Bargmann–Wigner egyenletek

A Bargmann–Wigner-egyenletek nem nulla tömegű és tetszőleges spinű szabad részecskék mozgásának relativisztikusan invariáns többkomponensű spinoregyenletei . [egy]

A nevet Valentine Bargman és Eugene Wigner tiszteletére kapta .

Történelem

Paul Dirac először 1928-ban publikálta a Dirac-egyenletet , majd később (1936) általánosította bármely félegész spinű részecskékre, mielőtt Fiertz és Pauli 1939-ben, illetve körülbelül egy évtizeddel Bargmann és Wigner előtt megtalálta ugyanezeket az egyenleteket. [2] Eugene Wigner 1937-ben írt egy tanulmányt az inhomogén Lorentz-csoport vagy Poincaré-csoport egységes reprezentációiról . [3] Wigner megjegyzi, hogy Ettore Majorana [4] és Dirac infinitezimális operátorokat használt, és a reprezentációkat irreducibilisnek, faktoriálisnak és unitáriusnak minősítette.

1948-ban Valentin Bargman és Wigner publikálták a ma róluk elnevezett egyenleteket a relativisztikus hullámegyenletek csoportelméleti tárgyalásáról szóló tanulmányában. [5]

Az egyenletek megfogalmazása

Egy szabad elektromosan semleges nagy tömegű, spinnel rendelkező részecske esetében a BV-egyenletek lineáris parciális differenciálegyenletek rendszere , amelyek mindegyikének matematikai alakja hasonló a Dirac-egyenlethez . Az egyenletrendszer a következő formájú : [2] [6] [7] [8] [9] $j$ $2j$

{\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P))_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{ 1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\ mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{ 2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\ mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha ' _{2j}}=0\\\vége{igazított}}

és követi az általános szabályt;

$\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _ {\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j))=0$

( 1 )

számára . $r=1,2,...2j$

A BV hullámfüggvényének vannak összetevői $\psi =\psi (\mathbf {r} ,t)$

\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j))(\mathbf {r} ,t)

és egy 4 komponensű, 2j rangú spinor mező. Minden index az 1-es, 2-es, 3-as vagy 4-es értéket veszi fel, vagyis a teljes spinormezőnek van egy komponense , bár egy teljesen szimmetrikus hullámfüggvény a független komponensek számát -ra csökkenti . Következő a Dirac mátrixok , és ${\displaystyle 4^{2j))$ $\psi$ $2(2j+1)$ $\gamma ^{\mu }=(\gamma ^{0},\mathbf {\gamma } )$

{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }

a négydimenziós momentum operátor .

Az egyes egyenleteket alkotó operátor a dimenzió mátrixa , mivel a és a mátrixok skaláris szorzata a dimenzió azonossági mátrixával (általában az egyszerűség kedvéért nincs írva). Kifejezetten a Dirac-mátrixok Dirac reprezentációjában : [2] $(-\gamma ^{\mu }P_{\mu }+mc)=(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)$ $4szer 4$ $\gamma ^{{\mu ))$ $mc''$ $4szer 4$

{\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{ c))-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\ \0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{ 2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\ kalap {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c ))+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p} }_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0 \\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E }}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{igazított}}}

ahol egy vektor, amelynek minden komponense Pauli-mátrix , egy energiaoperátor, egy háromdimenziós impulzusoperátor , egy dimenzió azonossági mátrixát jelöli , a nullák (a második sorban) egy nullából álló dimenziós blokkmátrixot jelölnek mátrixok . $\mathbf {\sigma } =(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ $E$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{x},p_{y},p_{z})$ $I_{2}$ $2\times 2$ $2\times 2$

A BV-egyenletek rendelkeznek a Dirac-egyenlet néhány tulajdonságával:

a BV egyenletek Lorentz-kovariánsok ,
a BV egyenletek megoldásainak minden komponense kielégíti a Klein–Gordon egyenletet , és ezért kielégíti a relativisztikus energia-impulzus összefüggést ,

E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}

a BV egyenletek megengedik a második kvantálást .

