Atomi funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2016. december 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Az atomi függvény a forma funkcionális-differenciálegyenletének véges megoldása

L\,y(x)=\sum _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k}),

ahol egy lineáris differenciáloperátor állandó együtthatókkal; együtthatók , és [1] [2] . $L$ $a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R}$ $|a|>1$

Atomfüggvény fel( x )

A legegyszerűbb atomi függvény (értsd: „an from ” [3] ) a funkcionális differenciálegyenlet véges , korlátlanul differenciálható megoldása $\operatorname {up} (x)$ $x$

{\frac {1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)

a normalizálási feltételt kielégítő támogatással (bizonyítást nyert, hogy ez a megoldás létezik és egyedi a megadott normalizálás alatt) [4] . $\operatorname {supp} \operatorname {up} (x)=(-1,1),$ $\operatorname {up} (0)=1$

A függvény Fourier-transzformációjának alakja van $\operatorname {up} (x)$

{\hat {\operatorname {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{2^{k}}} ,

hol van a sinc függvény . $\operatorname {sinc} =\sin {x}/x$

A függvény páros, növekszik az intervallumon , csökken az intervallumon, és grafikonja korlátozza az x tengely feletti egységnyi területet. Ezen kívül a . Így az egész számok eltolása az egység partícióját alkotja : $\operatorname {up} (x)$ $[-1,\;0]$ $[0,\;1],$ $\operatorname {up} (1-x)=1-\operatorname {up} (x)$ $x\in [0,\;1]$ $\operatorname {up} (x)$

\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operátornév {up} (xj)\equiv 1.

Az űrlap diádikus racionális pontjaiban lévő értékek racionális számok . A függvény támogatásának egyetlen pontján sem analitikus . Kiszámításához nem használhatja a Taylor -sort , de vannak speciális, gyorsan konvergáló sorozatok, amelyeket az ilyen számításokhoz adaptáltak. A Fourier-sorozat kiterjesztései , Legendre -sorozatok , Bernstein -polinomok stb. szintén használatosak. $\operatorname {up} (x)$ $2^{-n}k$ $\operatorname {up} (x)$ $\operatorname {up} (x)$

Az atomi függvények végtelenül oszthatók, azaz véges függvények tetszőleges hosszúságú támasztékkal (törtkomponensek) eltolásainak-sűrítéseinek lineáris kombinációjaként ábrázolhatók , és a végtelen simaságú B-spline-ok analógjainak tekinthetők , mivel valamint a waveletek ideológiai elődei . A függvény jó közelítő tulajdonságai azon alapulnak, hogy az eltolás-összehúzódások lineáris kombinációjával bármilyen fokú algebrai polinom ábrázolható . $\operatorname {up} (x)$ $\operatorname {up} (x)$

Atomfüggvények h a ( x ), tökéletes spline

Az atomi függvények (for ) a függvény általánosításai . A megfelelő funkcionális differenciálegyenletek alakja $\operatorname {h} _{a}(x)$ $a>1$ $\operatorname {up} (x)$

{\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).

Így egy függvény Fourier-transzformációjának alakja van $\operatorname {up} (x)\equiv \operatorname {h} _{2}(x).$ $\operatorname {h} _{a}(x)$

{\hat {\operatorname {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{a^{ n}}},

ezért a függvények az intervallumok karakterisztikus függvényeinek ( téglalapfüggvények ) végtelen konvolúciói , amelyek szélessége exponenciálisan csökken . Ha az utolsó kifejezésben a végtelen szorzat véges számú tagjára szorítkozunk, akkor a tökéletes spline Fourier-transzformációját kapjuk ismétlődő funkcionális-differenciális kifejezéssel $\operatorname {h} _{a}(x)$ $M$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {h} _{a,M}(x)}$

{\frac {2}{a^{2}}}\operátornév {h} '_{a,M}(x)=\operátornév {h} _{a,M-1}(ax+1 )-\operátornév {h} _{a,M-1}(ax-1).

Általánosított Kotelnyikov-tétel

A függvények Fourier transzformációinak nullái szabályosan a pontokban helyezkednek el . Ebből a szempontból bármely véges spektrumú folytonos függvény sorozattá bővíthető $\operatorname {h} _{a}(x)$ $a\pi n$ $(n\neq 0)$ $f(x)$ $(\operatorname {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])$

f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k\Delta ){\hat {\operátornév {h} _{a))}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(xk\Delta )\right],

ahol [5] . $a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)$

Ez a képlet általánosítja Kotelnyikov [5] jól ismert tételét ; először V. F. Kravchenko és V. A. Rvachev [6] javasolta , később pedig E. G. Zelkin , V. F. Kravcsenko és M. A. Basarab [7] fejlesztette ki .

Történelem és fejlődés

Az atomi függvényeket először 1971- ben [8] vezették be. A függvény megjelenésének körülményei összefüggenek V. L. Rvachev 1967-ben felvetett és V. A. Rvachev által megoldott problémával : találni egy olyan véges differenciálható függvényt, hogy annak gráfja „púpnak” tűnjön egy növekedési és egy csökkenő szegmenssel, a gráf pedig, amelynek deriváltja egy „púpból” és egy „gödörből” állna, ez utóbbi pedig magának a függvénynek a „púpjához” hasonlítana, azaz. egy léptéktényezőig az eredeti függvény grafikonjának eltolt és tömörített másolatát képviselné [9] . $\operatorname {up} (x)$

Az atomi függvények elméletének kezdeti fejlődési szakaszának eredményeit V. A. Rvachev "Atomfunkciók és alkalmazásuk" [10] című munkájában mutatják be . Részletes áttekintést ad az 1984-ig felhozott atomifüggvény-elméleti munkákról, felsorolja az atomi függvényelmélet megoldatlan problémáit, amelyek nagymértékben meghatározták a további kutatások irányát.

