Shannon-Hartley tétel

Az információelmélet Shannon-Hartley tétele a zajos csatorna kódolási tételének alkalmazása a Gauss-zaj által torzított folytonos időbeli analóg kommunikációs csatorna archetipikus esetére . A tétel megállapítja a Shannon-csatorna kapacitását, amely egy ilyen kommunikációs kapcsolaton meghatározott sávszélességű kommunikációs kapcsolaton zaj interferencia jelenlétében továbbítható maximális hibamentes digitális adat (azaz információ ) mennyiségének felső korlátja, feltéve, hogy a jelteljesítmény korlátozott, és a Gauss-zajt ismert teljesítmény vagy teljesítmény spektrális sűrűség jellemzi . A törvény Claude Shannon ésRalph Hartley .

tétel állítása

Az összes lehetséges többszintű és többfázisú kódolási módot figyelembe véve a Shannon-Hartley-tétel kimondja, hogy a csatornakapacitás , amely az adott átlagos jelteljesítménnyel továbbítható adatsebesség elméleti felső korlátját jelenti egy analóg kommunikációs csatornán keresztül. az additív fehér Gauss- teljesítményzajhoz $C$ $S$ $N$

C=B\log _{2}\left(1+{\frac {S}{N))\right),

ahol

C

— csatornakapacitás, bit /s;

B

— csatorna sávszélesség, Hz ;

S

— teljes jelteljesítmény a sávszélességen, W vagy V ²;

N

a látszólagos zajteljesítmény az áteresztősávon, W vagy V² ;

S/N

a jel-zaj arány (SNR) .

Fejlesztési előzmények

Az 1920-as évek végén Harry Nyquist és Ralph Hartley alapvető gondolatokat dolgozott ki a távírót mint kommunikációs rendszert használó információtovábbítással kapcsolatban. Akkoriban ez áttörés volt, de a tudomány mint olyan nem létezett. Az 1940-es években Claude Shannon bevezette a csatornakapacitás fogalmát , amely Nyquist és Hartley elképzelésein alapult, majd megfogalmazta az információátvitel teljes elméletét.

Nyquist kritérium

1927-ben Nyquist megállapította, hogy a távírócsatornán átvihető független impulzusok száma egységnyi idő alatt a csatorna maximális átviteli frekvenciájának kétszeresére korlátozódik (ez a frekvencia nullák és egyesek váltakozó sorozatának felel meg, más jelkombinációk pedig alacsonyabb frekvenciák):

f_{p}\leqslant 2B,

ahol az impulzusfrekvencia (imp/s) és a sávszélesség (Hz). $f_p$ $B$

Hartley-képlet

Shannon tételei egy zajos csatornára

A zajos csatornára vonatkozó Shannon-tételek (a zajos csatornán keresztüli átvitelre vonatkozó Shannon-tételek) összefüggésbe hozzák az információátviteli csatorna kapacitását és egy olyan kód meglétét, amely használható információ továbbítására egy olyan csatornán keresztül, amelynek hibája nullára hajlamos (mint a a blokk hossza megnő).

Ha az üzenetátviteli sebesség kisebb, mint a kommunikációs csatorna sávszélessége

R<C,

akkor vannak olyan kódok és dekódolási módszerek, amelyeknél az átlagos és maximális dekódolási hiba valószínűsége nullára hajlamos, miközben a blokk hossza a végtelenbe hajlik.

R>C,

akkor nincs olyan kód, ami alapján tetszőlegesen kis hibavalószínűséget lehetne elérni.

Shannon-Hartley tétel

Ebben a tételben meghatározzuk, hogy a maximális sebesség (bps) a sávszélesség és a jelteljesítmény növelésével, valamint a zaj csökkentésével érhető el.

A Shannon-Hartley-tétel korlátozza az információs sebességet (bps) egy adott sávszélességre és jel-zaj viszonyra. A sebesség növeléséhez a hasznos jelszintet a zajszinthez képest növelni kell.

Ha létezne egy zajmentes analóg csatorna végtelen sávszélességgel, akkor időegységenként korlátlan mennyiségű hibamentes adat továbbítása lenne lehetséges. A valódi csatornáknak vannak frekvenciahatárai, és mindig van bennük zaj.

Meglepő módon nem csak a sávszélesség-korlátozások befolyásolják a továbbított információ mennyiségét. Ha kombináljuk a zaj- és sávszélesség-korlátozásokat, akkor valóban azt látjuk, hogy van határa a továbbítható információ mennyiségének, még réteges kódolási módszerek használatával is. A Shannon-Hartley tétel által figyelembe vett csatornában a zaj és a jel kiegészítik egymást. Így a vevő olyan jelet észlel, amely megegyezik a kívánt információt kódoló jelek és egy folyamatos véletlenszerű jel összegével, amely a zajt reprezentálja.

Ez a kiegészítés bizonytalanságot okoz az eredeti jel értékét illetően. Ha a vevő információval rendelkezik egy nem kívánt, zajt keltő jel valószínűségéről, akkor lehetőség van az információ eredeti formájának visszaállítására, figyelembe véve a zajfolyamat összes lehetséges hatását. A Shannon-Hartley-tétel esetében a zajt mint olyat egy Gauss-folyamat állítja elő , némi eltéréssel az átviteli csatornában. Az ilyen csatornát kumulatív fehér Gauss-zajcsatornának nevezzük , mivel a Gauss-zaj a hasznos jel része. A "fehér" egyenlő mennyiségű zajt jelent a csatorna sávszélességén belül minden frekvencián. Ilyen zaj akkor fordulhat elő, ha véletlenszerű energiaforrásoknak van kitéve, és a kódolás során fellépő hibákhoz is társulhat. A Gauss-zaj előfordulási valószínűségének ismerete nagyban leegyszerűsíti a hasznos jel meghatározását.

A tétel jelentése

Csatornakapacitás és Hartley képlete

A csatornakapacitást és a Hartley-képletet összevetve megtaláljuk a megkülönböztethető szintek effektív számát: $M$

2B\log_2 M=B\log_2\left(1+\frac{S}{N}\right),

M=\sqrt{1+\frac{S}{N}}.

A négyzetgyök vétele lényegében a teljesítmények arányát adja vissza a feszültségek arányához, így a szintek száma megközelítőleg megegyezik az RMS jelamplitúdó és a zaj szórásának arányával. Ezt a formai hasonlóságot Shannon sávszélessége és Hartley képlete között nem szabad szó szerint érteni, hogy a jelszintek elegendőek a hibamentes átvitelhez. A hibák kiküszöbölése érdekében végzett túlkódoláshoz több rétegre lesz szükség, de a kódolással megközelíthető maximális bitsebesség megegyezik a Hartley-képletből származó azonos bitsebesség használatával. $M$ $M$

Lásd még

Kotelnyikov tétele

Shannon-Hartley tétel

tétel állítása

Fejlesztési előzmények

Nyquist kritérium

Hartley-képlet

Shannon tételei egy zajos csatornára

Shannon-Hartley tétel

A tétel jelentése

Csatornakapacitás és Hartley képlete

Lásd még

Linkek