Ellentétben a Dirac-egyenlettel, amely figyelembe tudja venni az elektromágneses tér hatását a minimális elektromágneses kölcsönhatást leíró kifejezéssel , a BV formalizmus, amikor megpróbálja figyelembe venni az elektromágneses kölcsönhatást, belső ellentmondásokat és nehézségeket tartalmaz. Más szóval, lehetetlen megváltoztatni a BV egyenleteket , ahol a részecske elektromos töltése és az elektromágneses potenciál . [10] [11] Ebben az esetben elektromágneses 4-áramokat és multipolirészecskéket használnak az elektromágneses kölcsönhatások tanulmányozására . [12] [13] ${\displaystyle P_{\mu }\rightarrow P_{\mu }-eA_{\mu ))$ $e$ $A_{\mu }=(A_{0},\mathbf {A} )$

A Lorentz-csoport felépítése

A Lorentz-csoport ábrázolása a BV-egyenletekhez: [10]

D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{ (0,1/2)}\jobbra]\,.

ahol irreducibilis reprezentációt jelöl. ${\displaystyle D_{r))$

Lásd még

Dirac-egyenletek két testre
Pauli-mátrixok általánosításai
Wigner D-mátrix
Weil–Brauer mátrixok
Nagyobb dimenziójú dirac mátrixok
A Joos–Weinberg egyenletek olyan alternatív egyenletek, amelyek bármilyen spinű szabad részecskéket írnak le.
A magasabb pörgetések elmélete

Források

Jegyzetek

^ Ez a cikk az Einstein összegzési konvenciót használja a tenzor / spinor indexekhez, és a cirkumflex szimbólumot használja a kvantumoperátorok ábrázolására .
↑ 123 E.A. _ _ Jeffery (1978). „A Bargman–Wigner hullámfüggvény komponens minimalizálása”. Australian Journal of Physics . 31 (2): 137. Bibcode : 1978AuJPh..31..137J . DOI : 10.1071/ph780137 .
↑ E. Wigner (1937). „Az inhomogén Lorentz-csoport egységes képviseleteiről” (PDF) . A matematika évkönyvei . 40 (1): 149-204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . DOI : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2015-10-04 . Letöltve: 2022-09-12 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ E. Majorana Tetszőleges belső szögimpulzusú részecske relativisztikus elmélete // L. Michel, M. Schaaf Symmetry in quantum physics. - M., Mir , 1974. - p. 239-247
↑ Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). „Relativisztikus hullámegyenletek csoportelméleti tárgyalása” . Az Amerikai Egyesült Államok Nemzeti Tudományos Akadémiájának közleménye . 34 (5): 211-23. Bibcode : 1948PNAS...34..211B . DOI : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 . Sortörés karakter |journal=a 16. pozícióban ( súgó )
↑ RK Loide; I.Ots; R. Saar (2001). „A Dirac-egyenlet általánosításai kovariáns és hamiltoni formában”. Fizikai folyóirat A. 34 (10): 2031-2039. Irodai kód : 2001JPhA...34.2031L . DOI : 10.1088/0305-4470/34/10/307 .
↑ H. Shi-Zhong; R. Tu-Nan; W. Ning; Z. Zhi-Peng (2002). „Hullámfüggvények önkényes pörgetésű részecskékhez” . Kommunikáció az elméleti fizikában . 37 (1): 63. Bibcode : 2002CoTPh..37...63H . DOI : 10.1088/0253-6102/37/1/63 . Archiválva az eredetiből , ekkor: 2012-11-27 . Letöltve: 2022-09-12 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov A.A. Szimmetriacsoportok és elemi részecskék. - L., Leningrádi Állami Egyetem , 1983. - p. 326-327
↑ Novozhilov Yu.V. Bevezetés az elemi részecskék elméletébe. - M., Nauka , 1972. - p. 150-153
↑ 1 2 T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). „A forgó részecskék téridő-terjedésének geometriája”. Annals of Physics . 216 (2): 226-267. Bibcode : 1992AnPhy.216..226J . DOI : 10.1016/0003-4916(92)90176-M .
↑ C.R. Hagen . A Bargmann–Wigner-módszer a galilei relativitáselméletben, 97–108.
↑ Cedric Lorce (2009), Önkényes forgásrészecskék elektromágneses tulajdonságai: 1. rész? Elektromágneses áram és többpólusú bomlás, arΧiv : 0901.4199 [hep-ph].
↑ Cedric Lorce (2009). „Az önkényes forgó részecskék elektromágneses tulajdonságai: 2. rész? Természetes pillanatok és keresztirányú töltéssűrűségek. Fizikai áttekintés D. 79 (11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Irodai kód : 2009PhRvD..79k3011L . DOI : 10.1103/PhysRevD.79.113011 . S2CID 17801598 .

