pályájának egyik legfontosabb keringési eleme.
A Naprendszer objektumai esetében a fél- nagy tengely a keringési periódushoz kapcsolódik Kepler harmadik törvénye szerint .
ahol:
a keringési periódus években; a fél-főtengely csillagászati egységekben .Ez a kifejezés Isaac Newton kéttest -probléma általános megoldásának egy speciális esete :
ahol:
a gravitációs állandó a központi test tömege a körülötte keringő műhold tömege. A műhold tömege általában olyan kicsi a központi test tömegéhez képest, hogy elhanyagolható. Ezért, miután elvégeztük a megfelelő egyszerűsítéseket ebben a képletben, ezt a képletet egyszerűsített formában kapjuk meg, amelyet fent adtunk meg.A műhold pályája a központi testtel közös tömegközéppont (baricentrum) körül ellipszis. A fél-nagy tengelyt a csillagászatban mindig a bolygó és a csillag közötti átlagos távolsághoz viszonyítva használják, ennek eredményeként a Naprendszer bolygóinak pályája a heliocentrikus rendszerhez tartozik , nem pedig a mozgásrendszerhez. a tömegközéppont körül. Ezt a különbséget legjobban a Föld-Hold rendszer példája szemlélteti. A tömegarány ebben az esetben 81,30059. A Hold geocentrikus pályájának fél- főtengelye 384 400 km , míg a Hold távolsága a Föld-Hold rendszer tömegközéppontjához viszonyítva 379 730 km - a Hold tömegének hatására a A tömegközéppont nem a Föld középpontjában van, hanem 4670 km távolságra van tőle. Ennek eredményeként a Hold átlagos keringési sebessége a tömegközépponthoz viszonyítva 1,010 km/s, a Föld átlagsebessége 0,012 km/s. E sebességek összege adja a Hold keringési sebességét 1,022 km/s; ugyanazt az értéket kaphatjuk meg, ha a Hold mozgását a Föld középpontjához viszonyítva, nem pedig a tömegközépponthoz viszonyítjuk.
Gyakran mondják, hogy a fél-nagy tengely a központi és a keringő test közötti átlagos távolság. Ez nem teljesen igaz, mivel az átlagos távolság különböző értékekként értelmezhető - attól függően, hogy milyen értékkel készül az átlag:
Az égi mechanikában a félnagytengelyt a pályaállapotvektorok módszerével lehet kiszámítani :
elliptikus pályákhoz
hiperbolikus pályára
és
és
( standard gravitációs paraméter ), ahol:
a műhold keringési sebessége a sebességvektor alapján , - a műhold helyzetvektora a referenciakeret koordinátáiban, amelyhez képest a pálya elemeit ki kell számítani (például geocentrikus az egyenlítői síkban - a Föld körüli pályán, vagy heliocentrikus az ekliptikus síkban - kering a Nap körül), a gravitációs állandó , és a testek tömegei.A fél-nagy tengelyt a teljes tömegből és a fajlagos energiából számítják ki, függetlenül a pálya excentricitás értékétől.
A bolygók keringését mindig az ellipszisek kiváló példájaként adjuk meg ( Kepler első törvénye ). A nagy- és kisféltengelyek közötti minimális különbség azonban azt mutatja, hogy gyakorlatilag kör alakúak. Ez a különbség (vagy arány) az excentricitáson alapul, és a következőképpen számítható ki , ami nagyon kis értékeket ad a tipikus bolygóexcentricitásokhoz. A pályák jelentős ellipticitásának feltételezésének oka valószínűleg az aphelion és a perihelion közötti sokkal nagyobb különbségben rejlik. Ez a különbség (vagy arány) szintén az excentricitáson alapul, és a következőképpen számítható ki . Az aphelion és a perihelion közötti nagy különbség miatt Kepler második törvénye könnyen grafikusan ábrázolható.
Különcség | A fél- nagy tengely ( a.u. ) | b fél-minor tengely ( au ) | Különbség (%) | Perihelion ( a.u. ) | Aphelios ( a.e. ) | Különbség (%) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Higany | 0,206 | 0,38700 | 0,37870 | 2.2 | 0,307 | 0,467 | 52 |
Vénusz | 0,007 | 0,72300 | 0,72298 | 0,002 | 0,718 | 0,728 | 1.4 |
föld | 0,017 | 1.00000 | 0,99986 | 0,014 | 0,983 | 1.017 | 3.5 |
Mars | 0,093 | 1.52400 | 1,51740 | 0,44 | 1.382 | 1.666 | 21 |
Jupiter | 0,049 | 5.20440 | 5.19820 | 0.12 | 4.950 | 5.459 | tíz |
Szaturnusz | 0,057 | 9,58260 | 9,56730 | 0.16 | 9.041 | 10.124 | 12 |
Uránusz | 0,046 | 19.21840 | 19.19770 | 0.11 | 18.330 | 20.110 | 9.7 |
Neptun | 0,010 | 30.11000 | 30.10870 | 0,004 | 29.820 | 30.400 | 1.9 |
![]() |
---|
Égi mechanika | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||
|