Bíboros sinus

Cardinal sine , sinc ( lat. sinus cardinalis szóból ) - matematikai függvény . A sinc ( x ) jelölése . Két definíciója van - a normalizált és a nem normalizált sinc függvényre :

A digitális jelfeldolgozásban és kommunikációelméletben a normalizált sinc függvényt általában úgy definiálják $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{tömb} \jobbra.$
A matematikában a nem normalizált sinc függvényt a következőképpen definiáljuk $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{tömb} \jobbra.$

A funkció normalizálása a következő feltételből történik:

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax))\,dx=1

ahol $a=\pi .$

a nem normalizált funkcióhoz ( ): $a=1$

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .

Mindkét esetben a függvény értéke az x = 0 szinguláris pontban kifejezetten egyre van állítva ( lásd: Figyelemre méltó határértékek ). Így a sinc függvény az argumentum bármely értékére analitikus .

Tulajdonságok

A normalizált sinc függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

$\operátornév{sinc}\left(0\right) = 1$ és mindenre és ( integers ); vagyis ez egy interpoláns . $\operátornév{sinc}\left(k\right) = 0$ $k\neq 0$ $k\in\mathbb{Z}$

a függvények ortonormális alapot képeznek a függvénytér függvényei számára , a legnagyobb körfrekvenciával . $x_k\left(t\right)=\operátornév{sinc}\left(tk\right)$ $L^2\bal (\R\jobb)$ $\omega_H = \pi$

A sinc nem normalizált függvény lokális maximuma és minimuma egybeesik a koszinusz értékeivel, vagyis ahol a derivált egyenlő nullával (helyi szélsőérték a pontban ), a feltétel teljesül . $\frac{\sin x}{x}$ $x=a$ $\frac{\sin a}{a} = \cos a$

A nem normalizált sinc függvény eltűnik, ha az argumentum π többszöröse , míg a normalizált sinc függvény eltűnik, ha az argumentum egész szám.

A szinusz integrált a sinc( x ) függvény integrálja határozza meg .

Egy normalizált függvény folytonos Fourier-transzformációja (egységnyi frekvenciaintervallumra) egyenlő egy téglalapfüggvénnyel . $\operátornév{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ $\operátornév{rect}\left(f\right)$

\int\limits_{-\infty}^\infty \operátornév{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt = \operátornév{rect}\left(f\right)

, ahol a téglalap alakú függvény egy olyan függvény, amely a −1 és 1/2 közötti bármely argumentumhoz 1 értéket vesz fel, és az argumentum bármely más értéke nullával egyenlő.

Bomlás végtelen termékké :

\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2} {n^2}\jobbra)

Kifejezés a gamma függvényben :

\operátornév{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\ jobb)}

hol van a gammafüggvény.

\gamma\bal(x\jobb)

Használat és alkalmazások

Egy négyszögfüggvény Fourier-transzformációjaként a sinc függvény a közeli térből a távoli térbe történő hullámterjedés problémájában merül fel ( Fraunhofer -diffrakció , résdiffrakció ). a sinc függvény megtalálható az antennaelméletben , radarban , akusztikában stb.
E. T. Whittaker kimutatta, hogy a sinc függvény központi szerepet játszik az egyenlő távolságú pontokból álló rácson történő interpoláció elméletében.
A kommunikációelméletben a sinc függvény gyakran lehetővé teszi, hogy egyedileg és veszteség nélkül állítson vissza egy analóg jelet a mintáiból ( Kotelnikov tétele ).
Ugyanez a gondolat húzódik meg a Lanczos-szűrő mögött is, amelyet különösen a jelek újramintavételezésére használnak.
Gyakran arra törekednek, hogy csökkentsék a modul másodlagos maximumainak hatását, amelyek nemkívánatos oldallebenyeket eredményeznek a sugárzási mintában .
Gyakran használják a sinc függvény négyzetét, amely megadja annak a jelnek az intenzitását vagy teljesítményét, amelynek amplitúdóját a sinc függvény írja le.
Mivel az értékek gyorsan csökkennek az argumentum növekedésével, a sinc függvény négyzetét gyakran logaritmikus skálán ábrázolják .

Jelfeldolgozás

A sinc szűrő egy ideális elektronikus szűrő , amely elnyomja a jel spektrumában lévő összes frekvenciát egy bizonyos határfrekvencia felett , és az alatta lévő frekvenciákat változatlanul hagyja. A frekvenciatartományban ( AFC ) egy téglalap alakú függvény , az időtartományban (impulzusválasz) pedig sinc függvény.

Bíboros sinus

Tulajdonságok

Használat és alkalmazások

Jelfeldolgozás

Lásd még