Tetraéder bináris csoportja

A matematikában a tetraéder bináris csoportja (2 T vagy <2,3,3>) egy 24. rendű nem Abel-csoport . A csoport a 2. rendű ciklikus csoport T (vagy (2,3,3)) 12-es rendű tetraédercsoportjának kiterjesztése , és a tetraédercsoport inverz képe a speciális 2:1 fedőhomomorfizmus ortogonális csoport a spinor csoport által . Ez azt jelenti, hogy a tetraéder bináris csoportja a Spin(3) csoport 24. rendű diszkrét alcsoportja . $\operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)$

A tetraéder bináris csoportját legegyszerűbben kvaternióegységek diszkrét alcsoportjaként írjuk le az izomorfizmus alatt , ahol Sp(1) a kvaternióegységek multiplikatív csoportja (lásd ennek a homomorfizmusnak a leírását a kvaterniók és térforgatás című cikkben ). $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$

Elemek

A tetraéder bináris csoportját az egész számok Hurwitz- gyűrűjében lévő egyek csoportjaként adjuk meg . 24 ilyen egység van

{\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2))(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\))

bármilyen karakterkombinációval.

Mind a 24 egység abszolút értékben egyenlő 1-gyel, ezért az Sp(1) kvaterniók egységcsoportjába tartozik. Ennek a 24 elemnek a konvex héja a 4 dimenziós térben egy konvex szabályos 4 dimenziós poliédert alkot, amelyet 24 cellás -nek neveznek .

Tulajdonságok

A 2 T tetraéder bináris csoportja illeszkedik a rövid egzakt sorozatba

1\to \{\pm 1\}\to 2T\to T\to 1.

Ez a sorozat nem hasad abban az értelemben, hogy 2 T nem félig közvetlen szorzata {±1} és T . Valójában nincs T -vel izomorf 2 T alcsoport .

A tetraéder bináris csoportja a tetraédercsoport fedőcsoportja . Ha a tetraédercsoportot négybetűs váltakozó csoportnak tekintjük, akkor a tetraéder bináris csoportja fedőcsoport lesz. $T\cong A_{4}$ $2T\cong {\widehat {A_{4))}.$

A 2 T csoport középpontja a {±1} alcsoport. A belső automorfizmus csoport izomorf , míg a teljes automorfizmus csoport izomorf [1] . $A_{4}$ $S_4$

A tetraéder bináris csoportja félig közvetlen szorzatként írható fel

{\displaystyle 2T=Q\rtimes \mathbb {Z} _{3))

ahol Q a 8 Lipschitz egységből és Z 3 -ból álló kvaterniócsoport , az ω = −1(1+ i + j + k ) által alkotott 3. rendű ciklikus csoport . A Z 3 csoport egy normál Q alcsoporton dolgozik konjugációként . Az ω-hoz való konjugáció Q automorfizmusa, amely i , j és k -t forgatja .

Megmutatható, hogy a tetraéder bináris csoportja izomorf az SL(2,3) lineáris csoporttal , az összes 2×2 mátrix csoportjával egy véges F 3 mezőn , egységdeterminánssal.

Csoportküldetés

A 2. T csoportnak a képlet által meghatározott feladata van

\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle

ami egyenértékű azzal

\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .

A generátorokat a képlet adja meg

s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+jk).

Alcsoportok

A 8 Lipschitz egységből álló kvaterniócsoport 2 T normál alcsoportját alkotja 3 indexszel . Ez a csoport és a középpont {±1} az egyetlen nem triviális normál alcsoport.

A 2. T csoport összes többi alcsoportja 3., 4. és 6. rendű ciklikus csoport , amelyet különböző elemek alkotnak.

Nagy méretek

Mivel a tetraédercsoport az n - szimplex forgásszimmetria csoportjára általánosít (mint az SO( n ) részcsoportja), van egy megfelelő magasabb rendű bináris csoport, amely a 2-sokaság fedése, amelyet a borításból kapunk. $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n).$

Egy n - szimplex forgásszimmetria csoportja a betűk váltakozó csoportjaként ábrázolható, a megfelelő bináris csoport pedig az 2-es sokaság fedőcsoportja . Minden magasabb dimenzióhoz, kivéve és (az 5-dimenziós és 6-dimenziós egyszerűsítéseknek megfelelően), ez a bináris csoport egy fedőcsoport (maximális lefedés) és szupertökéletes , de az 5-ös és 6-os dimenzióhoz van egy további speciális. A 3 -fajtákat és bináris csoportokat lefedő nem szupertökéletes. $n+1$ $A_{n+1},$ $A_{6}$ $A_7$

Használata az elméleti fizikában

A tetraéder bináris csoportját a Yang-Mills elmélettel összefüggésben 1956-ban Yang Zhenning [2] használta . Fizikai modell felépítéséhez először Paul Frampton és Thomas Kephart használta 1994 -ben [3] . 2012-ben kimutatták [4] , hogy a neutrínó tágulási szögei közötti összefüggés, amelyet bináris tetraéderes szimmetriával kaptunk [5] , összhangban van az elmélettel.

Lásd még

Egy poliéder bináris csoportja
Bináris ciklikus csoport
Bináris diédercsoport
Az oktaéder bináris csoportja
Ikozaéder bináris csoportja

Jegyzetek

↑ Speciális lineáris csoport:SL(2,3) . csoport kellékek . Hozzáférés dátuma: 2015. június 18. Az eredetiből archiválva : 2015. július 4. (határozatlan)
↑ Case, 1956 , p. 874-876.
↑ Frampton, 1995 , p. 4689-4704.
↑ Eby, 2012 , p. 117-304.
↑ Eby, 2009 , p. 386-390.

Irodalom

John H. Conway, Derek A. Smith. A kvaterniókról és az oktoniókról. - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 .
H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generátorok és kapcsolatok diszkrét csoportokhoz, 4. kiadás. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 . 6.5 A bináris poliédercsoportok, 6. o. 68
E.M. Case, Robert Karplus, C.N. Yang. Furcsa részecskék és az izotóp-pörgés megőrzése // Fizikai áttekintés. - 1956. - T. 101 . - doi : 10.1103/PhysRev.101.874 .
Paul H. Frampton, Thomas W. Kephart. Egyszerű nonabeli véges ízcsoportok és fermiontömegek // International Journal of Modern Physics. - 1995. - T. A10 .
David A. Eby, Paul H. Frampton. Nem nulla théta(13)jelek nem maximális légköri neutrínókeveredés // Fizikai áttekintés. - 2012. - T. D86 . - doi : 10.1103/physrevd.86.117304 . - arXiv : 1112.2675 .
David A. Eby, Paul H. Frampton, Shinya Matsuzaki. Előrejelzések a neutrínók keveredési szögeire T′-modellben // Fizikai betűk. - 2009. - T. B671 . - P. 386-390. - arXiv : 0801.4899 .