További olvasnivaló

Könyvek

Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, II
Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, III
R. Penrose. Út a valósághoz. - Szüreti könyvek, 2007. - ISBN 978-0-679-77631-4 .

Válogatott cikkek

HU Lorenz (1941). "A Dirac-egyenletek általánosítása" . PNAS . 27 (6): 317-322. Bibcode : 1941PNAS...27..317L . DOI : 10.1073/pnas.27.6.317 . PMC 1078329 . PMID 16588466 .
VV Dvoeglazov . A módosított Bargmann-Wigner formalizmus magasabb spinmezőkre és relativisztikus kvantummechanikára.
D. N. Williams (1965). „A Dirac algebra minden pörgetéshez” (PDF) . Elméleti fizika előadások . 7A . University Press of Colorado. pp. 139-172.
H. Shi-Zhong; Z. Peng-Fei; R. Tu-Nan; Z. Yu-Can; Z. Zhi-Peng (2004). „Projekciós operátor és Feynman-terjesztő önkényes pörgés szabad masszív részecskéjéhez” . Kommunikáció az elméleti fizikában . 41 (3): 405-418. Irodai kód : 2004CoTPh..41..405H . DOI : 10.1088/0253-6102/41/3/405 .
V. V. Neznamov (2006). „Az interakciós mezők elméletéről a Foldy-Wouthuysen reprezentációban”. Phys. Rész. Nucl . 37 (2006): 86-103. arXiv : hep-th/0411050 . Bibcode : 2004hep.th...11050N . DOI : 10.1134/S1063779606010023 . S2CID 16681061 .
H. Stumpf . Általánosított de Broglie-Bargmann-Wigner egyenletek, de Broglie fúziós elméletének modern megfogalmazása, 785. o.
DGC McKeon és TN Sherry (2004), The Bargmann–Wigner egyenletek gömbtérben , cikk : hep-th/0411090 .
Quantum Field Theory , 61–69. Letöltve: 2016. október 27.
H. Stumpf . Az általánosított de Broglie–Bargmann–Wigner-egyenletek sajátállapotai a partonikus szubstruktúrájú fotonokra , 726–736.
B. Schroer (1997). „A Poincare-csoport Wigner-reprezentációs elmélete, lokalizáció, statisztika és az S-mátrix”. Nukleáris fizika B . 499 (3): 519-546. arXiv : hep-th/9608092 . Bibcode : 1997NuPhB.499..519S . DOI : 10.1016/S0550-3213(97)00358-1 . S2CID 18003852 .
A Galilei-invariánstól a relativisztikus hullámegyenletekig , 884. o.
DV Ahluwalia (1997). „Könyvajánló: The Quantum Theory of Fields 4. évf. S. Weinberg I. és II. Megtalált. Phys . 10 (3): 301-304. arXiv : physics/9704002 . Iránykód : 1997FoPhL..10..301A . doi : 10.1007/ bf02764211 . S2CID 189940978 .
JA Morgan (2005). Paritás és a spin-statisztika kapcsolat. Pramana . 65 (3): 513-516. arXiv : physics/0410037 . Bibcode : 2005Prama..65..513M . DOI : 10.1007/BF02704208 . S2CID 119416196 .

Külső linkek

Relativisztikus hullámegyenletek:

Lorentz-csoportok a relativisztikus kvantumfizikában: