Kotelnyikov tétele

Kotelnyikov tétele ( az angol irodalomban - Nyquist  - Shannon tétel , mintavételezési tétel ) - alapvető állítás a digitális jelfeldolgozás területén , amely összeköti a folytonos és diszkrét jeleket, és kijelenti, hogy "bármilyen függvény , amely 0 -tól ig terjedő frekvenciákból áll . folyamatosan, tetszőleges pontossággal, a számok másodpercnél rövidebb idő alatt követik egymást » [1] .

A tétel bizonyításakor korlátozásokat vettünk a frekvenciaspektrumra , ahol [2] .

Magyarázat

Ez az értelmezés azt az ideális esetet veszi figyelembe, amikor a jel végtelenül régen kezdődött és soha nem ér véget, és nincs töréspontja az időkarakterisztikában . Ha egy jelben az idő függvényében bármilyen folytonossági zavarok vannak, akkor a spektrális ereje nem tűnik el sehol. Pontosan ezt jelenti a "véges frekvenciával felülről határolt spektrum" fogalma .

Természetesen a valódi jeleknek (például digitális médiumon lévő hangoknak) nincsenek ilyen tulajdonságaik, mivel időben végesek, és általában az időbeli karakterisztikában vannak megszakadások. Ennek megfelelően spektrumuk szélessége végtelen. Ebben az esetben a jel teljes helyreállítása lehetetlen, és a Kotelnyikov-tételből [3] [4] a következő következmények következnek :

• bármely analóg jel tetszőleges pontossággal visszaállítható a diszkrét mintáiból, olyan frekvenciával , ahol  a maximális frekvencia, amelyet a valós jel spektruma korlátoz;
• ha a jelben a maximális frekvencia egyenlő vagy nagyobb, mint a mintavételi frekvencia fele ( aliasing ), akkor nincs mód a jel diszkrétről analógra történő visszaállítására torzítás nélkül [5] .

Tágabb értelemben Kotelnyikov tétele kimondja, hogy a folytonos jel interpolációs sorozatként ábrázolható:

hol  van a sinc függvény . A mintavételi intervallum kielégíti a megszorításokat . Ennek a sorozatnak a pillanatnyi értékei a jel diszkrét mintái .

Történelem

Bár a nyugati irodalomban a tételt gyakran Nyquist-tételnek nevezik az 1928 -as „ A távíró átvitelelmélet bizonyos témái ” című műre hivatkozva , ebben a munkában csak az impulzusjel továbbításához szükséges kommunikációs vonal sávszélességéről beszélünk (az ismétlésről). sebességnek kisebbnek kell lennie a sávszélesség kétszeresénél). Így a mintavételezési tétel kapcsán csak a Nyquist-frekvenciáról illik beszélni. Körülbelül ugyanebben az időben Karl Küpfmüller ugyanezt az eredményt kapta [6] . Az eredeti jel diszkrét leolvasásokból történő teljes rekonstrukciójának lehetőségét ezek a munkák nem tárgyalják. A tételt Vlagyimir Kotelnyikov javasolta és bizonyította 1933 - ban „Az éter és vezeték átviteli kapacitásáról a távközlésben” című munkájában, amelyben az egyik tétel különösen a következőképpen fogalmazódott meg [7] [8] : „ Bármely 0 -tól ig terjedő frekvenciákból álló függvény folyamatosan , tetszőleges pontossággal továbbítható a másodpercekben egymás után következő számok segítségével » . Ezt a tételt tőle függetlenül 1949 -ben (16 évvel később) bebizonyította Claude Shannon [9] , ezért a nyugati irodalomban ezt a tételt gyakran Shannon-tételnek nevezik. 1999 -ben az Eduard Rein Nemzetközi Tudományos Alapítvány (Németország) ismerte el Kotelnyikov elsőbbségét az "alapkutatásért" jelöléssel, amely az első matematikailag pontosan megfogalmazott és a kommunikációs technológiai szempontból bizonyított mintavételi tételért [10] . A történeti kutatások azonban azt mutatják, hogy a mintavételezési tételt, mind az analóg jelek diszkrét leolvasásokból való rekonstrukciójának lehetőségét, mind a rekonstrukciós módszert tekintve, sok tudós korábban matematikai szempontból is mérlegelte. Az első részt még 1897-ben fogalmazta meg Borel [11] .