Jelenleg az atomi függvényeket széles körben használják a közelítéselméletben , a numerikus elemzésben , a digitális jelfeldolgozásban , a wavelet elemzésben és más területeken. V. F. Kravchenko és tudományos iskolájának képviselői egy nagy ciklust publikáltak az atomi függvények elméletéről és alkalmazásairól a különböző fizikai alkalmazásokban [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [ 18] [19] [20] [21] [22] [23] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Rvachev és Rvachev, 1979 , p. 110.
↑ Kravchenko, 2003 , p. 17.
↑ Tikhomirov, 1987 , p. 202-203.
↑ Rvachev V. L. . Az R -függvények elmélete és néhány alkalmazása. - Kijev: Naukova Dumka , 1982. - S. 383. - 552 p.
↑ 1 2 Kravchenko, 2003 , p. 90-92.
↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. A. Az atomi függvények alkalmazása interpolációs problémákban // Elektromágneses hullámok és elektronikus rendszerek. - 1998. - V. 3., 3. sz . - S. 16-26 .
↑ Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Basarab M. A. Véges spektrummal rendelkező jelek interpolációja atomi függvények Fourier-transzformációjával és alkalmazása antennaszintézis problémákban // Radio engineering and electronics. - 2002. - T. 47, 4. sz . - S. 461-468 .
↑ Rvachov V. L., Rvachov V. O. Egy véges függvényről // DAN URSR. Ser. A. - 1971. - 8. sz . - S. 705-707 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V. Atomic functions and WA -systems and functions in modern problems of radiophysics and technology // Elektromágneses hullámok és elektronikus rendszerek. - 2011. - T. 16., 9. sz . - S. 7-32 .
↑ Rvachev V. A. . Atomfüggvények és alkalmazásaik // Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. et al. Az R -függvények elmélete és az alkalmazott matematika aktuális problémái. - Kijev: Naukova Dumka , 1986. - S. 45-65. — 264 p.
↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. . Digitális jelfeldolgozás a Whittaker-Kotelnikov-Shannon tétel alapján. - M . : Rádiótechnika, 2004. - 72 p. — ISBN 5-93108-064-3 .
↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. L. . Logikai algebra, atomi függvények és waveletek fizikai alkalmazásokban. — M .: Fizmatlit , 2006. — 416 p. — ISBN 5-9221-0752-6 .
↑ Digitális jel- és képfeldolgozás radiofizikai alkalmazásokban / Szerk. V. F. Kravcsenko. — M .: Fizmatlit , 2007. — 544 p. - ISBN 978-5-9221-0871-3 .
↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. . Modellezési és digitális jelfeldolgozási módszerek giroszkópiában. — M .: Fizmatlit , 2008. — 248 p. — ISBN 978-5-9221-0809-6 .
↑ Volosjuk V.K., Kravcsenko V.F. A távérzékelés és a radar rádiótechnikai rendszereinek statisztikai elmélete / Szerk. V. F. Kravcsenko. — M .: Fizmatlit , 2008. — 704 p. - ISBN 978-5-9221-0895-9 .
↑ Kravchenko V. F., Labunko O. S., Lerer A. M., Sinyavsky G. P. . Számítási módszerek a modern radiofizikában / Szerk. V. F. Kravcsenko. — M .: Fizmatlit , 2009. — 464 p. — ISBN 978-5-9221-1099-0 .
↑ Volosyuk V. K., Gulyaev Yu. - 2014. - T. 59, 2. sz . - S. 109-131 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V. Alkalmazása családok atomi, WA -rendszerek és R -függvények modern problémák radiofizika. I. rész // Rádiótechnika és elektronika. - 2014. - T. 59., 10. sz . - S. 949-978 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V., Yurin A. V. Application of family of atomic, WA -systems and R -functions in modern problems of radiophysics. II. rész // Rádiótechnika és elektronika . - 2015. - T. 60, 2. sz . - S. 109-148 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V. Alkalmazása családok atomi, WA -rendszerek és R -függvények modern problémák radiofizika. III. rész // Rádiótechnika és elektronika. - 2015. - T. 60., 7. sz . - S. 663-694 .
↑ Kravchenko V. F., Konovalov Ya. Yu., Pustovoit V. I. A cha n (x) és fup n (x) atomi függvények családjai a digitális jelfeldolgozásban // Dokl. - 2015. - T. 462, 1. sz . - S. 35-40 .
↑ Kravchenko V. F., Churikov D. V. Digitális jelfeldolgozás atomi függvények és hullámok segítségével. - M .: Technosphere, 2019. Kiegészítő kiadás. 182 p. ISBN 978-5-94836-506-0 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V. A logikai algebra konstruktív módszerei, atomi függvények, hullámok, fraktálok fizikai és technológiai problémákban. — M.: Technosfera, 2018. 696 p. ISBN 978-5-94836-518-3 .

Irodalom

Rvachev VL , Rvachev VA A közelítéselmélet nem klasszikus módszerei határérték-problémákban. - Kijev: Naukova Dumka , 1979. - 196 p.
Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. és munkatársai Az R -függvények elmélete és az alkalmazott matematika aktuális problémái. - Kijev: Naukova Dumka , 1986. - 264 p.
Tikhomirov V. M. Approximációs elmélet // A matematika modern problémái. alapvető irányok. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - T. 14. - 272 p. - S. 103-260.
Kravchenko VF Előadások az atomi függvények elméletéről és egyes alkalmazásaikról. - M . : Rádiótechnika, 2003. - 512 p. — ISBN 5-93108-019-8 .