Főtengely

A félnagytengely a kúpmetszet segítségével kialakított objektumok  egyik fő geometriai paramétere.

Ellipszis

Az ellipszis fő tengelye a legnagyobb átmérője - egy szegmens, amely áthalad a központon és két gócon. A fél-nagy tengely ennek a távolságnak a fele, és az ellipszis közepétől a fókuszon keresztül a széléig fut.

A fő féltengelyhez képest 90 ° -os szögben a kis féltengely található - az ellipszis középpontjától a széléig mért minimális távolság. Egy ellipszis - kör - speciális esetben a nagy és a kis féltengely egyenlő, és sugarak. Így a nagy és kis féltengelyeket tekinthetjük valamiféle ellipszissugárnak.

A fél-nagytengely hossza az excentricitáson , a fókuszparaméteren és a gyújtótávolságon (a fókuszpontok közötti távolság fele) keresztül kapcsolódik a mellék-féltengely hosszához , az alábbiak szerint:

A fél-nagy tengely az ellipszis bármely pontja és a fókuszpontjai közötti távolságok számtani átlaga .

Figyelembe véve az egyenletet poláris koordinátákban , egy ponttal az origóban (a póluson) és egy sugárral, amely ebből a pontból indul ki (a poláris tengely):

Megkapjuk az átlagértékeket és a fél-főtengelyt

Parabola

Ellipszissorozat határértékeként egy parabolát kaphatunk, ahol az egyik fókusz állandó marad, a másikat pedig a végtelenbe visszahúzzuk, állandó maradva. Így, és hajlamosak a végtelenségig, és gyorsabban, mint .

Hiperbola

A hiperbola félnagytengelye a hiperbola két ága közötti minimális távolság fele, a tengely pozitív és negatív oldalán (az origóhoz képest balra és jobbra). A pozitív oldalon található ágnál a féltengely egyenlő lesz:

Ha a kúpmetszet és az excentricitás segítségével fejezzük ki, akkor a kifejezés a következő alakot ölti:

.

A hiperbola nagytengelyét tartalmazó egyenest a hiperbola keresztirányú tengelyének nevezzük . [egy]

Csillagászat

Keringési periódus

Az égi mechanikában a kis testek keringési periódusát egy nagyobb központi test körül elliptikus vagy kör alakú pályán a következő képlettel számítják ki:

ahol:

 a pálya fél-nagy tengelyének mérete  a standard gravitációs paraméter (a gravitációs állandó és a tárgy tömegének szorzata )

Megjegyzendő, hogy ebben a képletben minden ellipszis esetén a forgási periódust a fél-nagy tengely értéke határozza meg, függetlenül az excentricitástól.

A csillagászatban a fél-nagy tengely a keringési periódussal együtt a kozmikus test pályájának egyik legfontosabb keringési eleme.

A Naprendszer objektumai esetében a fél- nagy tengely a keringési periódushoz kapcsolódik Kepler harmadik törvénye szerint .

ahol:

 a keringési periódus években;  a fél-főtengely csillagászati ​​egységekben .

Ez a kifejezés Isaac Newton kéttest -probléma általános megoldásának egy speciális esete :

ahol:

 a gravitációs állandó  a központi test tömege  a körülötte keringő műhold tömege. A műhold tömege általában olyan kicsi a központi test tömegéhez képest, hogy elhanyagolható. Ezért, miután elvégeztük a megfelelő egyszerűsítéseket ebben a képletben, ezt a képletet egyszerűsített formában kapjuk meg, amelyet fent adtunk meg.

A műhold pályája a központi testtel közös tömegközéppont (baricentrum) körül ellipszis. A fél-nagy tengelyt a csillagászatban mindig a bolygó és a csillag közötti átlagos távolsághoz viszonyítva használják, ennek eredményeként a Naprendszer bolygóinak pályája a heliocentrikus rendszerhez tartozik , nem pedig a mozgásrendszerhez. a tömegközéppont körül. Ezt a különbséget legjobban a Föld-Hold rendszer példája szemlélteti. A tömegarány ebben az esetben 81,30059. A Hold geocentrikus pályájának fél- főtengelye 384 400 km , míg a Hold távolsága a Föld-Hold rendszer tömegközéppontjához viszonyítva 379 730 km  - a Hold tömegének hatására a A tömegközéppont nem a Föld középpontjában van, hanem 4670 km távolságra van tőle. Ennek eredményeként a Hold átlagos keringési sebessége a tömegközépponthoz viszonyítva 1,010 km/s, a Föld átlagsebessége 0,012 km/s. E sebességek összege adja a Hold keringési sebességét 1,022 km/s; ugyanazt az értéket kaphatjuk meg, ha a Hold mozgását a Föld középpontjához viszonyítva, nem pedig a tömegközépponthoz viszonyítjuk.

Átlagos távolság

Gyakran mondják, hogy a fél-nagy tengely a központi és a keringő test közötti átlagos távolság. Ez nem teljesen igaz, mivel az átlagos távolság különböző értékekként értelmezhető - attól függően, hogy milyen értékkel készül az átlag:

Energia; fél-nagy tengely számítása állapotvektorok módszerével

Az égi mechanikában a félnagytengelyt a pályaállapotvektorok módszerével lehet kiszámítani :

elliptikus pályákhoz

hiperbolikus pályára

és

( fajlagos pályaenergia )

és

( standard gravitációs paraméter ), ahol:

 a műhold keringési sebessége a sebességvektor alapján ,  - a műhold helyzetvektora a referenciakeret koordinátáiban, amelyhez képest a pálya elemeit ki kell számítani (például geocentrikus az egyenlítői síkban - a Föld körüli pályán, vagy heliocentrikus az ekliptikus síkban - kering a Nap körül),  a gravitációs állandó , és  a testek tömegei.

A fél-nagy tengelyt a teljes tömegből és a fajlagos energiából számítják ki, függetlenül a pálya excentricitás értékétől.

A bolygópályák nagy- és kisebb féltengelyei

A bolygók keringését mindig az ellipszisek kiváló példájaként adjuk meg ( Kepler első törvénye ). A nagy- és kisféltengelyek közötti minimális különbség azonban azt mutatja, hogy gyakorlatilag kör alakúak. Ez a különbség (vagy arány) az excentricitáson alapul, és a következőképpen számítható ki , ami nagyon kis értékeket ad a tipikus bolygóexcentricitásokhoz. A pályák jelentős ellipticitásának feltételezésének oka valószínűleg az aphelion és a perihelion közötti sokkal nagyobb különbségben rejlik. Ez a különbség (vagy arány) szintén az excentricitáson alapul, és a következőképpen számítható ki . Az aphelion és a perihelion közötti nagy különbség miatt Kepler második törvénye könnyen grafikusan ábrázolható.

Különcség A fél- nagy tengely ( a.u. ) b fél-minor tengely ( au ) Különbség (%) Perihelion ( a.u. ) Aphelios ( a.e. ) Különbség (%)
Higany 0,206 0,38700 0,37870 2.2 0,307 0,467 52
Vénusz 0,007 0,72300 0,72298 0,002 0,718 0,728 1.4
föld 0,017 1.00000 0,99986 0,014 0,983 1.017 3.5
Mars 0,093 1.52400 1,51740 0,44 1.382 1.666 21
Jupiter 0,049 5.20440 5.19820 0.12 4.950 5.459 tíz
Szaturnusz 0,057 9,58260 9,56730 0.16 9.041 10.124 12
Uránusz 0,046 19.21840 19.19770 0.11 18.330 20.110 9.7
Neptun 0,010 30.11000 30.10870 0,004 29.820 30.400 1.9

Lásd még

Jegyzetek

  1. 7.1 Alternatív jellemzés . Letöltve: 2010. szeptember 15. Az eredetiből archiválva : 2018. október 24..

Linkek