Változatok és általánosítások

Ezt követően nagyszámú különböző módszert javasoltak korlátozott spektrumú jelek közelítésére, általánosítva a mintavételi tételt [12] [13] . Tehát a sinc függvények kardinális sorozatai helyett , amelyek egy ideális aluláteresztő szűrő impulzusválaszának eltolt másolatai, használhatunk sorozatokat a sinc függvények véges vagy végtelen számú konvolúciójában . Például egy véges spektrumú folytonos függvény Kotelnyikov-sorának alábbi általánosítása érvényes az atomi függvények Fourier-transzformációi alapján [ 14] :

ahol a paraméterek és kielégítik az egyenlőtlenséget és a diszkretizációs intervallumot:

Lásd még

• Whittaker-Shannon interpolációs képlet
• Nyquist frekvencia
• Fő digitális csatorna
• Nullarendű extrapolátor
• Elsőrendű extrapolátor
• Kvantálás (jelfeldolgozás)
• Újramintavételezés
• A mintavételi tétel a frekvenciatartományban

Jegyzetek

1. ↑ Bikkenin, Csesnokov, 2010 .
2. ↑ Kotelnikov V. A. Az éter és a vezeték áteresztőképességéről a távközlésben - All-Union Energy Committee. // Anyagok a távközlés műszaki rekonstrukciójáról és a kisfeszültségű ipar fejlesztéséről szóló 1. Összszövetségi Kongresszushoz, 1933. A cikk újranyomása az UFN-ben, 176:7 (2006), 762-770.
3. ↑ John C. Bellamy. Digitális telefonálás. - Rádió és kommunikáció, 1986.
4. ↑ Gitlits M. V., Lev A. Yu. A többcsatornás kommunikáció elméleti alapjai. - M .: Rádió és kommunikáció, 1985.
5. ↑ Ziatdinov S. I. / Mintáiból származó jelek rekonstrukciója Kotelnyikov 2015. február 25-i archív másolata , a Wayback Machine mintavételi tétele alapján . — Hangszerelés (2010. 5. sz.). – UDC 621.396:681.323.
6. ↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, sz. 11, pp. 459-467, 1928. (német); K. Küpfmüller, Az automatikus erősítésszabályozók dinamikájáról, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, sz. 11, pp. 459-467. (Angol fordítás).
7. ↑ Kotelnyikov V. A. Az "éter" és a vezeték áteresztőképességéről a távközlésben  // Uspekhi fizicheskikh nauk : Folyóirat. - 2006. - 7. sz . - S. 762-770 . Archiválva az eredetiből 2013. június 23-án.
8. ↑ Kharkevich A. A. Spektra és elemzés - 4. kiadás. - Moszkva: URSS: LKI, 2007. - S. 89.
9. ↑ C.E. Shannon. Kommunikáció zaj jelenlétében. Proc. Rádiómérnöki Intézet. Vol. 37. Nem. 1. P. 10-21. jan. 1949.
10. ↑ Vlagyimir Alekszandrovics Kotelnyikov akadémikus születésének 100. évfordulóján 2013. június 23-án kelt archív másolat a Wayback Machine -nél .
11. ↑ Erik Meijering. Az interpoláció kronológiája az ókori csillagászattól a modern jel- és képfeldolgozásig, Proc. IEEE, 90, 2002. doi : 10.1109/5.993400 .
12. ↑ Jerry A. J. Shannon mintavételi tétele, különféle általánosításai és alkalmazásai. Felülvizsgálat. - TIIER, 65. évf., 11. szám, 1977, p. 53-89.
13. ↑ Khurgin Ya. I., Yakovlev V. P. Haladás a Szovjetunióban a véges függvények elmélete és alkalmazásai terén a fizikában és a technológiában. - TIIER, 1977, 65. v., 7. szám, p. 16-45.
14. ↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. Digitális jelfeldolgozás a Whittaker-Kotelnikov-Shannon tétel alapján. - M .: Rádiótechnika, 2004.

Irodalom

• H. Nyquist . Egyes témák a távíró átvitelelméletben. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617-644, ápr. 1928.
• Kotelnikov V. A. Az éter és a vezeték kapacitásáról a távközlésben - All-Union Energy Committee. // Anyagok a távközlés műszaki rekonstrukciójáról és a kisfeszültségű ipar fejlesztéséről szóló 1. Összszövetségi Kongresszushoz, 1933. A cikk újranyomása az UFN-ben, 176:7 (2006), 762-770.
• Bikkenin R. R., Chesnokov M. N. Az elektromos kommunikáció elmélete. - M . : "Akadémia" Kiadói Központ, 2010. - 329 p. - ISBN 978-5-7695-6510-6 .

Linkek

• Kotelnyikov tétele a dsplib.org webhelyen
• Analóg jelek mintavétele Az időmintavétel interaktív bemutatása. Stuttgarti Egyetem Távközlési Intézete