Az egység felosztása

Az egység particionálása a topológiában használt konstrukció, amely megkönnyíti az elosztóval való munkavégzést, mint egy térképkészlettel .

A particionáló egység különösen egy differenciálforma integráljának meghatározására szolgál egy elosztón.

Építkezés

Legyen adott egy topológiai tér nyílt halmazok általi nyílt lefedése . A lefedettségnek alárendelt egységpartíció nemnegatív folytonos valós függvények halmaza , amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: $M$ $D_{\alpha }$ $\{D_{\alpha }}\}$ ${\displaystyle f_{\beta ))$ $M$

$0\leqslant f_{\beta }\leqslant 1.$
Az egyes funkciók hordozója teljes egészében az egyik készletben található . ${\displaystyle f_{\beta ))$ $D_{\alpha }$
Bármely pontnál van (vagyis bármely legfeljebb megszámlálható függvényhalmaz esetén a sorozat , ahol 1-hez konvergál, szintén különbözik nullától . Ez a sorozat abszolút konvergál, tehát a sorozat összege nem függ a feltételek sorrendje). $x\-ben M$ ${\displaystyle \sum _{\beta }{f_{\beta }(x)=1))$ $x\-ben M$ $f_{\beta }(x)$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{f_{\beta _{i}}(x)))$ ${\displaystyle \{\beta _{1},\beta _{2},...\}=\{\beta :f_{\beta }(x)\neq 0\))$

Ha bármely pontra létezik olyan szomszédság , amelynek metszéspontja legfeljebb véges számú index esetében nem üres , akkor az egység ilyen partícióját lokálisan végesnek mondjuk . $x\-ben M$ $W\ni x$ ${\displaystyle W\cap \mathrm {supp} \,f_{\beta ))$ $\beta$

Tulajdonságok

Egy parakompakt T 1 tér bármely nyitott fedésére létezik egy lokálisan véges egységpartíció , amely alá van rendelve. Megfordítva, ha egy -tér bármely nyitott lefedésére létezik annak alárendelt egységpartíció, akkor ez a tér parakompakt. $T_{1}$
Bármely nyitott fedőelosztóhoz létezik egy véges vagy megszámlálható, lokálisan véges egységpartíció, amely alá van rendelve a fedélnek, és az osztály függvényeiből áll . $C^\infty$ $C^\infty$

Irodalom

Engelking R. Általános topológia / fordította: M.Ya.Antonovsky és A.V.Arkhangelsky. — M .: Mir, 1986. — 752 p.

J. de Ram. Differenciálható sokaságok / D.A. Vasilkov fordítása. - M . : külföldi irodalom, 1956. - 250 p.