Elsőrendű extrapolátor

Az elsőrendű extrapolátor egy matematikai modell a mintavételezett jel rekonstruálására , amelyet egy hagyományos digitális-analóg átalakítóval (amely ebben az esetben nulladrendű extrapolátorként működik ) és egy analóg áramkörrel ( integrátor ) állíthatunk elő. Ebben az esetben a jel az eredetileg digitalizált jel darabonkénti lineáris közelítéseként kerül visszaállításra. A nulladrendű extrapolátorhoz képest az elsőrendű extrapolátor általában kevesebb kvantálási zajjal rendelkezik , és ezért pontosabban rekonstruálja a jelet.

Matematikai modell

Legyen x s ( t ) a digitalizálás előtti jel és x ( nT ) a digitalizálás utáni jel. Ekkor a nulladrendű extrapolátor egy szűrő , amely tökéletesen digitalizált | jelet alakít át $x_{s}(t)$ $=x(t)\ T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t-nT)\$ $=T\összeg _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)\$

darabonként lineáris jellé

x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t- nT}{T}}\jobbra)\

és impulzusátviteli funkcióval rendelkezik

h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={ \begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\ 0&{\mbox{egyébként}}\end{cases}}\

ahol egy háromszögfüggvény .

\mathrm {tri} (x)\

Az elsőrendű extrapolátor amplitúdó-fázis frekvenciaválasza az impulzusátviteli függvényének Fourier-transzformációja :

$H_{\mathrm {FOH} }(f)$ $={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\$ $=\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\$

hol van a sinc függvény .

{\mathrm {sinc}}(x)\

Az elsőrendű extrapolátor átviteli függvényét az s = i 2 π f formális változással kapjuk :

$H_{\mathrm {FOH} }(s)$ $={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\jobb)^{2}\$

Elsőrendű extrapolátor

Matematikai modell

Lásd még